Борелевское суммирование

В математике, Борелевское суммирование является методом суммирования для ряда дивергентного , введенного Борелью  ( 1 899 ). Это особенно полезно для суммирования расходящихся асимптотических рядов и в некотором смысле дает наилучшую возможную сумму для таких рядов. Существует несколько вариантов этого метода, которые также называются суммированием Бореля, и его обобщение, называемое суммированием Миттаг-Леффлера .

Определение [ править ]

Существует (по крайней мере) три немного разных метода, называемых суммированием Бореля. Они различаются по тому, какие ряды они могут суммировать, но согласованы, что означает, что если два метода суммируют один и тот же ряд, они дают одинаковый ответ.

Всюду через A ( z ) обозначим формальный степенной ряд

${\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k},}$

и определим преобразование Бореля матрицы A как эквивалентный ей экспоненциальный ряд

${\displaystyle {\mathcal {B}}A(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}t^{k}.}$

Метод экспоненциального суммирования Бореля [ править ]

Обозначим через A _n ( z ) частичную сумму

${\displaystyle A_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}.}$

Слабая форма метода суммирования Бореля определяет сумму Бореля для A как

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}A_{n}(z).}$

Если это сходится в z  ∈  C к некоторому a ( z ) , мы говорим, что слабая борелевская сумма A сходится в z , и пишем .${\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})}$

Метод интегрального суммирования Бореля [ править ]

Предположим , что преобразование Бореля сходится для всех положительных действительных чисел к функции растущей достаточно медленно , что следующий интеграл хорошо определен (как несобственного интеграла), то сумма Бореля из А задается

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt.}$

Если интеграл сходится в точке z  ∈  C к некоторому a ( z ) , мы говорим, что борелевская сумма A сходится в точке z , и пишем .${\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})}$

Метод интегрального суммирования Бореля с аналитическим продолжением [ править ]

Это похоже на интегральный метод суммирования Бореля, за исключением того, что преобразование Бореля необходимость не сходится для всех т , но сходится к аналитической функции от т около 0 , которая может быть аналитически продолженной вдоль положительной вещественной оси .

Основные свойства [ править ]

Регулярность [ править ]

Методы ( B ) и ( wB ) являются обычными методами суммирования, что означает, что всякий раз, когда A ( z ) сходится (в стандартном смысле), тогда сумма Бореля и слабая сумма Бореля также сходятся, и делают это с одним и тем же значением. т.е.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=A(z)<\infty \quad \Rightarrow \quad {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=A(z)\,\,({\boldsymbol {B}},\,{\boldsymbol {wB}}).}$

Регулярность ( B ) легко увидеть по изменению порядка интегрирования, которое действительно из-за абсолютной сходимости: если A ( z ) сходится в z , то

${\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\left(\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{k}dt\right){\frac {z^{k}}{k!}}=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\frac {(tz)^{k}}{k!}}dt,}$

где крайнее правое выражение - это в точности сумма Бореля в точке z .

Регулярность ( B ) и ( wB ) означает, что эти методы обеспечивают аналитическое расширение A ( z ) .

Неэквивалентность борелевского и слабого борелевского суммирования [ править ]

Любой ряд A ( z ) , слабо суммируемый по Борелю в точке z  ∈  C , также суммируем по Борелю в точке z . Однако можно построить примеры рядов, расходящихся при слабом борелевском суммировании, но суммируемых по Борелю. Следующая теорема характеризует эквивалентность двух методов.

Теорема (( Харди 1992 , 8.5)).

Пусть A ( z ) - формальный степенной ряд, и зафиксируем z  ∈  C , тогда:

1. Если , то .${\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})}$${\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})}$
2. Если , а потом .${\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})}$${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(zt)=0,}$${\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})}$

Связь с другими методами суммирования [ править ]

• ( B ) - частный случай суммирования Миттаг-Леффлера с α = 1 .
• ( wB ) можно рассматривать как предельный случай обобщенного метода суммирования Эйлера ( E , q ) в том смысле, что при q  → ∞ область сходимости метода ( E , q ) сходится с точностью до области сходимости для ( B ) . ^[1]

Теоремы единственности [ править ]

Всегда есть много разных функций с любым заданным асимптотическим разложением. Однако иногда существует наилучшая возможная функция в том смысле, что ошибки конечномерных приближений в некоторой области минимальны. Теорема Ватсона и теорема Карлемана показывают, что суммирование по Борелю дает такую ​​наилучшую возможную сумму ряда.

Теорема Ватсона [ править ]

Теорема Ватсона дает условия, при которых функция является суммой Бореля своего асимптотического ряда. Предположим, что f - функция, удовлетворяющая следующим условиям:

• f голоморфна в некоторой области | z | <  R , | arg ( z ) | < π / 2 + ε для некоторых положительных R и  ε .
• В этой области f имеет асимптотический ряд a ₀  +  a ₁ z  + ... со свойством, что ошибка

${\displaystyle |f(z)-a_{0}-a_{1}z-\cdots -a_{n-1}z^{n-1}|}$

ограничен

${\displaystyle C^{n+1}n!|z|^{n}}$

для всех z в области (для некоторой положительной постоянной C ).

Тогда теорема Ватсона говорит, что в этой области f задается суммой Бореля своего асимптотического ряда. Точнее, ряд для преобразования Бореля сходится в окрестности начала координат и может быть аналитически продолжен до положительной вещественной оси, а интеграл, определяющий сумму Бореля, сходится к f ( z ) для z в области выше.

В более общем плане f по-прежнему определяется своим асимптотическим рядом, если n ! в приведенной выше оценке ошибки заменено на kn ! при условии | arg ( z ) | <  π / 2 +  ε заменяется на | arg ( z ) | < k π / 2 +  ε . В некотором смысле это лучший вариант, поскольку есть контрпримеры, если число k π / 2 заменить любым меньшим числом. ^{[ требуется разъяснение ]}

Теорема Карлемана [ править ]

Теорема Карлемана показывает, что функция однозначно определяется асимптотическим рядом в секторе при условии, что ошибки в аппроксимациях конечного порядка не растут слишком быстро. Точнее, он утверждает, что если f аналитична внутри сектора | z | <  C , Re ( z )> 0 и | f ( z ) | <| б _н г | ⁿ в этой области для всех n , то f равно нулю при условии, что ряд 1 / b ₀  + 1 / b ₁  + ... расходится.

Теорема Карлемана дает метод суммирования для любого асимптотического ряда, члены которого не растут слишком быстро, поскольку сумма может быть определена как единственная функция с этим асимптотическим рядом в подходящем секторе, если он существует. Суммирование по Борелю немного слабее, чем частный случай, когда b _n = cn для некоторой константы c . В более общем плане можно определить методы суммирования немного сильнее, чем методы Бореля, взяв числа b _n немного большими, например, b _n =  cn log  n или b _n = cn log n  log log  n. На практике от этого обобщения мало пользы, так как почти нет естественных примеров суммируемых этим методом рядов, которые также нельзя было бы суммировать методом Бореля.

Пример [ править ]

Функция f ( z ) = exp (–1 / z ) имеет асимптотический ряд 0 + 0 z + ... с оценкой погрешности указанного выше вида в области | arg ( z ) | <  θ для любого θ  <  π / 2 , но не дается борелевской суммой своего асимптотического ряда. Это показывает, что число π / 2 в теореме Ватсона не может быть заменено каким-либо меньшим числом (если только оценка ошибки не сделана меньше).

Примеры [ править ]

Геометрическая серия [ править ]

Рассмотрим геометрический ряд

${\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k},}$

которое сходится (в стандартном смысле) к 1 / (1 -  z ) при | z | <1 . Преобразование Бореля имеет вид

${\displaystyle {\mathcal {B}}A(tz)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}t^{k}=e^{zt},}$

откуда получаем сумму Бореля

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }e^{-t}e^{tz}\,dt={\frac {1}{1-z}}}$

который сходится в большей области Re ( z ) <1 , давая аналитическое продолжение исходного ряда.

Рассматривая вместо этого слабое преобразование Бореля, частичные суммы задаются выражением A _N ( z ) = (1 - z ^{N +1} ) / (1 -  z ) , и поэтому слабая сумма Бореля равна

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}{\frac {t^{n}}{n!}}=\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {e^{-t}}{1-z}}{\big (}e^{t}-ze^{tz}{\big )}={\frac {1}{1-z}},}$

где опять же сходимость на Re ( z ) <1 . В качестве альтернативы это можно увидеть, обратившись к части 2 теоремы эквивалентности, так как при Re ( г ) <1 ,

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}({\mathcal {B}}A)(zt)=e^{t(z-1)}=0.}$

Альтернативный факторный ряд [ править ]

Рассмотрим серию

${\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }k!(-1\cdot z)^{k},}$

Затем ( г ) не сходится для любого ненулевого г  ∈  C . Преобразование Бореля имеет вид

${\displaystyle {\mathcal {B}}A(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\cdot t\right)^{k}={\frac {1}{1+t}}}$

для | т | <1 , что аналитически продолжается на все t  ≥ 0 . Таким образом, сумма Бореля равна 

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{1+tz}}\,dt={\frac {1}{z}}\cdot e^{1/z}\cdot \Gamma \left(0,{\frac {1}{z}}\right)}$

(где Γ - неполная гамма-функция ).

Этот интеграл сходится для всех z  ≥ 0 , поэтому исходный расходящийся ряд суммируем по Борелю для всех таких z . Эта функция имеет асимптотическое разложение при стремлении z к 0, которое задается исходным расходящимся рядом. Это типичный пример того факта, что суммирование по Борелю иногда «правильно» суммирует расходящиеся асимптотические разложения. 

Опять же, поскольку

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}({\mathcal {B}}A)(zt)=\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {e^{-t}}{1+zt}}=0,}$

для всех z теорема эквивалентности гарантирует, что слабое борелевское суммирование имеет одну и ту же область сходимости, z  ≥ 0 .

Пример, в котором эквивалентность не работает [ править ]

Следующий пример расширяет пример, приведенный в ( Hardy 1992 , 8.5). Рассматривать

${\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {(-1)^{\ell }(2\ell +2)^{k}}{(2\ell +1)!}}\right)z^{k}.}$

После изменения порядка суммирования преобразование Бореля имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {B}}A(t)&=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{\big (}(2\ell +2)t{\big )}^{k}}{k!}}\right){\frac {(-1)^{\ell }}{(2\ell +1)!}}\\&=\sum _{\ell =0}^{\infty }e^{(2\ell +2)t}{\frac {(-1)^{\ell }}{(2\ell +1)!}}\\&=e^{t}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\big (}e^{t}{\big )}^{2\ell +1}{\frac {(-1)^{\ell }}{(2\ell +1)!}}\\&=e^{t}\sin(e^{t}).\end{aligned}}}$

При z  = 2 сумма Бореля определяется выражением

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{t}\sin(e^{2t})\,dt=\int _{1}^{\infty }\sin(u^{2})\,du={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}-S(1)<\infty ,}$

где S ( x ) - интеграл Френеля . По теореме о сходимости вдоль хорд борелевский интеграл сходится для всех z  ≤ 2 (интеграл расходится при z  > 2 ).

Для слабой суммы Бореля отметим, что

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{(z-1)t}\sin(e^{zt})=0}$

выполняется только при z  <1 , поэтому слабая борелевская сумма сходится в этой меньшей области.

Результаты существования и область конвергенции [ править ]

Суммируемость по аккордам [ править ]

Если формальный ряд A ( z ) суммируем по Борелю в точке z ₀  ∈  C , то он также суммируем по Борелю во всех точках на хорде O z _0, соединяющей точку z ₀ с началом координат. Более того, существует функция a ( z ), аналитическая по всему диску радиуса O z ₀ такая, что

${\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}}),}$

для всех z  = θ z ₀ , θ ∈ [0,1] .

Непосредственным следствием является то , что область сходимости суммы Бореля является звездой домена в C . Об области сходимости суммы Бореля можно сказать больше, чем о том, что это звездная область, называемая многоугольником Бореля, и определяется особенностями ряда A ( z ) .

Полигон Бореля [ править ]

Предположим , что ( г ) имеет строго положительный радиус сходимости, так что она является аналитической в нетривиальной области , содержащей начало координат, и пусть S обозначим множество особенностей A . Это означает, что P  ∈  S _A тогда и только тогда, когда A можно аналитически продолжить по открытой хорде от 0 до P , но не до самой P. Для P  ∈  S _A обозначим через L _P прямую, проходящую через P, перпендикулярную хорде OP . Определите наборы

${\displaystyle \Pi _{P}=\{z\in \mathbb {C} \,\colon \,Oz\cap L_{P}=\varnothing \},}$

множество точек, лежащих по ту же сторону от L _P, что и начало координат. Борелевский многоугольник A - это множество

${\displaystyle \Pi _{A}=\operatorname {cl} \left(\bigcap _{P\in S_{A}}\Pi _{P}\right).}$

Альтернативное определение было использовано Борелем и Фрагменом ( Sansone & Gerretsen 1960 , 8.3). Обозначим через самую большую звездную область, на которой существует аналитическое расширение A , тогда это наибольшее подмножество такого, что для всей внутренней части круга с диаметром OP содержится в . Обращение к набору как к многоугольнику в некоторой степени неверно, поскольку набор вовсе не обязательно должен быть многоугольным; если же A ( z ) имеет только конечное число особенностей, то фактически будет многоугольником.${\displaystyle S\subset \mathbb {C} }$${\displaystyle \Pi _{A}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P\in \Pi _{A}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \Pi _{A}}$${\displaystyle \Pi _{A}}$

Следующая теорема, принадлежащая Борелю и Фрагмену, обеспечивает критерии сходимости для суммирования по Борелю.

Теорема ( Харди 1992 , 8.8).

Ряд A ( z ) вообще ( B ) суммируем , а ( B ) вообще расходится .${\displaystyle z\in \operatorname {int} (\Pi _{A})}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \Pi _{A}}$

Обратите внимание, что ( B ) суммируемость для зависит от природы точки.${\displaystyle z\in \partial \Pi _{A}}$

Пример 1 [ править ]

Пусть ω _я  ∈  C обозначим через M -го корни из единицы, я  = 1, ...,  т , и рассмотрим

${\displaystyle {\begin{aligned}A(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }(\omega _{1}^{k}+\cdots +\omega _{m}^{k})z^{k}\\&=\sum _{i=1}^{m}{\frac {1}{1-\omega _{i}z}},\end{aligned}}}$

которая сходится на B (0,1) ⊂  C . Как функция на C , A ( z ) имеет особенности в S _A  = { ω _i  :  i  = 1, ...,  m } , и, следовательно, многоугольник Бореля задается правильным m -угольником с центром в начале координат, и такой, что 1 ∈  C - середина ребра.${\displaystyle \Pi _{A}}$

Пример 2 [ править ]

Формальная серия

${\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{2^{k}},}$

сходится для всех (например, при проверке сравнения с геометрическим рядом). Однако можно показать ^[2], что A не сходится ни для одной точки z  ∈  C такой, что z ^{2 n}  = 1 для некоторого n . Поскольку множество таких z плотно в единичной окружности, не может быть аналитического расширения A вне B (0,1) . Впоследствии самая большая звездная область, на которую A может быть аналитически расширена, - это S  =  B (0,1).${\displaystyle |z|<1}$из которого (через второе определение) получается . В частности, видно, что многоугольник Бореля не является многоугольником.${\displaystyle \Pi _{A}=B(0,1)}$

Тауберова теорема [ править ]

Тауберова теорема обеспечивает условия , при которых сходимость одного метода суммирования следует сходимость под другим способом. Основная тауберова теорема ^[1] для суммирования Бореля дает условия, при которых слабый метод Бореля влечет сходимость ряда.

Теорема ( Харди 1992 , 9.13). Если является ( Wb ) суммируемых в г ₀  ∈  C , и${\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})\,({\boldsymbol {wB}})}$

${\displaystyle a_{k}z_{0}^{k}=O(k^{-1/2}),\qquad \forall k\geq 0,}$

тогда , и ряд сходится для всех | z | <| z ₀ | .${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})}$

Приложения [ править ]

Суммирование по Борелю находит применение в разложениях возмущений в квантовой теории поля. В частности, в двумерной евклидовой теории поля функции Швингера часто можно восстановить из их рядов возмущений с помощью борелевского суммирования ( Glimm & Jaffe 1987 , p. 461). Некоторые особенности преобразования Бореля связаны с инстантонами и ренормалонами в квантовой теории поля ( Weinberg 2005 , 20.7).

Обобщения [ править ]

Борель суммирование требует , чтобы коэффициенты не растут слишком быстро: точнее, _п должна быть ограничена п ! С ^{п + 1} для некоторого C . Существует разновидность суммирования по Борелю, заменяющая факториалы n ! с ( kn )! для некоторого натурального числа к , что позволяет суммирование некоторых серий с в _п ограниченной ( кп )! С ^{п + 1} для некоторого C . Это обобщение дается суммированием Миттаг-Леффлера .

В наиболее общем случае суммирование Бореля обобщается пересуммированием Нахбина , которое может использоваться, когда ограничивающая функция имеет некоторый общий тип (пси-тип), а не экспоненциальный тип .

См. Также [ править ]

• Суммирование Абеля
• Теорема Абеля
• Формула Абеля – Планы
• Суммирование по Эйлеру
• Чезаро суммирование
• Суммирование Ламберта
• Пересуммация Нахбина
• Абелевы и тауберовы теоремы
• Преобразование Ван Вейнгаардена

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Borel, E. (1899), "Mémoire sur les séries divergentes" , Ann. Sci. Éc. Норма. Супер. , Серия 3, 16 : 9-131, DOI : 10,24033 / asens.463
• Глимм, Джеймс; Джаффе, Артур (1987), Квантовая физика (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, DOI : 10.1007 / 978-1-4612-4728-9 , ISBN 978-0-387-96476-8, Руководство по ремонту  0887102
• Харди, Годфри Гарольд (1992) [1949], Divergent Series , Нью-Йорк: Челси, ISBN 978-0-8218-2649-2, Руководство по ремонту  0030620
• Рид, Майкл; Саймон, Барри (1978), Методы современной математической физики. IV. Анализ операторов , Нью-Йорк: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-585004-9, MR  0493421
• Сансоне, Джованни; Герретсен, Йохан (1960), Лекции по теории функций комплексного переменного. I. Голоморфные функции , П. Нордхофф, Гронинген, MR  0113988
• Вайнберг, Стивен (2005), Квантовая теория полей. , II , Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-55002-4, Руководство по ремонту  2148467
• Захаров, А.А. (2001) [1994], "Метод суммирования Бореля" , Энциклопедия математики , EMS Press