В математике теорема Бони -Брезиса , придуманная французскими математиками Жаном-Мишелем Бони и Хаимом Брезисом , дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы замкнутое подмножество многообразия было инвариантным относительно потока , определяемого векторным полем , а именно в каждой точке. векторное поле замкнутого множества должно иметь неположительный внутренний продукт с любым вектором внешней нормали к множеству. Вектор является внешней нормалью в точке замкнутого множества, если существует непрерывно дифференцируемая функция с действительным знаком, локально максимизирующаяся в этой точке, причем этот вектор является ее производной в этой точке. Если замкнутое подмножество представляет собой гладкое подмногообразие с границей, условие гласит, что векторное поле не должно указывать за пределы подмножества в граничных точках. Обобщение на негладкие подмножества важно в теории уравнений в частных производных .
Фактически, эта теорема была ранее открыта Митио Нагумо в 1942 году и также известна как теорема Нагумо . [1]
Пусть F — замкнутое подмножество многообразия C 2 M и X — векторное поле на M , липшицево непрерывное . Следующие условия эквивалентны:
Следуя Хёрмандеру (1983) , чтобы доказать, что первое условие влечет за собой второе, пусть c ( t ) — интегральная кривая сc (0) = x в F и dc/dt = X ( c ). Пусть g имеет локальный максимум на F в точке x . Тогда g ( c ( t )) ⩽ g ( c (0)) для t малого и положительного. Дифференцируя, отсюда следует, что g '( x )⋅ X ( x ) ≤ 0.
Чтобы доказать обратное импликацию, поскольку результат локальный, достаточно проверить его в R n . В этом случае X локально удовлетворяет условию Липшица
Поскольку −| y - c ( т )| 2 имеет локальный максимум на F в точке y знак равно z , c ( t ) − z — вектор внешней нормали в точке z . Таким образом, первое слагаемое в правой части неотрицательно. Условие Липшица для X означает, что второй член ограничен сверху величиной 2 C ⋅ D ( c ( t )). Таким образом, производная от правой