Сила закона
В статистике степенной закон — это функциональная связь между двумя величинами, при которой относительное изменение одной величины приводит к относительному изменению другой величины, пропорциональному степени изменения, независимо от первоначального размера этих величин: одна величина изменяется. как сила другого. Например, если рассматривать площадь квадрата через длину его стороны, то если длину увеличить вдвое, площадь умножится в четыре раза. [1] Скорость изменения, проявляющаяся в этих отношениях, называется мультипликативной.
Распределение широкого спектра физических, биологических и антропогенных явлений приблизительно подчиняется степенному закону в широком диапазоне величин: к ним относятся размеры кратеров на Луне и солнечных вспышек , [2] размеры облаков, [3] ] характер питания различных видов, [4] размеры моделей активности популяций нейронов, [5] частоты слов в большинстве языков, частоты фамилий , видовое богатство в кладах организмов, [6] размеры перебои в подаче электроэнергии , извержения вулканов, [7] человеческие суждения об интенсивности стимулов [8] [9] и многие другие величины. [10] Эмпирические распределения могут соответствовать степенному закону только для ограниченного диапазона значений, поскольку чисто степенной закон допускает сколь угодно большие или малые значения.Акустическое затухание подчиняется частотно-степенному закону в широких полосах частот для многих сложных сред. Аллометрические законы масштабирования для отношений между биологическими переменными являются одними из наиболее известных степенных функций в природе.
Одним из свойств степенных законов является их масштабная инвариантность . Учитывая отношение , масштабирование аргумента с помощью постоянного коэффициента вызывает только пропорциональное масштабирование самой функции. То есть,
где обозначает прямую пропорциональность . То есть масштабирование с помощью константы просто умножает исходное степенное соотношение на константу . Таким образом, из этого следует, что все степенные законы с определенным показателем масштабирования эквивалентны с точностью до постоянных коэффициентов, поскольку каждый из них представляет собой просто масштабированную версию других. Именно такое поведение создает линейную зависимость, когда логарифмируются оба и , а прямую линию на логарифмическом графике часто называют сигнатурой степенного закона. В случае реальных данных такая прямолинейность является необходимым, но не достаточным условием для того, чтобы данные подчинялись степенному закону. Фактически, существует множество способов генерировать конечные объемы данных, которые имитируют это поведение сигнатуры, но в своем асимптотическом пределе не являются истинными степенными законами. [ нужна цитата ] Таким образом, точная установка и проверка степенных моделей является активной областью исследований в статистике; см. ниже.
