Двумерное распределение фон Мизеса

Выборки из косинусного варианта двумерного распределения фон Мизеса. Зеленые точки взяты из распределения с высокой концентрацией и высокой корреляцией ( , ), синие точки взяты из распределения с высокой концентрацией и отрицательной корреляцией ( , ), а красные точки взяты из распределения с низкой концентрацией и без корреляция ( ).${\ Displaystyle \ каппа _ {1} = \ каппа _ {2} = 200}$${\ displaystyle \ kappa _ {3} = 0}$${\ Displaystyle \ каппа _ {1} = \ каппа _ {2} = 200}$${\ displaystyle \ kappa _ {3} = 100}$${\ Displaystyle \ каппа _ {1} = \ каппа _ {2} = 20, \ каппа _ {3} = 0}$

В теории вероятностей и статистике , то двумерный распределение Мизеса является распределением вероятностей , описывающее значений на торе . Его можно рассматривать как аналог на торе двумерного нормального распределения . Распределение относится к области направленной статистики . Общее двумерное распределение фон Мизеса было впервые предложено Канти Мардиа в 1975 году. ^{[1] [2]} Один из его вариантов сегодня используется в области биоинформатики для формулирования вероятностной модели структуры белка с атомарными деталями. ^[3][4]

Определение [ править ]

Двумерное распределение фон Мизеса - это распределение вероятностей, определенное на торе , в дюймах . Функция плотности вероятности общего двумерного распределения фон Мизеса для углов определяется выражением ^[1]${\ Displaystyle S ^ {1} \ раз S ^ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ phi, \ psi \ in [0,2 \ pi]}$

${\ Displaystyle е (\ фи, \ psi) \ propto \ exp [\ kappa _ {1} \ cos (\ phi - \ mu) + \ kappa _ {2} \ cos (\ psi - \ nu) + (\ cos (\ phi - \ mu), \ sin (\ phi - \ mu)) \ mathbf {A} (\ cos (\ psi - \ nu), \ sin (\ psi - \ nu)) ^ {T}] ,}$

где и являются средними для и , а их концентрация и матрица связаны с их корреляцией.${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ kappa _ {1}}$${\ displaystyle \ kappa _ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbf {A} \ in \ mathbb {M} (2,2)}$

Двумя обычно используемыми вариантами двумерного распределения фон Мизеса являются вариант синуса и косинуса.

Косинусный вариант двумерного распределения фон Мизеса ^[3] имеет функцию плотности вероятности

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=Z_{c}(\kappa _{1},\kappa _{2},\kappa _{3})\ \exp[\kappa _{1}\cos(\phi -\mu )+\kappa _{2}\cos(\psi -\nu )-\kappa _{3}\cos(\phi -\mu -\psi +\nu )],}$

где и - средства для и , а их концентрация и связана с их соотношением. - константа нормировки. Это распределение с = 0 использовалось для оценок ядерной плотности распределения двугранных углов и . ^[4]${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \kappa _{1}}$${\displaystyle \kappa _{2}}$${\displaystyle \kappa _{3}}$${\displaystyle Z_{c}}$${\displaystyle \kappa _{3}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi }$

Вариант синуса имеет функцию плотности вероятности ^[5]

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=Z_{s}(\kappa _{1},\kappa _{2},\kappa _{3})\ \exp[\kappa _{1}\cos(\phi -\mu )+\kappa _{2}\cos(\psi -\nu )+\kappa _{3}\sin(\phi -\mu )\sin(\psi -\nu )],}$

где параметры имеют одинаковую интерпретацию.

См. Также [ править ]

• Распределение фон Мизеса , аналогичное распределение на одномерной единичной окружности
• Распределение Кента , связанное распределение на двумерной единичной сфере
• распределение фон Мизеса – Фишера
• Направленная статистика

Ссылки [ править ]