В статистике , теорема Баса утверждает , что любая ограниченно полная минимальная достаточная статистика является независимой от любой вспомогательной статистики . Это результат Дебабрата Басу 1955 года . [1]
Его часто используют в статистике как инструмент для доказательства независимости двух статистик, сначала демонстрируя, что одна из них является полной, а другая - вспомогательной, а затем апеллируют к теореме. [2] Примером этого является демонстрация того, что выборочное среднее и выборочная дисперсия нормального распределения являются независимой статистикой, что показано в разделе « Пример » ниже. Это свойство (независимость выборочного среднего и выборочной дисперсии) характеризует нормальные распределения.
Заявление
Позволять - семейство распределений на измеримом пространстве а также измеримые карты из в какое-то измеримое пространство . (Такие карты называются статистикой .) Если является ограниченно полной достаточной статистикой для , а также вспомогательный к , тогда не зависит от .
Доказательство
Позволять а также быть маргинальные распределения по а также соответственно.
Обозначим через прообраз множества под картой . Для любого измеримого множества у нас есть
Распространение не зависит от так как является вспомогательным. Так же, не зависит от так как достаточно. Следовательно
Обратите внимание, что подынтегральное выражение (функция внутри интеграла) является функцией и нет . Следовательно, поскольку является ограниченно полной функцией
равен нулю для почти все значения и поэтому
почти для всех . Следовательно, не зависит от .
Пример
Независимость выборочного среднего и выборочной дисперсии нормального распределения (известная дисперсия)
Пусть X 1 , X 2 , ..., X n - независимые, одинаково распределенные нормальные случайные величины со средним значением μ и дисперсией σ 2 .
Тогда по параметру μ можно показать, что
выборочное среднее - это полная достаточная статистика - это вся информация, которую можно получить для оценки μ, и не более того - и
дисперсия выборки является вспомогательной статистикой - ее распределение не зависит от μ.
Следовательно, из теоремы Басу следует, что эти статистики независимы.
Этот результат о независимости также может быть доказан теоремой Кохрана .
Кроме того, это свойство (независимость выборочного среднего и выборочной дисперсии нормального распределения) характеризует нормальное распределение - ни одно другое распределение не обладает этим свойством. [3]
Заметки
- ↑ Басу (1955)
- ^ Гош, малайский; Мухопадхьяй, Нитис; Сен, Пранаб Кумар (2011), Последовательная оценка , Ряд Уайли в вероятности и статистике, 904 , Джон Уайли и сыновья, стр. 80, ISBN 9781118165911,
Следующая теорема, из - за Бас ... помогает нам доказать независимость между определенными типами статистических данных, без фактического получения совместных и предельных распределений статистик участвующих. Это очень мощный инструмент, и его часто используют ...
- ^ Гири, RC (1936). «Распределение« коэффициента студента »для нестандартных выборок». Приложение к Журналу Королевского статистического общества . 3 (2): 178–184. DOI : 10.2307 / 2983669 . JFM 63.1090.03 . JSTOR 2983669 .
Рекомендации
- Басу, Д. (1955). «О статистике, не зависящей от полной достаточной статистики». Санкхья . 15 (4): 377–380. JSTOR 25048259 . Руководство по ремонту 0074745 . Zbl 0068.13401 .
- Мухопадхьяй, Нитис (2000). Вероятность и статистический вывод . Статистика: серия учебников и монографий. 162 . Флорида: CRC Press USA. ISBN 0-8247-0379-0 .
- Боос, Деннис Д .; Оливер, Жаклин М. Хьюз (август 1998 г.). «Приложения теоремы Басу» . Американский статистик . 52 (3): 218–221. DOI : 10.2307 / 2685927 . JSTOR 2685927 . Руководство по ремонту 1650407 .
- Гош, малайский (октябрь 2002 г.). «Теорема Басу с приложениями: персоналистический обзор». Санкхья: Индийский журнал статистики, Series A . 64 (3): 509–531. JSTOR 25051412 . MR 1985397 .