В астрофизике , Chandrasekhar потенциал тензор энергии обеспечивает гравитационный потенциал тела из - за свою собственную силу тяжести , создаваемого распределением материи через тело, названную в честь индийского американского астрофизика Субраманьяна чандрасекаровского . [1] [2] [3]
Определение [ править ] Тензор потенциальной энергии Чандрасекара определяется как
W я j знак равно - 1 2 ∫ V ρ Φ я j d Икс знак равно ∫ V ρ Икс я ∂ Φ ∂ Икс j d Икс {\ displaystyle W_ {ij} = - {\ frac {1} {2}} \ int _ {V} \ rho \ Phi _ {ij} d \ mathbf {x} = \ int _ {V} \ rho x_ { i} {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial x_ {j}}} d \ mathbf {x}} где
Φ я j ( Икс ) знак равно грамм ∫ V ρ ( Икс ′ ) ( Икс я - Икс я ′ ) ( Икс j - Икс j ′ ) | Икс - Икс ′ | 3 d Икс ′ , ⇒ Φ я я знак равно Φ знак равно грамм ∫ V ρ ( Икс ′ ) | Икс - Икс ′ | d Икс ′ {\ Displaystyle \ Phi _ {ij} (\ mathbf {x}) = G \ int _ {V} \ rho (\ mathbf {x '}) {\ frac {(x_ {i} -x_ {i}') (x_ {j} -x_ {j} ')} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x'} | ^ {3}}} d \ mathbf {x '}, \ quad \ Rightarrow \ quad \ Phi _ {ii} = \ Phi = G \ int _ {V} {\ frac {\ rho (\ mathbf {x '})} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x'} |}} d \ mathbf {Икс'} } где
грамм {\ displaystyle G} постоянным Гравитационное Φ ( Икс ) {\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )} закона всемирного тяготения Ньютона Φ i j {\displaystyle \Phi _{ij}} Φ {\displaystyle \Phi } ρ ( x ) {\displaystyle \rho (\mathbf {x} )} плотности вещества V {\displaystyle V} Очевидно, что это симметричный тензор из его определения. След тензора Чандрасекара - не что иное, как потенциальная энергия . W i j {\displaystyle W_{ij}} W i j {\displaystyle W_{ij}} W {\displaystyle W}
W = W i i = − 1 2 ∫ V ρ Φ d x = ∫ V ρ x i ∂ Φ ∂ x i d x {\displaystyle W=W_{ii}=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi d\mathbf {x} =\int _{V}\rho x_{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}d\mathbf {x} } Следовательно, тензор Чандрасекара можно рассматривать как обобщение потенциальной энергии. [4]
Доказательство Чандрасекара [ править ] Рассмотрим вопрос объема с плотностью . Таким образом V {\displaystyle V} ρ ( x ) {\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}
W i j = − 1 2 ∫ V ρ Φ i j d x = − 1 2 G ∫ V ∫ V ρ ( x ) ρ ( x ′ ) ( x i − x i ′ ) ( x j − x j ′ ) | x − x ′ | 3 d x ′ d x = − G ∫ V ∫ V ρ ( x ) ρ ( x ′ ) x i ( x j − x j ′ ) | x − x ′ | 3 d x d x ′ = G ∫ V d x ρ ( x ) x i ∂ ∂ x j ∫ V d x ′ ρ ( x ′ ) | x − x ′ | = ∫ V ρ x i ∂ Φ ∂ x j d x {\displaystyle {\begin{aligned}W_{ij}&=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi _{ij}d\mathbf {x} \\&=-{\frac {1}{2}}G\int _{V}\int _{V}\rho (\mathbf {x} )\rho (\mathbf {x'} ){\frac {(x_{i}-x_{i}')(x_{j}-x_{j}')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{3}}}d\mathbf {x'} d\mathbf {x} \\&=-G\int _{V}\int _{V}\rho (\mathbf {x} )\rho (\mathbf {x'} ){\frac {x_{i}(x_{j}-x_{j}')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{3}}}d\mathbf {x} d\mathbf {x'} \\&=G\int _{V}d\mathbf {x} \rho (\mathbf {x} )x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\int _{V}d\mathbf {x'} {\frac {\rho (\mathbf {x'} )}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}\\&=\int _{V}\rho x_{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}d\mathbf {x} \end{aligned}}} Тензор Чандрасекара в терминах скалярного потенциала [ править ] Скалярный потенциал определяется как
χ ( x ) = − G ∫ V ρ ( x ′ ) | x − x ′ | d x ′ {\displaystyle \chi (\mathbf {x} )=-G\int _{V}\rho (\mathbf {x'} )|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |d\mathbf {x'} } тогда Чандрасекар [5]
W i j = δ i j W + ∂ 2 χ ∂ x i ∂ x j {\displaystyle W_{ij}=\delta _{ij}W+{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x_{i}\partial x_{j}}}} Установка мы получаем , принимая лапласианом снова, мы получаем . i = j {\displaystyle i=j} ∇ 2 χ = − 2 W {\displaystyle \nabla ^{2}\chi =-2W} ∇ 4 χ = 8 π G ρ {\displaystyle \nabla ^{4}\chi =8\pi G\rho }
^ Чандрасекхар, S; Лебовиц Н.Р. (1962). "Потенциалы и суперпотенциалы однородных эллипсоидов" (PDF). Ап. J. 136: 1037–1047. Bibcode : 1962ApJ ... 136.1037C . DOI : 10,1086 / 147456 . Проверено 24 марта 2012 года. ^ Чандрасекхар, S; Ферми Э (1953). «Проблемы гравитационной устойчивости в присутствии магнитного поля» (PDF). Ап. J. 118: 116. Bibcode : 1953ApJ ... 118..116C . DOI : 10,1086 / 145732 . Проверено 24 марта 2012 года. ^ Чандрасекар, Субраманян. Эллипсоидальные фигуры равновесия. Vol. 9. Нью-Хейвен: издательство Йельского университета, 1969. ^ Бинни, Джеймс; Тремейн, Скотт (30 октября 2011 г.). Галактическая динамика Издательство Принстонского университета . С. 59–60. ISBN 978-1400828722 ^ Чандрасекар, Субраманян. Эллипсоидальные фигуры равновесия. Vol. 9. Нью-Хейвен: издательство Йельского университета, 1969. 
