В математике , A группа Карно является односвязной нильпотентной группой Ли , вместе с выводом его алгебры Ли , что подпространство с собственным значением 1 порождает алгебру Ли. Подрасслоение касательного расслоения, связанного с этим собственным подпространством, называется горизонтальным. На группе Карно любая норма в горизонтальном подрасслоении порождает метрику Карно – Каратеодори . Метрики Карно – Каратеодори имеют метрические расширения; они являются асимптотическими конусами (см. Ультрализация ) конечно порожденных нильпотентных групп и нильпотентных групп Ли, а также касательными конусами субримановых многообразий .
Формальное определение и основные свойства
Карно (или стратифицированная) группа ступеней является связной односвязной конечномерной группой Ли, алгебра Ли которой допускает шаг-стратификация. А именно, существуют нетривиальные линейные подпространства такой, что
- , для , а также .
Обратите внимание, что это определение подразумевает первый слой порождает всю алгебру Ли .
Экспоненциальное отображение - это диффеоморфизм из на . Используя эти экспоненциальные координаты, мы можем идентифицировать с участием , где и операция дается формулой Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа .
Иногда удобнее написать элемент в виде
- с участием для .
Причина в том, что имеет внутреннюю операцию расширения дано
- .
Примеры
Реальная группа Гейзенберга - это группа Карно, которую можно рассматривать как плоскую модель в субримановой геометрии, как экулидово пространство в римановой геометрии. Группа Энгеля также является группой Карно.
История
Группы Карно были представлены под этим названием Пьером Пансу ( 1982 , 1989 ) и Джоном Митчеллом ( 1985 ). Однако эта концепция была введена ранее Джеральдом Фолландом (1975) под названием стратифицированная группа .
Смотрите также
- Производная Пансу , производная на группе Карно, введенная Пансу (1989)
Рекомендации
- Фолланд, Джеральд (1975), "Субэллиптические оценки и функциональные пространства на нильпотентных группах Ли", Arkiv for Math , 13 (2): 161–207, Bibcode : 1975ArM .... 13..161F , doi : 10.1007 / BF02386204 , S2CID 121144337
- Митчелл, Джон (1985), "О Карно-Каратеодори метрик" , Журнал дифференциальной геометрии , 21 (1): 35-45, DOI : 10,4310 / Jdg / 1214439462 , ISSN 0022-040X , МР 0806700
- Пансу, Пьер (1982), Géometrie du groupe d'Heisenberg , диссертация, Парижский университет VII CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Pansu, Пьер (1989), "Métriques де Карно-Каратеодори и др квазиизометриях де ESPACES symétriques де звенел ип", Анналы математики , 129 (1): 1-60, DOI : 10,2307 / 1971484 , JSTOR 1971484 , МР 0979599 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Беллаиш, Андре; Рислер, Жан-Жак, ред. (1996). Субриманова геометрия . Успехи в математике. 144 . Базель: Birkhäuser Verlag. DOI : 10.1007 / 978-3-0348-9210-0 . ISBN 978-3-0348-9946-8. Руководство по ремонту 1421821 .