распределение фон Мизеса

фон Мизес

Функция плотности вероятности Носитель выбирается [- π , π ] с μ = 0
Кумулятивная функция распределения Носитель выбирается [- π , π ] с μ = 0
Параметры	${\ displaystyle \ mu}$ настоящий ${\ displaystyle \ kappa> 0}$
Поддерживать	${\ Displaystyle х \ in}$ любой интервал длины 2π
PDF	${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {е ^ {\ каппа \ соз (х- \ му)}} {2 \ пи I_ {0} (\ каппа)}}}$
CDF	(не аналитический - см. текст)
Иметь в виду	${\ displaystyle \ mu}$
Медиана	${\ displaystyle \ mu}$
Режим	${\ displaystyle \ mu}$
Дисперсия	${\displaystyle {\textrm {var}}(x)=1-I_{1}(\kappa )/I_{0}(\kappa )}$ (круговой)
Энтропия	${\displaystyle -\kappa {\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}+\ln[2\pi I_{0}(\kappa )]}$ (дифференциал)
CF	${\displaystyle {\frac {I_{|t|}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}e^{it\mu }}$

В теории вероятностей и направленной статистике , то фон Мизес распределение (также известное как круговое нормальное распределение или Тихонов распределение ) является непрерывным распределением вероятностей на окружности . Это близкое приближение к обернутому нормальному распределению , которое является круговым аналогом нормального распределения . Свободно распространяющийся угол на окружности - это нормально распределенная случайная величина с разверткой${\displaystyle \theta }$дисперсия, линейно растущая во времени. С другой стороны, распределение фон Мизеса - это стационарное распределение процесса дрейфа и диффузии на окружности в гармоническом потенциале, то есть с предпочтительной ориентацией. ^[1] Распределение фон Мизеса - это максимальное распределение энтропии для круговых данных, когда указаны действительная и мнимая части первого кругового момента . Распределение фон Мизеса является частным случаем распределения фон Мизеса – Фишера на N -мерной сфере.

Определение [ править ]

Функция плотности вероятности фон Мизеса для угла x определяется выражением ^[2]

${\displaystyle f(x\mid \mu ,\kappa )={\frac {e^{\kappa \cos(x-\mu )}}{2\pi I_{0}(\kappa )}}}$

где I ₀ ( ) - модифицированная функция Бесселя порядка 0.${\displaystyle \kappa }$

Параметры μ и 1 / аналогичны μ и σ ² (среднему значению и дисперсии) в нормальном распределении:${\displaystyle \kappa }$

• μ - мера местоположения (распределение сгруппировано вокруг μ), а
• ${\displaystyle \kappa }$- мера концентрации (обратная мера дисперсии , поэтому 1 / аналогична σ ² ).${\displaystyle \kappa }$
  • Если равно нулю, то распределение равномерное, а при малых - близко к равномерному.${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$
  • Если велико, распределение становится очень концентрированным около угла μ, который является мерой концентрации. Фактически, при увеличении распределение приближается к нормальному распределению по x   со средним значением μ и дисперсией 1 / .${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$

Плотность вероятности может быть выражена как серия функций Бесселя ^[3]

${\displaystyle f(x\mid \mu ,\kappa )={\frac {1}{2\pi }}\left(1+{\frac {2}{I_{0}(\kappa )}}\sum _{j=1}^{\infty }I_{j}(\kappa )\cos[j(x-\mu )]\right)}$

где I _j ( x ) - модифицированная функция Бесселя порядка j .

Кумулятивная функция распределения не является аналитической, и ее лучше всего найти путем интегрирования вышеуказанного ряда. Неопределенный интеграл плотности вероятности равен:

${\displaystyle \Phi (x\mid \mu ,\kappa )=\int f(t\mid \mu ,\kappa )\,dt={\frac {1}{2\pi }}\left(x+{\frac {2}{I_{0}(\kappa )}}\sum _{j=1}^{\infty }I_{j}(\kappa ){\frac {\sin[j(x-\mu )]}{j}}\right).}$

Кумулятивная функция распределения будет функцией нижнего предела интегрирования x ₀ :

${\displaystyle F(x\mid \mu ,\kappa )=\Phi (x\mid \mu ,\kappa )-\Phi (x_{0}\mid \mu ,\kappa ).\,}$

Моменты [ править ]

Моменты распределения фон Мизеса обычно вычисляются как моменты комплексной экспоненты z = e ^ix, а не как угол x . Эти моменты называются круговыми моментами . Дисперсия, рассчитанная по этим моментам, называется круговой дисперсией . Единственным исключением из этого правила является то, что «среднее» обычно относится к аргументу сложного среднего.

П - я момента сырого г составляет:

${\displaystyle m_{n}=\langle z^{n}\rangle =\int _{\Gamma }z^{n}\,f(x|\mu ,\kappa )\,dx}$

${\displaystyle ={\frac {I_{|n|}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}e^{in\mu }}$

где интеграл берется по любому интервалу длины 2π. При вычислении вышеуказанного интеграла мы используем тот факт, что z ⁿ = cos ( n x) + i sin ( nx ) и тождество функции Бесселя: ^[4]${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle I_{n}(\kappa )={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{\kappa \cos(x)}\cos(nx)\,dx.}$

Среднее значение комплексной экспоненты z   тогда просто

${\displaystyle m_{1}={\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}e^{i\mu }}$

и тогда в качестве аргумента μ принимается круговое среднее значение угла x . Это ожидаемое или предпочтительное направление угловых случайных величин. Дисперсия z или круговая дисперсия x :

${\displaystyle {\textrm {var}}(x)=1-E[\cos(x-\mu )]=1-{\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}.}$

Ограничивающее поведение [ править ]

Когда большой, распределение напоминает нормальное распределение . Более конкретно, для больших положительных действительных чисел ,${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle f(x\mid \mu ,\kappa )\approx {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[{\dfrac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

где σ ² = 1 / и разность между левой и правой частями приближения равномерно сходится к нулю при уходе в бесконечность. Кроме того, когда она мала, функция плотности вероятности напоминает равномерное распределение :${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \lim _{\kappa \rightarrow 0}f(x\mid \mu ,\kappa )=\mathrm {U} (x)}$

где интервал для равномерного распределения - это выбранный интервал длины (т.е. когда находится в интервале, а когда не входит в интервал).${\displaystyle \mathrm {U} (x)}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \mathrm {U} (x)=1/(2\pi )}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathrm {U} (x)=0}$${\displaystyle x}$

Оценка параметров [ править ]

Серия из N измерений, полученных из распределения фон Мизеса, может использоваться для оценки определенных параметров распределения. (Borradaile, 2003) Среднее значение ряда определяется как${\displaystyle z_{n}=e^{i\theta _{n}}}$${\displaystyle {\overline {z}}}$

${\displaystyle {\overline {z}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}}$

и его математическое ожидание будет только первым моментом:

${\displaystyle \langle {\overline {z}}\rangle ={\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}e^{i\mu }.}$

Другими словами, это объективная оценка первого момента. Если мы предположим, что среднее значение находится в интервале , тогда Arg будет (смещенной) оценкой среднего .${\displaystyle {\overline {z}}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle ({\overline {z}})}$${\displaystyle \mu }$

Если рассматривать как набор векторов в комплексной плоскости, статистика представляет собой квадрат длины усредненного вектора:${\displaystyle z_{n}}$${\displaystyle {\bar {R}}^{2}}$

${\displaystyle {\bar {R}}^{2}={\overline {z}}\,{\overline {z^{*}}}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \theta _{n}\right)^{2}+\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin \theta _{n}\right)^{2}}$

и его математическое ожидание:

${\displaystyle \langle {\bar {R}}^{2}\rangle ={\frac {1}{N}}+{\frac {N-1}{N}}\,{\frac {I_{1}(\kappa )^{2}}{I_{0}(\kappa )^{2}}}.}$

Другими словами, статистика

${\displaystyle R_{e}^{2}={\frac {N}{N-1}}\left({\bar {R}}^{2}-{\frac {1}{N}}\right)}$

будет несмещенной оценкой, и решение уравнения для даст (смещенную) оценку . По аналогии с линейным случаем, решение уравнения приведет к получению оценки максимального правдоподобия из и оба будут равны в пределе больших N . Для приближенного решения обратитесь к распределению фон Мизеса – Фишера .${\displaystyle {\frac {I_{1}(\kappa )^{2}}{I_{0}(\kappa )^{2}}}\,}$${\displaystyle R_{e}={\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}\,}$${\displaystyle \kappa \,}$${\displaystyle \kappa \,}$${\displaystyle {\bar {R}}={\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}\,}$${\displaystyle \kappa \,}$${\displaystyle \kappa \,}$

Распределение среднего [ править ]

Распределение выборочного среднего для распределения Мизеса определяется по формуле: ^[5]${\displaystyle {\overline {z}}={\bar {R}}e^{i{\overline {\theta }}}}$

${\displaystyle P({\bar {R}},{\bar {\theta }})\,d{\bar {R}}\,d{\bar {\theta }}={\frac {1}{(2\pi I_{0}(\kappa ))^{N}}}\int _{\Gamma }\prod _{n=1}^{N}\left(e^{\kappa \cos(\theta _{n}-\mu )}d\theta _{n}\right)={\frac {e^{\kappa N{\bar {R}}\cos({\bar {\theta }}-\mu )}}{I_{0}(\kappa )^{N}}}\left({\frac {1}{(2\pi )^{N}}}\int _{\Gamma }\prod _{n=1}^{N}d\theta _{n}\right)}$

где N - количество измерений и состоит из интервалов в переменных, с учетом ограничения, что и являются постоянными, где - средний результат:${\displaystyle \Gamma \,}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle {\bar {R}}}$${\displaystyle {\bar {\theta }}}$${\displaystyle {\bar {R}}}$

${\displaystyle {\bar {R}}^{2}=|{\bar {z}}|^{2}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos(\theta _{n})\right)^{2}+\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin(\theta _{n})\right)^{2}}$

а - средний угол:${\displaystyle {\overline {\theta }}}$

${\displaystyle {\overline {\theta }}=\mathrm {Arg} ({\overline {z}}).\,}$

Обратите внимание, что член продукта в скобках - это просто распределение среднего для кругового равномерного распределения . ^[5]

Это означает , что распределение среднего направления из распределения Мизеса является распределением Мизеса , или, что эквивалентно, .${\displaystyle \mu }$${\displaystyle VM(\mu ,\kappa )}$${\displaystyle VM(\mu ,{\bar {R}}N\kappa )}$${\displaystyle VM(\mu ,R\kappa )}$

Энтропия [ править ]

По определению информационная энтропия распределения фон Мизеса равна ^[2]

${\displaystyle H=-\int _{\Gamma }f(\theta ;\mu ,\kappa )\,\ln(f(\theta ;\mu ,\kappa ))\,d\theta \,}$

где - любой интервал длины . Логарифм плотности распределения Фон Мизеса прост:${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \ln(f(\theta ;\mu ,\kappa ))=-\ln(2\pi I_{0}(\kappa ))+\kappa \cos(\theta )\,}$

Представление характеристической функции для распределения Фон Мизеса:

${\displaystyle f(\theta ;\mu ,\kappa )={\frac {1}{2\pi }}\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }\phi _{n}\cos(n\theta )\right)}$

где . Подставляя эти выражения в интеграл энтропии, меняя порядок интегрирования и суммирования и используя ортогональность косинусов, энтропию можно записать:${\displaystyle \phi _{n}=I_{|n|}(\kappa )/I_{0}(\kappa )}$

${\displaystyle H=\ln(2\pi I_{0}(\kappa ))-\kappa \phi _{1}=\ln(2\pi I_{0}(\kappa ))-\kappa {\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}}$

Для распределение фон Мизеса становится круговым равномерным распределением, а энтропия достигает своего максимального значения .${\displaystyle \kappa =0}$${\displaystyle \ln(2\pi )}$

Обратите внимание, что распределение фон Мизеса максимизирует энтропию, когда указаны действительная и мнимая части первого кругового момента ^[6] или, что то же самое, указаны круговое среднее и круговая дисперсия .

См. Также [ править ]

• Двумерное распределение фон Мизеса
• Направленная статистика
• Распределение фон Мизеса – Фишера
• Кент распределение

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Этот раздел для дальнейшего чтения может содержать неуместные или чрезмерные предложения, которые могут не соответствовать рекомендациям Википедии . Пожалуйста , убедитесь , что только разумное количество из сбалансированных , актуальные , надежных и известных дальнейших предложений чтений приведены; удаление менее актуальных или повторяющихся публикаций с той же точкой зрения, где это необходимо. Рассмотрите возможность использования соответствующих текстов в качестве встроенных источников или создания отдельной библиографической статьи . ( Июнь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

• Абрамовиц, М. и Стегун, И.А. (ред.), Справочник по математическим функциям , Национальное бюро стандартов, 1964; переизданные Dover Publications, 1965. ISBN 0-486-61272-4 
• «Алгоритм AS 86: функция распределения фон Мизеса», Mardia, Applied Statistics, 24, 1975 (стр. 268–272).
• "Алгоритм 518, Неполная функция Бесселя I0: Распределение фон Мизеса", Хилл, Транзакции ACM на математическом программном обеспечении, Vol. 3, № 3, сентябрь 1977 г., страницы 279–284.
• Бест, Д. и Фишер, Н. (1979). Эффективное моделирование распределения фон Мизеса. Прикладная статистика, 28, 152–157.
• Эванс М., Гастингс Н. и Пикок Б., "Распределение фон Мизеса". Гл. 41 в статистических распределениях, 3-е изд. Нью-Йорк. Wiley 2000.
• Фишер, Николай I., Статистический анализ циркулярных данных. Нью-Йорк. Кембридж 1993.
• «Статистические распределения», 2-е. Edition, Evans, Hastings, and Peacock, John Wiley and Sons, 1993, (глава 39). ISBN 0-471-55951-2 
• Боррадейл, Грэм (2003). Статистика данных наук о Земле . Springer. ISBN 978-3-540-43603-4. Проверено 31 декабря 2009 года .