Классическая проблема Станислава Улама в теории функциональных уравнений заключается в следующем: когда верно, что функция, приблизительно удовлетворяющая функциональному уравнению E, должна быть близка к точному решению E ? В 1941 году Дональд Х. Хайерс дал частично утвердительный ответ на этот вопрос в контексте банаховых пространств. Это был первый значительный прорыв и шаг к дальнейшим исследованиям в этой области исследований. С тех пор было опубликовано большое количество статей в связи с различными обобщениями проблемы Улама и теоремы Хайерса. В 1978 году Фемистокл М. Рассиасудалось расширить теорему Хайерса, рассматривая неограниченную разность Коши. Он первым доказал устойчивость линейного отображения в банаховых пространствах. В 1950 году Т. Аоки представил доказательство частного случая результата Рассиаса, когда данная функция является аддитивной. За подробным изложением устойчивости функциональных уравнений в контексте проблемы Улама заинтересованный читатель может отсылать к недавней книге С.-М. Jung, опубликовано Springer, New York, 2011 (см. Ссылки ниже).
Чт. Теорема М. Рассиаса привлекла ряд математиков, которых начали побуждать проводить исследования в области теории устойчивости функциональных уравнений . Учитывая большое влияние С.М. Улама , Д.Х. Хайерса и Тх. М. Рассиаса при исследовании проблем устойчивости функциональных уравнений, это понятие называется устойчивостью Хайерса – Улама – Рассиаса .
В частном случае, когда задача Улама принимает решение функционального уравнения Коши f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ), уравнение E считается удовлетворяющим устойчивости Коши – Рассиаса . Это имя относится к Августину-Луи Коши и Фемистоклу М. Рассиасу .
Рекомендации
- П.М. Пардалос, П.Г. Георгиев, Х.М. Шривастава (ред.), Нелинейный анализ. Устойчивость, аппроксимация и неравенства. В честь Фемистокла М. Рассиаса по случаю его 60-летия , Спрингер, Нью-Йорк, 2012 г.
- DH Hyers, Об устойчивости линейного функционального уравнения , Proc. Natl. Акад. Sci. США, 27 (1941), 222-224.
- Чт. М. Рассиас, Об устойчивости линейного отображения в банаховых пространствах , Труды Американского математического общества 72 (1978), 297-300. [Переведено на китайский язык и опубликовано в: Mathematical Advance in Translation , Китайская академия наук 4 (2009), 382–384.]
- Чт. М. Рассиас, Об устойчивости функциональных уравнений и проблеме Улама , Acta Applicandae Mathematicae, 62 (1) (2000), 23-130.
- С.-М. Юнг, Устойчивость функциональных уравнений в нелинейном анализе Хайерс-Улама-Рассиаса , Springer, New York, 2011, ISBN 978-1-4419-9636-7 .
- Т. Аоки, Об устойчивости линейного преобразования в банаховых пространствах , J. Math. Soc. Япония, 2 (1950), 64-66.
- К.-Г. Парк, Обобщенные квадратичные отображения многих переменных , Нелинейный анализ , 57 (2004), 713–722.
- Ж.-Р. Ли и Д.-Й. Шин, Об устойчивости Коши-Рассиаса обобщенного аддитивного функционального уравнения , J. Math. Анальный. Прил. 339 (1) (2008), 372–383.
- К. Баак, Устойчивость Коши-Рассиаса аддитивных отображений Коши-Йенсена в банаховых пространствах , Acta Math. Sinica (английская серия), 15 (1) (1999), 1-11.
- К.-Г. Парк, Гомоморфизмы между JC * -алгебрами Ли и устойчивостью по Коши - Рассиасу дифференцирований JC * -алгебр Ли, J. Теория Ли, 15 (2005), 393–414.
- Ж.-Р. Ли, Д.-Й. Шин, Об устойчивости Коши-Рассиаса функционального уравнения Трифа в C * -алгебрах . J. Math. Анальный. Прил. 296 (1) (2004), 351–363.
- Ч. Баак, Х.-Й. Чу, М.С. Мослехиан, О неравенстве Коши-Рассиаса и линейных отображениях , сохраняющих n – скалярное произведение , Матем. Неравно. Прил. 9 (3) (2006), 453–464.
- К.-Г. Park, M. Eshaghi Gordji и H. Khodaei, Подход с неподвижной точкой к устойчивости Коши-Рассиаса квадратично-квадратичных отображений общего типа Йенсена , Бюлл. Корейская математика. Soc. 47 (2010), нет. 5, 987–996
- А. Наджати, устойчивость Коши-Рассиаса гомоморфизмов, связанных с пексидеризованным функциональным уравнением типа Коши-Йенсена , J. Math. Неравно. 3 (2) (2009), 257-265.
- К.-Г. Парк, С. Янг, Устойчивость Коши-Рассиаса полуторалинейных n-квадратичных отображений в банаховых модулях , Rocky Mountain J. Math. 39 (6) (2009), 2015–2027.
- Pl. Каннаппан, Функциональные уравнения и неравенства с приложениями , Спрингер, Нью-Йорк, 2009 г. ISBN 978-0-387-89491-1 .
- PK Sahoo и Pl. Каннаппан, Введение в функциональные уравнения , CRC Press, Chapman & Hall Book, Флорида, 2011 г., ISBN 978-1-4398-4111-2 .
- Чт. М. Рассиас и Дж. Брздек (ред.), Функциональные уравнения в математическом анализе , Спрингер, Нью-Йорк, 2012 г. ISBN 978-1-4614-0054-7 .