Излучение луча

Образцы двумерного нормального распределения , представляющие частицы в фазовом пространстве, с горизонтальным положением и вертикальным импульсом.

Эмиттанс - это свойство пучка заряженных частиц в ускорителе частиц . Это мера для среднего разброса координат частицы в фазовом пространстве положения и импульса и имеет размерность длины (например, метры) или длины, умноженной на угол (метры, умноженные на радианы). По мере того как пучок частиц распространяется вдоль магнитов и других управляющих пучком компонентов ускорителя, разброс положений может изменяться, но таким образом, чтобы не изменять эмиттанс. Если распределение по фазовому пространству представлено в виде облака на графике (см. Рисунок), эмиттанс - это площадь облака. Более точное определение касается нечетких границ облака и облака, не имеющего эллиптической формы.

Пучок частиц с низким эмиттансом - это пучок, в котором частицы удерживаются на небольшом расстоянии и имеют почти одинаковый импульс . Система транспортировки пучка допускает только частицы, импульс которых близок к его расчетному импульсу, и, конечно же, они должны проходить через трубку пучка и магниты, составляющие систему. В ускорителе встречных пучков сохранение небольшого эмиттанса означает, что вероятность взаимодействия частиц будет выше, что приведет к более высокой светимости . В синхротронном источнике света низкий коэффициент излучения означает, что результирующий пучок рентгеновских лучей будет небольшим, что приведет к более высокой яркости.

Определение [ править ]

Излучение имеет единицы длины, но обычно называется «длина × угол», например «миллиметр × миллирадиан». Его можно измерить во всех трех пространственных измерениях. Размер, параллельный движению частицы, называется продольным эмиттансом, а два других измерения называются поперечными эмиттансами.

Геометрическая эмиссия [ править ]

Арифметическое определение поперечного эмиттанса ( ): $\varepsilon$

\varepsilon ={\frac {6\pi \left({\text{width}}^{2}-D^{2}\left({\frac {\mathrm {d} p}{p}}\right)^{2}\right)}{B}}

Где:

width - ширина пучка частиц
dp / p - импульсный разброс пучка частиц
D - значение дисперсионной функции в точке измерения в ускорителе частиц.
B - значение бета-функции в точке измерения в ускорителе частиц.

Поскольку трудно измерить полную ширину луча, измеряется либо среднеквадратичная ширина луча, либо значение ширины, которое охватывает определенный процент луча (например, 95%). Эмиттанс из этих измерений ширины затем упоминается как «среднеквадратичный эмиттанс» или «эмиттанс 95%» соответственно.

Следует отличать эмиттанс отдельной частицы от эмиттанса всего пучка. Эмиттанс отдельной частицы - это значение инвариантной величины

\epsilon =\gamma x^{2}+2\alpha xx'+\beta x'^{2}

где x и x ′ - положение и угол частицы соответственно, а - параметры Твисса. (В контексте гамильтоновой динамики следует быть более осторожными при формулировании в терминах поперечного импульса вместо x ′ .) Это эмиттанс отдельной частицы. $\beta ,\alpha ,\gamma$

RMS Emittance [ править ]

In some particle accelerators, Twiss parameters are not commonly used and the emittance is defined by the beam's second order phase space statistics instead. Here, the RMS emittance ( $\varepsilon _{\text{RMS}}$ ) is defined to be,^[1]

$\varepsilon _{\text{RMS}}={\sqrt {\langle x^{2}\rangle \langle x^{\prime 2}\rangle -\langle x\cdot x^{\prime }\rangle ^{2}}}$

where $\langle x^{2}\rangle$ is the variance of the particle's position, $\langle x^{\prime 2}\rangle$ is the variance of the angle a particle makes with the direction of travel in the accelerator ( $x^{\prime }={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}$ with $z$ along the direction of travel), and $\langle x\cdot x^{\prime }\rangle$ represents an angle-position correlation of particles in the beam. This definition reverts to the prior listed definition of geometric emittance in the case of a periodic accelerator lattice where the Twiss parameters can be defined.

The emittance may also be expressed as the determinant of the variance-covariance matrix of the beam's phase space coordinates where it becomes clear that quantity describes an effective area occupied by the beam in terms of its second order statistics.

$\varepsilon _{\text{RMS}}={\sqrt {\begin{vmatrix}\langle x\cdot x\rangle &\langle x\cdot x^{\prime }\rangle \\\langle x\cdot x^{\prime }\rangle &\langle x^{\prime }\cdot x^{\prime }\rangle \end{vmatrix}}}$

Depending on context, some may also add a scaling factor in front of the equation for RMS emittance so that it will correspond to the area of uniformly filled ellipse shaped distribution in phase space.

RMS Emittance in Higher Dimensions[edit]

It is sometimes useful to talk about phase space area for either four dimensional transverse phase space (IE $x$ , $x^{\prime }$ , $y$ , $y^{\prime }$ ) or the full six dimensional phase space of particles (IE $x$ , $x^{\prime }$ , $y$ , $y^{\prime }$ , $\Delta z$ , $\Delta z^{\prime }$ ). It is now clear from the matrix definition of RMS emittance how the definition may generalize into higher dimensions.

$\varepsilon _{{\text{RMS}},6D}={\sqrt {\begin{vmatrix}\langle x\cdot x\rangle &\langle x\cdot x^{\prime }\rangle &\langle x\cdot y\rangle &\langle x\cdot y^{\prime }\rangle &\langle x\cdot z\rangle &\langle x\cdot z^{\prime }\rangle \\\langle x^{\prime }\cdot x\rangle &\langle x^{\prime }\cdot x^{\prime }\rangle &\langle x^{\prime }\cdot y\rangle &\langle x^{\prime }\cdot y^{\prime }\rangle &\langle x^{\prime }\cdot z\rangle &\langle x^{\prime }\cdot z^{\prime }\rangle \\\langle y\cdot x\rangle &\langle y\cdot x^{\prime }\rangle &\langle y\cdot y\rangle &\langle y\cdot y^{\prime }\rangle &\langle y\cdot z\rangle &\langle y\cdot z^{\prime }\rangle \\\langle y^{\prime }\cdot x\rangle &\langle y^{\prime }\cdot x^{\prime }\rangle &\langle y^{\prime }\cdot y\rangle &\langle y^{\prime }\cdot y^{\prime }\rangle &\langle y^{\prime }\cdot z\rangle &\langle y^{\prime }\cdot z^{\prime }\rangle \\\langle z\cdot x\rangle &\langle z\cdot x^{\prime }\rangle &\langle z\cdot y\rangle &\langle z\cdot y^{\prime }\rangle &\langle z\cdot z\rangle &\langle z\cdot z^{\prime }\rangle \\\langle z^{\prime }\cdot x\rangle &\langle z^{\prime }\cdot x^{\prime }\rangle &\langle z^{\prime }\cdot y\rangle &\langle z^{\prime }\cdot y^{\prime }\rangle &\langle z^{\prime }\cdot z\rangle &\langle z^{\prime }\cdot z^{\prime }\rangle \\\end{vmatrix}}}$

In the absences of correlations between different axes in the particle accelerator, most of these matrix elements become zero and we are left with a product of the emittance along each axis.

$\varepsilon _{{\text{RMS}},6D}={\sqrt {\begin{vmatrix}\langle x\cdot x\rangle &\langle x\cdot x^{\prime }\rangle &0&0&0&0\\\langle x^{\prime }\cdot x\rangle &\langle x^{\prime }\cdot x^{\prime }\rangle &0&0&0&0\\0&0&\langle y\cdot y\rangle &\langle y\cdot y^{\prime }\rangle &0&0\\0&0&\langle y^{\prime }\cdot y\rangle &\langle y^{\prime }\cdot y^{\prime }\rangle &0&0\\0&0&0&0&\langle z\cdot z\rangle &\langle z\cdot z^{\prime }\rangle \\0&0&0&0&\langle z^{\prime }\cdot z\rangle &\langle z^{\prime }\cdot z^{\prime }\rangle \\\end{vmatrix}}}={\sqrt {\begin{vmatrix}\langle x\cdot x\rangle &\langle x\cdot x^{\prime }\rangle \\\langle x^{\prime }\cdot x\rangle &\langle x^{\prime }\cdot x^{\prime }\rangle \\\end{vmatrix}}}{\sqrt {\begin{vmatrix}\langle y\cdot y\rangle &\langle y\cdot y^{\prime }\rangle \\\langle y^{\prime }\cdot y\rangle &\langle y^{\prime }\cdot y^{\prime }\rangle \\\end{vmatrix}}}{\sqrt {\begin{vmatrix}\langle z\cdot z\rangle &\langle z\cdot z^{\prime }\rangle \\\langle z^{\prime }\cdot z\rangle &\langle z^{\prime }\cdot z^{\prime }\rangle \\\end{vmatrix}}}=\varepsilon _{x}\varepsilon _{y}\varepsilon _{z}$

Normalized Emittance[edit]

Although the previous definitions of emittance remain constant for linear beam transport, they do change when the particles undergo acceleration (an effect called adiabatic damping). In some applications, such as for linear accelerators, photoinjectors, and the accelerating sections of larger systems, it becomes important to compare beam quality across different energies. For this purpose we define normalized emittance which is invariant under acceleration.

$\varepsilon _{n}={\sqrt {\langle x^{2}\rangle \langle p_{x}^{2}\rangle -\langle x\cdot p_{x}\rangle ^{2}}}={\sqrt {\begin{vmatrix}\langle x\cdot x\rangle &\langle x\cdot p_{x}\rangle \\\langle x\cdot p_{x}\rangle &\langle p_{x}\cdot p_{x}\rangle \end{vmatrix}}}$

where the angle $x^{\prime }={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}$ has been replaced with a transverse momentum $p_{x}$ which does not depend on longitudinal momentum.

Normalized emittance is related to the previous definitions of emittance through the Lorentz factor ( $\gamma$ ) and relativistic velocity in direction of the beam's travel ( $\beta _{z}$ ).^[2]

$\epsilon _{n}=\beta _{z}\gamma \epsilon$

The normalized emittance does not change as a function of energy and so can track beam degradation if the particles are accelerated. If β is close to one then the emittance is approximately inversely proportional to the energy and so the physical width of the beam will vary inversely to the square root of the energy.

Higher dimensional versions of the normalized emittance can be defined in analogy to the RMS version by replacing all angles with their corresponding momenta.

Emittance of electrons versus heavy particles[edit]

To understand why the RMS emittance takes on a particular value in a storage ring, one needs to distinguish between electron storage rings and storage rings with heavier particles (such as protons). In an electron storage ring, radiation is an important effect, whereas when other particles are stored, it is typically a small effect. When radiation is important, the particles undergo radiation damping (which slowly decreases emittance turn after turn) and quantum excitation causing diffusion which leads to an equilibrium emittance.^[3] When no radiation is present, the emittances remain constant (apart from impedance effects and intrabeam scattering). In this case, the emittance is determined by the initial particle distribution. In particular if one injects a "small" emittance, it remains small, whereas if one injects a "large" emittance, it remains large.

Acceptance[edit]

The acceptance, also called admittance,^[4] is the maximum emittance that a beam transport system or analyzing system is able to transmit. This is the size of the chamber transformed into phase space and does not suffer from the ambiguities of the definition of beam emittance.

Conservation of emittance[edit]

Lenses can focus a beam, reducing its size in one transverse dimension while increasing its angular spread, but cannot change the total emittance. This is a result of Liouville's theorem. Ways of reducing the beam emittance include radiation damping, stochastic cooling, and electron cooling.

Emittance and brightness[edit]

Emittance is also related to the brightness of the beam. In microscopy brightness is very often used, because it includes the current in the beam and most systems are circularly symmetric.^{[clarification needed]}

B={\frac {{\eta }I}{{\epsilon _{x}}{\epsilon _{y}}}}

with $\eta ={\frac {1}{8\pi ^{2}}}$

References[edit]

^ Peggs, Stephen, 1952-. Introduction to accelerator dynamics. Satogata, Todd, 1966-. Cambridge, United Kingdom. ISBN 978-1-316-45930-0. OCLC 1000434866.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Wilson, Edmund (2001). An Introduction To Particle Accelerators. Oxford University Press. ISBN 9780198520542.
^ http://www.slac.stanford.edu/pubs/slacreports/slac-r-121.html Archived 2015-05-11 at the Wayback Machine The Physics of Electron Storage Rings: An Introduction by Matt Sands
^ Lee, Shyh-Yuan (1999). Accelerator physics. World Scientific. ISBN 978-9810237097.

[1] Peggs, Stephen, 1952-. Introduction to accelerator dynamics. Satogata, Todd, 1966-. Cambridge, United Kingdom. ISBN 978-1-316-45930-0. OCLC 1000434866.CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[2] Wilson, Edmund (2001). An Introduction To Particle Accelerators. Oxford University Press. ISBN 9780198520542.

[3] ttp://www.slac.stanford.edu/pubs/slacreports/slac-r-121.html Archived 2015-05-11 at the Wayback Machine The Physics of Electron Storage Rings: An Introduction by Matt Sands

[admittance-4] Lee, Shyh-Yuan (1999). Accelerator physics. World Scientific. ISBN 978-9810237097.

[1]