Клеточная гомология

В математике , ячеистые гомологии в алгебраической топологии является теорией гомологии для категории CW-комплексы . Он согласуется с сингулярными гомологиями и может обеспечить эффективное средство вычисления модулей гомологии.

Определение [ править ]

Если это CW-комплекс с n -скелетом , то модули клеточных гомологий определяются как группы гомологий H _i клеточно- цепного комплекса${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X_ {n}}$

${\displaystyle \cdots \to {C_{n+1}}(X_{n+1},X_{n})\to {C_{n}}(X_{n},X_{n-1})\to {C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})\to \cdots ,}$

где принимается пустое множество.${\displaystyle X_{-1}}$

Группа

${\displaystyle {C_{n}}(X_{n},X_{n-1})}$

является свободным абелевым , с генераторами, которые можно отождествить с -клетками . Позвольте быть -клеткой , и пусть будет присоединяющейся картой. Затем рассмотрим композицию${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle e_{n}^{\alpha }}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \chi _{n}^{\alpha }:\partial e_{n}^{\alpha }\cong \mathbb {S} ^{n-1}\to X_{n-1}}$

${\displaystyle \chi _{n}^{\alpha \beta }:\mathbb {S} ^{n-1}\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\partial e_{n}^{\alpha }\,{\stackrel {\chi _{n}^{\alpha }}{\longrightarrow }}\,X_{n-1}\,{\stackrel {q}{\longrightarrow }}\,X_{n-1}/\left(X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }\right)\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\mathbb {S} ^{n-1},}$

где первое отображение идентифицирует с помощью характеристической карты из , объекта является -клетка из X , третья карта является фактор карты , которая падает в точку (таким образом оберточной в сферу ), а последняя карте идентифицирует с помощью характеристики карта из .${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$${\displaystyle \partial e_{n}^{\alpha }}$${\displaystyle \Phi _{n}^{\alpha }}$${\displaystyle e_{n}^{\alpha }}$${\displaystyle e_{n-1}^{\beta }}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }}$${\displaystyle e_{n-1}^{\beta }}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$${\displaystyle X_{n-1}/\left(X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }\right)}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$${\displaystyle \Phi _{n-1}^{\beta }}$${\displaystyle e_{n-1}^{\beta }}$

Карта границ

${\displaystyle \partial _{n}:{C_{n}}(X_{n},X_{n-1})\to {C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})}$

тогда дается формулой

${\displaystyle {\partial _{n}}(e_{n}^{\alpha })=\sum _{\beta }\deg \left(\chi _{n}^{\alpha \beta }\right)e_{n-1}^{\beta },}$

где есть степень от а сумма берется по всем -клетка из , рассматриваемых в качестве генераторов .${\displaystyle \deg \left(\chi _{n}^{\alpha \beta }\right)}$${\displaystyle \chi _{n}^{\alpha \beta }}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})}$

Пример [ править ]

П - мерной сферы S ^п допускает структуру CW с двумя ячейками, один 0-клетки и одну п -клетки. Здесь n -ячейка прикреплена постоянным отображением от к 0-ячейке. Поскольку генераторы групп клеточных цепей могут быть отождествлены с k -клетками S ⁿ , мы имеем это для, а в остальном тривиально.${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle {C_{k}}(S_{k}^{n},S_{k-1}^{n})}$${\displaystyle {C_{k}}(S_{k}^{n},S_{k-1}^{n})=\mathbb {Z} }$${\displaystyle k=0,n,}$

Следовательно, для результирующего цепного комплекса есть${\displaystyle n>1}$

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+2}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\longrightarrow \,}0,}$

но тогда, поскольку все граничные отображения либо в тривиальные группы, либо из них, все они должны быть нулевыми, что означает, что группы клеточных гомологий равны

${\displaystyle H_{k}(S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Когда нетрудно проверить, что граничная карта равна нулю, что означает, что приведенная выше формула верна для всех положительных значений .${\displaystyle n=1}$${\displaystyle \partial _{1}}$${\displaystyle n}$

Как показывает этот пример, вычисления, выполненные с использованием клеточных гомологий, часто более эффективны, чем вычисления с использованием только сингулярных гомологий.

Другие свойства [ править ]

Из комплекса клеточной цепи видно, что -скелет определяет все модули гомологии меньшей размерности:${\displaystyle n}$

${\displaystyle {H_{k}}(X)\cong {H_{k}}(X_{n})}$

для .${\displaystyle k<n}$

Важным следствием этой клеточной перспективы является то, что если CW-комплекс не имеет ячеек в последовательных измерениях, то все его модули гомологии свободны. Например, сложное проективное пространство имеет ячеечную структуру с одной ячейкой в ​​каждом четном измерении; следует, что для ,${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle 0\leq k\leq n}$

${\displaystyle {H_{2k}}(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$

и

${\displaystyle {H_{2k+1}}(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )=0.}$

Обобщение [ править ]

Спектральная последовательность Атьи-Хирцебруха является аналогичным методом вычисления (ко) гомологий клеточного комплекса, для произвольной экстраординарной теории (ко) гомологии .

Эйлерова характеристика [ править ]

Для клеточного комплекса пусть - его -й скелет, а - количество -клеток, т. Е. Ранг свободного модуля . Эйлерова характеристика из затем определяется${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle c_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle {C_{j}}(X_{j},X_{j-1})}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \chi (X)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}c_{j}.}$

Эйлерова характеристика является гомотопическим инвариантом. В самом деле, с точки зрения числа Бетти о ,${\displaystyle X}$

${\displaystyle \chi (X)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\operatorname {Rank} ({H_{j}}(X)).}$

Это можно обосновать следующим образом. Рассмотрим длинную точную последовательность относительных гомологий тройки :${\displaystyle (X_{n},X_{n-1},\varnothing )}$

${\displaystyle \cdots \to {H_{i}}(X_{n-1},\varnothing )\to {H_{i}}(X_{n},\varnothing )\to {H_{i}}(X_{n},X_{n-1})\to \cdots .}$

Погоня за точностью в последовательности дает

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},\varnothing ))=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},X_{n-1}))+\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n-1},\varnothing )).}$

Такой же расчет относится к тройкам , и т.д. По индукции,${\displaystyle (X_{n-1},X_{n-2},\varnothing )}$${\displaystyle (X_{n-2},X_{n-3},\varnothing )}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\;\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},\varnothing ))=\sum _{j=0}^{n}\sum _{i=0}^{j}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{j},X_{j-1}))=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}c_{j}.}$

Ссылки [ править ]

• Альбрехт Долд : Лекции по алгебраической топологии , Springer ISBN  3-540-58660-1 .
• Аллен Хэтчер : алгебраическая топология , ISBN издательства Кембриджского университета 978-0-521-79540-1 . Бесплатная электронная версия доступна на домашней странице автора .