Закон Брэгга

В физике , закон Брэгга , или условие Вульфа-Брэгга , особый случай Лауэ дифракции , дает углы для когерентного и некогерентного рассеяния от кристаллической решетки. Когда рентгеновские лучи падают на атом , они заставляют электронное облако двигаться, как и любая электромагнитная волна . Движение этих зарядов повторно излучают волны с той же частотой , слегка нечеткие из - за различные эффекты; это явление известно как рассеяние Рэлея(или упругое рассеяние). Рассеянные волны могут сами рассеиваться, но предполагается, что этим вторичным рассеянием можно пренебречь.

Аналогичный процесс происходит при рассеянии нейтронных волн на ядрах или при когерентном спиновом взаимодействии с неспаренным электроном . Эти повторно излучаемые волновые поля интерферируют друг с другом либо конструктивно, либо деструктивно (перекрывающиеся волны либо складываются вместе, создавая более сильные пики, либо в некоторой степени вычитаются друг из друга), создавая дифракционную картину на детекторе или пленке. Полученная интерференционная картина волн является основой дифракционного анализа. Этот анализ называется брэгговской дифракцией .

История [ править ]

Рентгеновские лучи взаимодействуют с атомами в кристалле .

Брэгговская дифракция (также называемая брэгговской формулировкой дифракции рентгеновских лучей ) была впервые предложена Лоуренсом Брэггом и его отцом Уильямом Генри Брэггом в 1913 году ^[1] в ответ на их открытие, что кристаллические твердые тела производят удивительные модели отраженных рентгеновских лучей ( в отличие, скажем, от жидкости). Они обнаружили, что эти кристаллы при определенных длинах волн и углах падения дают интенсивные пики отраженного излучения.

Согласно отклонению 2θ , фазовый сдвиг вызывает конструктивные (левый рисунок) или деструктивные (правый рисунок) помехи.

Лоуренс Брэгг объяснил этот результат, моделируя кристалл как набор дискретных параллельных плоскостей, разделенных постоянным параметром d . Было высказано предположение, что падающее рентгеновское излучение будет создавать пик Брэгга, если их отражения от различных плоскостей конструктивно мешают. Интерференция является конструктивной, когда фазовый сдвиг кратен 2 π ; это условие может быть выражено законом Брэгга (см. раздел об условиях Брэгга ниже) и впервые было представлено Лоуренсом Брэггом 11 ноября 1912 года Кембриджскому философскому обществу . ^{[2] [3]} Несмотря на свою простоту, закон Брэгга подтвердил существование реальных частиц.в атомном масштабе, а также представляет собой новый мощный инструмент для изучения кристаллов с помощью дифракции рентгеновских лучей и нейтронов. Лоуренс Брэгг и его отец, Уильям Генри Брэгг, были удостоены Нобелевской премии по физике в 1915 году за их работу по определению кристаллических структур, начиная с NaCl , ZnS и алмаза . Это единственная команда отца и сына, которая вместе побеждает. Лоуренсу Брэггу было 25 лет, что делало его самым молодым лауреатом Нобелевской премии по физике.

Понятие дифракции Брэгга в равной степени относится к дифракции нейтронов и дифракции электронов процессов. ^[4] Оба нейтронов и рентгеновского длины волн сравнимы с межатомных расстояний (~ 150 мкм) и , таким образом, отличный зонд для этой длины шкалы .

Условие Брэгга [ править ]

Брэгговская дифракция возникает, когда излучение с длиной волны, сравнимой с атомными расстояниями, зеркально рассеивается атомами кристаллической системы и претерпевает конструктивную интерференцию. Для кристаллического твердого тела волны рассеиваются на плоскостях решетки, разделенных межплоскостным расстоянием d . Когда рассеянные волны конструктивно интерферируют , они остаются в фазе, поскольку разница между длинами пути двух волн равна целому кратному длине волны. Разность хода между двумя волнами, испытывающими интерференцию, определяется как 2 d sin θ , где θ - угол скольжения. (см. рисунок справа, и обратите внимание, что это отличается от соглашения в законе Снеллиуса, где θ отсчитывается от нормали к поверхности). Эффект конструктивной или деструктивной интерференции усиливается из-за кумулятивного эффекта отражения в последовательных кристаллографических плоскостях ( h, k, l ) кристаллической решетки (как описано в обозначениях Миллера ). Это приводит к закону Брэгга, который описывает условие на θ для того, чтобы конструктивная интерференция была максимальной: ^[5]

${\ Displaystyle 2d \ грех \ тета = п \ лямбда \ ,,}$

где n - положительное целое число, а λ - длина волны падающей волны. Обратите внимание, что движущиеся частицы, включая электроны , протоны и нейтроны , имеют связанную длину волны, называемую длиной волны де Бройля . Дифракционная картина получается путем измерения интенсивности рассеянных волн как функции угла рассеяния. Очень сильные интенсивности, известные как пики Брэгга, получаются на дифракционной картине в точках, где углы рассеяния удовлетворяют условию Брэгга. Как упоминалось во введении, это условие является частным случаем более общих уравнений Лауэ, и можно показать, что уравнения Лауэ сводятся к условию Брэгга при дополнительных предположениях.

Явление брэгговской дифракции на кристаллической решетке имеет аналогичные характеристики с явлением интерференции тонкой пленки , которая имеет идентичные условия в пределе, когда показатели преломления окружающей среды (например, воздуха) и мешающей среды (например, масла) равны.

Эвристический вывод [ править ]

Предположим, что одиночная монохроматическая волна (любого типа) падает на выровненные плоскости узлов решетки с разделением под углом . Точки A и C находятся на одной плоскости, а точка B находится на плоскости ниже. Точки ABCC ' образуют четырехугольник .${\ displaystyle d}$${\ displaystyle \ theta}$

Будет разница в пути между лучом, который отражается вдоль AC ', и лучом, который проходит вдоль AB , а затем отражается вдоль BC . Эта разница в пути

${\ Displaystyle (AB + BC) - \ влево (AC '\ вправо) \ ,.}$

Две отдельные волны прибудут в точку с одинаковой фазой и, следовательно, претерпят конструктивную интерференцию тогда и только тогда, когда эта разность хода равна любому целому значению длины волны , т. Е.

${\ Displaystyle (AB + BC) - \ влево (AC '\ вправо) = п \ лямбда \ ,,}$

где применяется то же определение и, что и выше.${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ lambda}$

Следовательно,

${\displaystyle AB=BC={\frac {d}{\sin \theta }}{\text{ and }}AC={\frac {2d}{\tan \theta }}\,,}$

откуда следует, что

${\displaystyle AC'=AC\cdot \cos \theta ={\frac {2d}{\tan \theta }}\cos \theta =\left({\frac {2d}{\sin \theta }}\cos \theta \right)\cos \theta ={\frac {2d}{\sin \theta }}\cos ^{2}\theta \,.}$

Собираем все вместе,

${\displaystyle n\lambda ={\frac {2d}{\sin \theta }}-{\frac {2d}{\sin \theta }}\cos ^{2}\theta ={\frac {2d}{\sin \theta }}\left(1-\cos ^{2}\theta \right)={\frac {2d}{\sin \theta }}\sin ^{2}\theta }$

что упрощается до закона Брэгга.${\displaystyle n\lambda =2d\sin \theta \,,}$

Если бы дифрагировали только две плоскости атомов, как показано на рисунках, то переход от конструктивной интерференции к деструктивной был бы постепенным в зависимости от угла с пологими максимумами на углах Брэгга. Однако, поскольку многие атомные плоскости мешают реальным материалам, возникают очень острые пики, окруженные в основном деструктивными интерференциями. ^[6]

Доступен строгий вывод из более общих уравнений Лауэ (см. Страницу: уравнения Лауэ ).

Брэгговское рассеяние видимого света коллоидами [ править ]

Коллоидный кристалл является высоко заказал массив частиц , что формы в течение длительного диапазона (от нескольких миллиметров до одного сантиметра в длину); коллоидные кристаллы имеют внешний вид и свойства, примерно аналогичные их атомным или молекулярным аналогам. ^[7] В течение многих лет было известно, что из-за отталкивающих кулоновских взаимодействий электрически заряженные макромолекулы в водной среде могут демонстрировать дальнодействующие кристаллы.-подобные корреляции, при этом расстояния между частицами часто значительно превышают диаметр отдельных частиц. Периодические массивы сферических частиц создают межузельные пустоты (промежутки между частицами), которые действуют как естественная дифракционная решетка для видимых световых волн , когда межузельный интервал имеет тот же порядок величины, что и падающая световая волна. ^{[8] [9] [10]} В этих случаях в природе сверкающая радужная оболочка (или игра цветов) объясняется дифракцией и конструктивной интерференцией.видимые lightwaves в соответствии с законом Брэгга, в материи , аналогичная рассеянию от рентгеновских лучей в твердом кристаллическом веществе. Эффект проявляется в видимом диапазоне длин волн, поскольку параметр разделения d намного больше, чем для настоящих кристаллов.

Объемные брэгговские решетки [ править ]

Объемные брэгговские решетки (VBG) или объемные голографические решетки (VHG) состоят из объема, в котором наблюдается периодическое изменение показателя преломления . В зависимости от ориентации модуляции показателя преломления, VBG может использоваться либо для передачи, либо для отражения небольшой полосы длин волн . ^[11] Закон Брэгга (адаптированный для объемной голограммы) определяет, на какой длине волны будет дифрагировать: ^[12]

${\displaystyle 2\Lambda \sin(\theta +\varphi )=m\lambda _{B}\,,}$

где m - порядок Брэгга (положительное целое число), λ _B - длина дифрагированной волны , Λ - расстояние между полосами решетки, θ - угол между падающим лучом и нормалью ( N ) входной поверхности и φ угол между нормалью и вектор решетки ( K _G ). Излучение, не соответствующее закону Брэгга, будет проходить через ВБГ недифрагированным. Выходную длину волны можно настроить на несколько сотен нанометров, изменив угол падения ( θ ). VBG используются для создания широко настраиваемого лазерного источника или для получения глобальных гиперспектральных изображений.(см. Фотон и т. д. ).

Правила отбора и практическая кристаллография [ править ]

Закон Брэгга, как указано выше, можно использовать для получения шага решетки конкретной кубической системы с помощью следующего соотношения:

${\displaystyle d={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}\,,}$

где - шаг решетки кубического кристалла , а h , k и ℓ - индексы Миллера плоскости Брэгга. Объединение этой связи с законом Брэгга дает:${\displaystyle a}$

${\displaystyle \left({\frac {\lambda }{2a}}\right)^{2}=\left({\frac {\lambda }{2d}}\right)^{2}{\frac {1}{h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}$

Можно вывести правила выбора индексов Миллера для различных кубических решеток Браве ; здесь правила отбора для нескольких будут даны как есть.

Эти правила отбора можно использовать для любого кристалла с данной кристаллической структурой. KCl имеет гранецентрированную кубическую решетку Браве . Однако ион K ⁺ и ион Cl ^- имеют одинаковое количество электронов и довольно близки по размеру, так что дифракционная картина становится практически такой же, как для простой кубической структуры с половиной параметра решетки. На правила выбора для других структур можно ссылаться в другом месте или вывести их . Шаг решетки для других кристаллических систем можно найти здесь .

См. Также [ править ]

• Самолет Брэгга
• Кристаллическая решетка
• Дифракция
• Распределенный брэгговский отражатель
  • Волоконная решетка Брэгга
• Динамическая теория дифракции
• Предел Хендерсона
• Условия Лауэ
• Порошковая дифракция
• Радарные ангелы
• Структурный фактор
• Рентгеновская кристаллография

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Нил У. Эшкрофт, Н. Дэвид Мермин, Физика твердого тела (Харкорт: Орландо, 1976).
• Брэгг В. (1913). «Дифракция коротких электромагнитных волн на кристалле». Труды Кембриджского философского общества . 17 : 43–57.

Внешние ссылки [ править ]

• Нобелевская премия по физике - 1915 г.
• https://web.archive.org/web/20110608141639/http://www.physics.uoguelph.ca/~detong/phys3510_4500/xray.pdf
• Изучение кристаллографии