Краевое условие Коши

В математике граничное условие Коши ( французский: [koʃi] ) дополняет обыкновенное дифференциальное уравнение или уравнение в частных производных условиями, которым решение должно удовлетворять на границе; в идеале так, чтобы гарантировать существование единственного решения. Граничное условие Коши задает как значение функции, так и нормальную производную на границе области . Это соответствует наложению как граничного условия Дирихле , так и граничного условия Неймана . Он назван в честь плодовитого французского математического аналитика XIX века.Огюстен Луи Коши .

где для обеспечения единственности решения можно задать значение функции и значение производной в данной точке , т . е. ${\ Displaystyle у (ы)}$ ${\ Displaystyle у}$ ${\ Displaystyle у'}$ ${\ Displaystyle с = а}$

где – граница или начальная точка. Поскольку параметром обычно является время, условия Коши также можно назвать условиями начального значения или данными начального значения или просто данными Коши . Примером такой ситуации являются законы движения Ньютона, где ускорение зависит от положения , скорости и времени ; здесь данные Коши соответствуют знанию начального положения и скорости. ${\ Displaystyle а}$ ${\ Displaystyle с}$ ${\ Displaystyle у ''}$ ${\ Displaystyle у}$ ${\ Displaystyle у'}$ ${\ Displaystyle с}$

Для уравнений в частных производных граничные условия Коши задают как функцию, так и нормальную производную на границе. Для простоты и конкретности рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка на плоскости

где - неизвестное решение, обозначает производную по отношению к и т. д . Функции определяют проблему. ${\ Displaystyle \ фунтов на квадратный дюйм (х, у)}$ ${\ Displaystyle \ пси _ {х}}$ ${\ Displaystyle \ фунтов на квадратный дюйм}$ ${\ Displaystyle х}$ ${\ Displaystyle А, В, С, F}$

Теперь ищем a , удовлетворяющее уравнению в частных производных в области , являющейся подмножеством плоскости, и такое, что граничные условия Коши ${\ Displaystyle \ фунтов на квадратный дюйм}$ ${\ Displaystyle \ Омега}$ ${\ Displaystyle ху}$