Барометрическая формула

Барометрическая формула , которую иногда называют экспоненциальную атмосферой или изотермической атмосферой , является формула используется для модели , как давление (или плотность ) воздуха изменяется с высотой . Давление падает примерно на 11,3 паскалей на метр в первые 1000 метров над уровнем моря.

Уравнения давления [ править ]

Давление воздуха p как функция высоты h (барометрическая формула)

Есть два разных уравнения для расчета давления на разных режимах высоты ниже 86 км (или 278 400 футов). Первое уравнение используется, когда значение стандартного градиента температуры не равно нулю:

${\ displaystyle {P} = P_ {b} \ cdot \ left [{\ frac {T_ {b} + L_ {b} \ cdot (h-h_ {b})} {T_ {b}}} \ right] ^ {\ textstyle {\ frac {-g_ {0} \ cdot M} {R ^ {*} \ cdot L_ {b}}}}}$

Второе уравнение используется, когда стандартный градиент температуры равен нулю:

${\ Displaystyle P = P_ {b} \ cdot \ exp \ left [{\ frac {-g_ {0} \ cdot M \ cdot (h-h_ {b})} {R ^ {*} \ cdot T_ {b }}}\верно]}$

куда:

${\ displaystyle P_ {b}}$= эталонное давление ( Па )

${\ displaystyle T_ {b}}$= эталонная температура ( K )

${\ displaystyle L_ {b}}$= градиент температуры (К / м) в ISA

${\ displaystyle h}$ = высота, на которой рассчитывается давление (м)

${\ displaystyle h_ {b}}$= Высота уровня опорного б (м, например, ч _б = 11 000 м)

${\ displaystyle R ^ {*}}$= универсальная газовая постоянная : 8,3144598 Дж / (моль · К)

${\ displaystyle g_ {0}}$= ускорение свободного падения: 9,80665 м / с ²

${\ displaystyle M}$ = молярная масса воздуха Земли: 0,0289644 кг / моль

Или преобразовать в имперские единицы : ^[1]

куда

${\ displaystyle P_ {b}}$= эталонное давление (дюймы ртутного столба, дюймы рт. ст. )

${\ displaystyle T_ {b}}$= эталонная температура ( K )

${\ displaystyle L_ {b}}$= градиент температуры (K / ft) в ISA

${\ displaystyle h}$ = высота, на которой рассчитывается давление (футы)

${\ displaystyle h_ {b}}$= Высота уровня опорного б (стопы; например, ч _б = 36089 футов)

${\ displaystyle R ^ {*}}$= универсальная газовая постоянная ; с использованием футов, кельвинов и (СИ) моль : 8,9494596 × 10 ⁴  фунт · фут ² / (фунт-моль · К · с ² )

${\ displaystyle g_ {0}}$= ускорение свободного падения: 32,17405 фут / с ²

${\ displaystyle M}$ = молярная масса земного воздуха: 28,9644 фунта / фунт-моль

Значение индекса b находится в диапазоне от 0 до 6 в соответствии с каждым из семи последовательных слоев атмосферы, показанных в таблице ниже. В этих уравнениях g ₀ , M и R ^* являются однозначными константами, а P, L, T и h - многозначными константами в соответствии с таблицей ниже. Значения, используемые для M, g ₀ и R ^* , соответствуют Стандарту атмосферы США , 1976 г., а значение R ^*, в частности, не согласуется со стандартными значениями этой константы.^[2] Опорное значение для Р _Ь для Ь = 0 является определенным значением уровня моря, Р ₀ = 101 325 Па или 29,92126 дюймов ртутного столба. Значения P _b от b = 1 до b = 6 получают из применения соответствующего члена парных уравнений 1 и 2 для случая, когда h = h _{b + 1} . ^[2]

Уравнения плотности [ править ]

Выражения для расчета плотности почти идентичны выражениям для расчета давления. Единственная разница - это показатель степени в уравнении 1.

Есть два разных уравнения для вычисления плотности при различных режимах высоты ниже 86 геометрических км (84 852 геопотенциальных метра или 278 385,8 геопотенциальных футов). Первое уравнение используется, когда значение стандартного градиента температуры не равно нулю; второе уравнение используется, когда стандартная скорость падения температуры равна нулю.

Уравнение 1:

${\ displaystyle {\ rho} = \ rho _ {b} \ cdot \ left [{\ frac {T_ {b}} {T_ {b} + L_ {b} \ cdot (h-h_ {b})}} \ right] ^ {\ left (1 + {\ frac {g_ {0} \ cdot M} {R ^ {*} \ cdot L_ {b}}} \ right)}}$

Уравнение 2:

${\ displaystyle {\ rho} = \ rho _ {b} \ cdot \ exp \ left [{\ frac {-g_ {0} \ cdot M \ cdot (h-h_ {b})} {R ^ {*} \ cdot T_ {b}}} \ right]}$

куда

${\displaystyle {\rho }}$= массовая плотность (кг / м ³ )

${\displaystyle T_{b}}$ = стандартная температура (K)

${\displaystyle L}$= стандартный градиент температуры (см. таблицу ниже) (К / м) в ISA

${\displaystyle h}$ = высота над уровнем моря (геопотенциальные метры)

${\displaystyle R^{*}}$= универсальная газовая постоянная 8,3144598 Н · м / (моль · К)

${\displaystyle g_{0}}$= ускорение свободного падения: 9,80665 м / с ²

${\displaystyle M}$ = молярная масса воздуха Земли: 0,0289644 кг / моль

или, преобразованный в английские гравитационные фут-фунты-секунды: ^[1]

${\displaystyle {\rho }}$= массовая плотность ( снаряд / фут ³ )

${\displaystyle {T_{b}}}$ = стандартная температура (K)

${\displaystyle {L}}$ = стандартный градиент температуры (K / ft)

${\displaystyle {h}}$ = высота над уровнем моря (геопотенциальные футы)

${\displaystyle {R^{*}}}$= универсальная газовая постоянная: 8,9494596 × 10 ⁴  фут ² / (с · К)

${\displaystyle {g_{0}}}$= ускорение свободного падения: 32,17405 фут / с ²

${\displaystyle {M}}$ = молярная масса воздуха Земли: 0,0289644 кг / моль

Значение индекса b находится в диапазоне от 0 до 6 в соответствии с каждым из семи последовательных слоев атмосферы, показанных в таблице ниже. Опорное значение для р _б для б = 0 является определенным значением уровня моря, р ₀ = 1.2250 кг / м ³ или 0.0023768908 нерасклепанных / фута ³ . Значения ρ _b от b = 1 до b = 6 получают из применения соответствующего члена парных уравнений 1 и 2 для случая, когда h = h _{b + 1} . ^[2]

В этих уравнениях g ₀ , M и R ^* являются однозначными константами, а ρ , L , T и h - многозначными константами в соответствии с таблицей ниже. Значения, используемые для M , g ₀ и R ^* , соответствуют Стандарту атмосферы США , 1976 г., и, в частности, значение R ^* не согласуется со стандартными значениями этой константы. ^[2]

Подстрочный индекс b	Высота над уровнем моря ( h )		Массовая плотность ( )${\displaystyle \rho }$		Стандартная температура ( T ' ) (K)	Скорость понижения температуры ( л )
	(м)	(футы)	(кг / м 3 )	(снаряд / фут 3 )		(К / м)	(К / фут)
0	0	0	1,2250	2,3768908 х 10 −3	288,15	-0,0065	-0,0019812
1	11 000	36 089,24	0,36391	7.0611703 х 10 −4	216,65	0,0	0,0
2	20 000	65 616,79	0,08803	1,708 1572 х 10 −4	216,65	0,001	0,0003048
3	32 000	104 986,87	0,01322	2,5660735 х 10 −5	228,65	0,0028	0,00085344
4	47 000	154 199,48	0,00143	2,7698702 х 10 −6	270,65	0,0	0,0
5	51 000	167 322,83	0,00086	1,6717895 х 10 −6	270,65	-0,0028	-0,00085344
6	71 000	232 939,63	0,000064	1,2458989 х 10 −7	214,65	-0,002	-0,0006096

Вывод [ править ]

Барометрическая формула может быть получена с использованием закона идеального газа :

${\displaystyle P={\frac {\rho }{M}}\cdot {R^{*}}T}$

Предполагая, что все давление является гидростатическим :

${\displaystyle dP=-\rho g\,dz\,}$

и деления на выражение мы получаем:${\displaystyle dP}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle {\frac {dP}{P}}=-{\frac {Mg\,dz}{R^{*}T}}}$

Интегрируя это выражение от поверхности до высоты z, получаем:

${\displaystyle P=P_{0}e^{-\int _{0}^{z}{Mgdz/R^{*}T}}\,}$

Предполагая линейное изменение температуры, постоянную молярную массу и ускорение свободного падения, мы получаем первую барометрическую формулу:${\displaystyle T=T_{0}+L\cdot z}$

${\displaystyle P=P_{0}\cdot \left[{\frac {T_{0}}{T}}\right]^{\textstyle {\frac {Mg}{R^{*}L}}}}$

Вместо этого, предполагая постоянную температуру, интегрирование дает вторую барометрическую формулу:

${\displaystyle P=P_{0}e^{-Mgz/R^{*}T}\,}$

В этой формулировке R ^* - газовая постоянная , а член R ^* T / Mg дает масштабную высоту (приблизительно равную 8,4 км для тропосферы ).

(Для получения точных результатов, следует помнить о том , что атмосфера , содержащая воду , не ведут себя как идеальный газ . См реального газа или идеальный газ или газ для дальнейшего понимания.)

См. Также [ править ]

• Гипсометрическое уравнение
• NRLMSISE-00
• Изменение давления по вертикали

Ссылки [ править ]