теорема Байеса

В теории вероятностей и статистике теорема Байеса (альтернативно закон Байеса или правило Байеса ; недавно теорема Байеса-Прайса ^{[1] : 44, 45, 46 и 67} ), названная в честь Томаса Байеса , описывает вероятность события на основе на предварительном знании условий, которые могут быть связаны с событием. ^[2]Например, если известно, что риск развития проблем со здоровьем увеличивается с возрастом, теорема Байеса позволяет более точно оценить риск для человека известного возраста (обусловливая его возрастом), чем просто предположить, что человек типично для населения в целом.

Одним из многих приложений теоремы Байеса является байесовский вывод , особый подход к статистическому выводу . При применении вероятности, включенные в теорему, могут иметь различную вероятностную интерпретацию . При байесовской интерпретации вероятности теорема выражает, как степень уверенности, выраженная в виде вероятности, должна рационально изменяться с учетом наличия соответствующих свидетельств. Байесовский вывод лежит в основе байесовской статистики .

${\ displaystyle P (A \ mid B) = {\ frac {P (B \ mid A) P (A)} {P (B)}}}$

где и события и . _${\ Displaystyle А}$${\ Displaystyle В}$${\ Displaystyle Р (В) \ neq 0}$

где вероятность того, что и А, и В верны. По аналогии,${\ Displaystyle Р (А \ крышка В)}$

Решение и подстановка в приведенное выше выражение для дает теорему Байеса:${\ Displaystyle Р (А \ крышка В)}$${\ Displaystyle Р (А \ середина В)}$

Синяя неоновая вывеска, показывающая простое утверждение теоремы Байеса.

Рис. 1. Использование частотного поля для визуального отображения путем сравнения заштрихованных областей.${\ displaystyle P ({\ text {Пользователь}} \ mid {\ text {Положительно}})}$

Рисунок 2: Геометрическая визуализация теоремы Байеса.

Рисунок 3: Иллюстрация частотной интерпретации с древовидными диаграммами .

Рисунок 4: Древовидная диаграмма, иллюстрирующая пример с жуком. R, C, P и — события редкие, обычные, закономерность и отсутствие закономерности. Проценты в скобках рассчитаны. Даны три независимых значения, поэтому можно вычислить обратное дерево.${\ displaystyle {\ overline {P}}}$

Рис . 5. Применение теоремы Байеса к пространству событий, порожденному непрерывными случайными величинами X и Y. Существует пример теоремы Байеса для каждой точки области . На практике эти экземпляры могут быть параметризованы путем записи указанных плотностей вероятности как функции x и y .

Рис. 6. Способ концептуализации пространств событий, генерируемых непрерывными случайными величинами X и Y.