Ultralimit

Для прямого ограничения последовательности сверхвысоких мощностей см. Ultraproduct .

В математике , ультрапредельным представляет собой геометрическую конструкцию , которая сопоставляет последовательности метрических пространств X _п предельного метрического пространства. Понятие сверхпредела отражает ограничивающее поведение конечных конфигураций в пространствах X _n и использует ультрафильтр, чтобы избежать процесса многократного перехода к подпоследовательностям для обеспечения сходимости. Ультрализация - это обобщение понятия сходимости по Громову – Хаусдорфу метрических пространств.

Ультрафильтры [ править ]

Ультрафильтр ω на множестве натуральных чисел ℕ представляет собой набор непустых подмножеств ℕ (функция которого включение может рассматриваться как мера), замкнутые относительно конечных пересечений, вверх-замкнутый, и который, учитывая любое подмножество Х из ℕ , содержит либо X или ℕ ∖ X . Ультрафильтр ω на ℕ является неглавным , если оно не содержит конечное множества.

Предел последовательности точек относительно ультрафильтра [ править ]

Пусть ω неглавный ультрафильтр на . Если последовательность точек в метрическом пространстве ( X , d ) и х ∈ X , в точке х называется Q , - предел по х _п , обозначается , если для каждого мы имеем:${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle x = \ lim _ {\ omega} x_ {n}}$${\ displaystyle \ epsilon> 0}$

${\displaystyle \{n:d(x_{n},x)\leq \epsilon \}\in \omega .}$

Нетрудно увидеть следующее:

• Если существует ω- предел последовательности точек, он единственен.
• Если в стандартном смысле . (Для соблюдения этого свойства крайне важно, чтобы ультрафильтр был неглавным.)${\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$${\displaystyle x=\lim _{\omega }x_{n}}$

Важный основной факт ^[1] утверждает, что если ( X , d ) компактно и ω - неглавный ультрафильтр на , то ω- предел любой последовательности точек в X существует (и обязательно единственен).${\displaystyle \mathbb {N} }$

В частности, любая ограниченная последовательность действительных чисел имеет корректно определенный ω- предел в (поскольку отрезки компактны).${\displaystyle \mathbb {R} }$

Предел метрических пространств с указанными базовыми точками [ править ]

Пусть ω неглавный ультрафильтр на . Пусть ( X _n , d _n ) - последовательность метрических пространств с заданными базовыми точками p _n ∈ X _n .${\displaystyle \mathbb {N} }$

Скажем, что последовательность , где x _n ∈ X _n , допустима , если последовательность действительных чисел ( d _n ( x _n , p _n )) _n ограничена, то есть если существует положительное вещественное число C такое это . Обозначим множество всех допустимых последовательностей через .${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle d_{n}(x_{n},p_{n})\leq C}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Из неравенства треугольника легко видеть, что для любых двух допустимых последовательностей и последовательности ( d _n ( x _n , y _n )) _n ограничено и, следовательно, существует ω -предел . Определим отношение на множестве всех допустимых последовательностей следующим образом. Поскольку мы имеем всякий раз , когда легко показать, что это отношение эквивалентности на${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle {\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ):=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n})}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \mathbf {x} \sim \mathbf {y} }$${\displaystyle {\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0.}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$

Ультрапредельный относительно ш последовательности ( Х _п , д _п , р _п ) является метрическим пространством определяется следующим образом . ^[2]${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })}$

В комплекте у нас есть .${\displaystyle X_{\infty }={\mathcal {A}}/{\sim }}$

Для классов двух -эквивалентности допустимых последовательностей и имеем${\displaystyle \sim }$${\displaystyle [\mathbf {x} ],[\mathbf {y} ]}$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle d_{\infty }([\mathbf {x} ],[\mathbf {y} ]):={\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n}).}$

Нетрудно увидеть, что это четко определено и что это метрика на множестве .${\displaystyle d_{\infty }}$${\displaystyle X_{\infty }}$

Обозначим .${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$

О базовых точках в случае равномерно ограниченных пространств [ править ]

Предположим, что ( X _n , d _n ) - последовательность метрических пространств равномерно ограниченного диаметра, то есть существует вещественное число C > 0 такое, что diam ( X _n ) ≤ C для каждого . Тогда для любого выбора p _n базовых точек в X _n допустима любая последовательность . Следовательно, в этой ситуации выбор базовых точек не должен указываться при определении сверхпредела, а сверхпредел зависит только от ( X _n , d _n ) и от ω${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (x_{n})_{n},x_{n}\in X_{n}}$${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })}$но не зависит от выбора последовательности базовых точек . В этом случае пишут .${\displaystyle p_{n}\in X_{n}.}$${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$

Основные свойства сверхлимитов [ править ]

1. Если ( X _n , d _n ) - геодезические метрические пространства, то также геодезическое метрическое пространство. ^[1]${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$
2. Если ( X _n , d _n ) - полные метрические пространства, то также полное метрическое пространство. ^{[3] [4]}${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$

Фактически, по построению, предельное пространство всегда является полным, даже если ( X _n , d _n ) является повторяющейся последовательностью пространства ( X , d ), которое не является полным. ^[5]

1. Если ( X _n , d _n ) - компактные метрические пространства, сходящиеся к компактному метрическому пространству ( X , d ) в смысле Громова – Хаусдорфа (это автоматически означает, что пространства ( X _n , d _n ) имеют равномерно ограниченный диаметр), тогда ультрапредел изометричен ( X , d ).${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$
2. Предположим, что ( X _n , d _n ) - собственные метрические пространства и такие базовые точки, что указанная последовательность ( X _n , d _n , p _n ) сходится к собственному метрическому пространству ( X , d ) в пространстве Громова – Хаусдорфа. смысл. Тогда ультрапредел изометричен ( X , d ). ^[1]${\displaystyle p_{n}\in X_{n}}$${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$
3. Пусть κ ≤0 и ( X _n , d _n ) последовательность CAT ( κ ) -метрических пространств . Тогда сверхпредел также является CAT ( κ ) -пространством. ^[1]${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$
4. Пусть ( X _n , d _n ) - последовательность CAT ( κ n ) -метрических пространств, где Тогда сверхпредел - вещественное дерево . ^[1]${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\kappa _{n}=-\infty .}$${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$

Асимптотические конусы [ править ]

Важным классом ультрапределов являются так называемые асимптотические конусы метрических пространств. Пусть ( X , d ) - метрическое пространство, пусть ω - неглавный ультрафильтр на и пусть p _n  ∈  X - последовательность базовых точек. Тогда ω- сверхпредел последовательности называется асимптотическим конусом X относительно ω и обозначается . Часто последовательность базовых точек считается постоянной, p _n = p для некоторого p ∈ X${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle (X,{\frac {d}{n}},p_{n})}$${\displaystyle (p_{n})_{n}\,}$${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d,(p_{n})_{n})\,}$; в этом случае асимптотический конус не зависит от выбора p ∈ X и обозначается через или just .${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d)\,}$${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$

Понятие асимптотического конуса играет важную роль в геометрической теории групп, поскольку асимптотические конусы (или, точнее, их топологические типы и билипшицевы типы ) обеспечивают квазиизометрийные инварианты метрических пространств в целом и конечно порожденных групп в частности. ^[6] Асимптотические конусы также оказываются полезным инструментом при изучении относительно гиперболических групп и их обобщений. ^[7]

Примеры [ править ]

1. Пусть ( X , d ) - компактное метрическое пространство, и положим ( X _n , d _n ) = ( X , d ) для каждого . Тогда ультрапредел изометричен ( X , d ).${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$
2. Пусть ( X , d _X ) и ( Y , d _Y ) - два различных компактных метрических пространства, и пусть ( X _n , d _n ) - последовательность метрических пространств, такая что для каждого n либо ( X _n , d _n ) = ( X , d _X ) или ( X _n , d _n ) = ( Y , d _Y ). Пусть и . Таким образом, A ₁ , A ₂ не пересекаются и${\displaystyle A_{1}=\{n|(X_{n},d_{n})=(X,d_{X})\}\,}$${\displaystyle A_{2}=\{n|(X_{n},d_{n})=(Y,d_{Y})\}\,}$${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}=\mathbb {N} .}$ Следовательно, один из A ₁ , A ₂ имеет ω- меру 1, а другой - ω- меру 0. Следовательно, он изометричен ( X , d _X ), если ω ( A ₁ ) = 1, и изометричен ( Y , d _Y ), если ω ( A ₂ ) = 1. Это показывает, что сверхпредел может зависеть от выбора ультрафильтра ω .${\displaystyle \lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$${\displaystyle \lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$
3. Пусть ( М , г ) компактное связное риманово многообразие размерности т , где г является римановой метрикой на М . Пусть d - метрика на M, соответствующая g , так что ( M , d ) - геодезическое метрическое пространство . Выберите Basepoint р ∈ M . Тогда ультрапредел (и даже обычный предел Громова - Хаусдорфа ) изометричен касательному пространству T _p M к M${\displaystyle \lim _{\omega }(M,nd,p)}$ в p с функцией расстояния на T _p M, заданной скалярным произведением g (p) . Следовательно, ультрализация изометрична евклидову пространству со стандартной евклидовой метрикой . ^[8]${\displaystyle \lim _{\omega }(M,nd,p)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$
4. Пусть - стандартное m -мерное евклидово пространство со стандартной евклидовой метрикой. Тогда асимптотический конус изометричен .${\displaystyle (\mathbb {R} ^{m},d)}$${\displaystyle Cone_{\omega }(\mathbb {R} ^{m},d)}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{m},d)}$
5. Позвольте быть 2-мерной целочисленной решеткой, где расстояние между двумя точками решетки задается длиной кратчайшего реберного пути между ними в сетке. Тогда асимптотический конус изометричен тому, где находится метрика Taxicab (или L ¹ -метрика) на .${\displaystyle (\mathbb {Z} ^{2},d)}$${\displaystyle Cone_{\omega }(\mathbb {Z} ^{2},d)}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{1})}$${\displaystyle d_{1}\,}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
6. Пусть ( X , d ) - δ -гиперболическое геодезическое метрическое пространство для некоторого δ ≥0. Тогда асимптотический конус - настоящее дерево . ^{[1] [9]}${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$
7. Пусть ( X , d ) - метрическое пространство конечного диаметра. Тогда асимптотический конус представляет собой единственную точку.${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$
8. Пусть ( X , d ) - CAT (0) -метрическое пространство . Тогда асимптотический конус также является CAT (0) -пространством. ^[1]${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$

Сноски [ править ]

Основные ссылки [ править ]

• Джон Роу. Лекции по грубой геометрии. Американское математическое общество , 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2 ; Гл. 7. 
• Л. Ван ден Дрис, А. Дж. Вилки, О теореме Громова о группах полиномиального роста и элементарной логике . Журнал алгебры , Vol. 89 (1984), стр. 349–374.
• М. Капович Б. Лееб. Об асимптотических конусах и классах квазиизометрии фундаментальных групп трехмерных многообразий , Геометрический и функциональный анализ , Vol. 5 (1995), нет. 3. С. 582–603.
• М. Капович. Гиперболические многообразия и дискретные группы. Birkhäuser, 2000. ISBN 978-0-8176-3904-4 ; Гл. 9. 
• Корнелия Другу и Марк Сапир (с приложением Дениса Осина и Марка Сапира), Древовидные пространства и асимптотические конусы групп. Топология , Том 44 (2005), вып. 5. С. 959–1058.
• М. Громов. Метрические структуры для римановых и неримановых пространств. Успехи в математике т. 152, Birkhäuser, 1999. ISBN 0-8176-3898-9 ; Гл. 3. 
• Б. Клейнер и Б. Лееб, Жесткость квазиизометрий для симметричных пространств и евклидовых зданий. Публикации Mathématiques de L'IHÉS . Том 86, номер 1, декабрь 1997 г., стр. 115–197.

См. Также [ править ]

• Ультрафильтр
• Геометрическая теория групп
• Сходимость Громова-Хаусдорфа