Теорема вириала

В механике , то теорема вириала дает общее уравнение, связывающее среднее по времени от общей кинетической энергии устойчивой системы дискретных частиц, связанное потенциальными силами, с тем из общей потенциальной энергии системы. Математически теорема утверждает

{\ displaystyle \ left \ langle T \ right \ rangle = - {\ frac {1} {2}} \, \ sum _ {k = 1} ^ {N} {\ bigl \ langle} \ mathbf {F} _ {к} \ cdot \ mathbf {r} _ {k} {\ bigr \ rangle}}

для полной кинетической энергии $⟨ T ⟩$ из $N$ частиц, где $F K$ представляет собой силу , на $к$ - й частицы, которая находится в положении $г к$ , а угловые скобки представляют собой среднее по времени замкнутого количества. Слово virial для правой части уравнения происходит от слова vis , латинского слова «сила» или «энергия», и его техническое определение дал Рудольф Клаузиус в 1870 году ^[1].

Значение теоремы вириала состоит в том, что она позволяет вычислить среднюю полную кинетическую энергию даже для очень сложных систем, которые не поддаются точному решению, таких как те, которые рассматриваются в статистической механике ; эта средняя полная кинетическая энергия связана с температурой системы теоремой о равнораспределении . Однако теорема вириала не зависит от понятия температуры и верна даже для систем, не находящихся в тепловом равновесии . Теорема вириала была обобщена различными способами, особенно в тензорной форме.

Если сила между любыми двумя частицами системы приводит из потенциальной энергии $V (г) = & alpha ; R п$ , пропорциональный некоторой степени $п$ от межчастичного расстояния $г$ , теорема вириала принимает форму простого

2\langle T\rangle =n\langle V_{\text{TOT}}\rangle .

Таким образом, в два раза превышаю среднего общее кинетической энергии $⟨ Т ⟩$ равна $п$ раз средней полной потенциальной энергии $⟨ В ТОМ ⟩$ . Тогда как $V (r)$ представляет собой потенциальную энергию между двумя частицами, $V TOT$ представляет полную потенциальную энергию системы, то есть сумму потенциальной энергии $V (r)$ по всем парам частиц в системе. Типичный пример такой системы - звезда, удерживаемая собственной гравитацией, где $n$ равно −1.

Хотя теорема вириала зависит от усреднения полной кинетической и потенциальной энергии, изложение здесь откладывает усреднение до последнего шага.

История [ править ]

В 1870 году Рудольф Клаузиус прочитал лекцию «О механической теореме, применимой к теплу» в Ассоциации естественных и медицинских наук Нижнего Рейна после 20-летнего изучения термодинамики. В лекции говорилось, что средняя vis viva системы равна ее вириалу, или что средняя кинетическая энергия равна1/2средняя потенциальная энергия. Теорема вириала может быть получена непосредственно из тождества Лагранжа, примененного в классической гравитационной динамике, первоначальная форма которого была включена в «Очерк проблемы трех тел» Лагранжа, опубликованный в 1772 году . Обобщение тождества Карла Якоби на N тел и нынешняя форма тождества Лапласа очень напоминает классическую теорему вириала. Однако интерпретации, приведшие к разработке уравнений, были очень разными, поскольку во время разработки статистическая динамика еще не объединила отдельные исследования термодинамики и классической динамики. ^[2] Теорема была позже использована, популяризирована, обобщена и развитаДжеймс Клерк Максвелл , лорд Рэлей , Анри Пуанкаре , Субраманян Чандрасекар , Энрико Ферми , Поль Леду и Юджин Паркер . Фриц Цвикки был первым, кто использовал теорему вириала для вывода о существовании невидимой материи, которая теперь называется темной материей . В качестве еще одного примера из многих ее приложений, теорема вириала была использована для получения предела Чандрасекара для устойчивости белых карликовых звезд .

Утверждение и вывод [ править ]

Для набора из $N$ точечных частиц скалярный момент инерции $I$ относительно начала координат определяется уравнением

I=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left|\mathbf {r} _{k}\right|^{2}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}r_{k}^{2}

где $m k$ и $r k$ представляют собой массу и положение $k-$ й частицы. $r k = | r k |$ - величина вектора положения. Скаляр $G$ определяется уравнением

G=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}

где $р к$ это импульс , вектор из $к$ - й частицы. ^[3] Предполагая, что массы постоянны, $G$ представляет собой половину производной по времени от этого момента инерции.

{\begin{aligned}{\frac {1}{2}}{\frac {dI}{dt}}&={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\,{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=G\,.\end{aligned}}

В свою очередь, производную $G по времени$ можно записать

{\begin{aligned}{\frac {dG}{dt}}&=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\,\end{aligned}}

где $m k$ - масса $k-$ й частицы, $F k = d p k / dt$ - чистая сила, действующая на эту частицу, а $T$ - полная кинетическая энергия системы в соответствии с $v k = d r k / dt$ скорость каждой частицы

T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}.

Связь с потенциальной энергией между частицами [ править ]

Полная сила $F k,$ действующая на частицу $k,$ является суммой всех сил со стороны других частиц $j$ в системе

\mathbf {F} _{k}=\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}

где $F jk$ - сила, приложенная частицей $j$ к частице $k$ . Следовательно, вириал можно записать

-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}\,.

Поскольку никакая частица не действует сама на себя (т. $Е.$ $F jj = 0$ для $1 \leq j \leq N$ ), мы разбиваем сумму в терминах ниже и выше этой диагонали ( доказательство этого уравнения ):

{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{k=1}^{N-1}\sum _{j=k+1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right).\end{aligned}}

где мы предположили, что выполняется третий закон движения Ньютона , т.е. $F jk = - F kj$ (равная и противоположная реакция).

Формальное расширение последней ступени

Двойное суммирование в двух частях предпоследнего выражения можно переформулировать как

\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{k=1}^{N-1}\sum _{j=k+1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{1\leq j<k\leq N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{1\leq k<j\leq N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}

Замена имен свободных переменных $j$ и $k$ во второй сумме и сокращение теперь идентичных суммирований приводит к

\sum _{1\leq j<k\leq N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{1\leq j<k\leq N}\mathbf {F} _{kj}\cdot \mathbf {r} _{j}=\sum _{1\leq j<k\leq N}\left(\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\mathbf {F} _{kj}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)

где применение упомянутого третьего закона Ньютона дает окончательный результат

\sum _{1\leq j<k\leq N}{\bigl (}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\left(-\mathbf {F} _{jk}\right)\cdot \mathbf {r} _{j}{\bigr )}=\sum _{1\leq j<k\leq N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right)=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right)

Часто силы могут быть получены из потенциальной энергии $V,$ которая является функцией только расстояния $r jk$ между точечными частицами $j$ и $k$ . Поскольку сила представляет собой отрицательный градиент потенциальной энергии, в этом случае мы имеем

\mathbf {F} _{jk}=-\nabla _{\mathbf {r} _{k}}V=-{\frac {dV}{dr}}\left({\frac {\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}}{r_{jk}}}\right),

что равно силе, приложенной частицей $k$ к частице $j$ , и противоположной ей, $F kj = -\nabla r j V$ , что может быть подтверждено явным вычислением. Следовательно,

{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right)\\&=-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV}{dr}}{\frac {|\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}|^{2}}{r_{jk}}}\\&=-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV}{dr}}r_{jk}.\end{aligned}}

Таким образом, мы имеем

{\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=2T-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV}{dr}}r_{jk}.

Частный случай степенных сил [ править ]

В общем частном случае потенциальная энергия $V$ между двумя частицами пропорциональна степени $n$ их расстояния $r$

V(r_{jk})=\alpha r_{jk}^{n},

где коэффициент $α$ и показатель $n$ - постоянные. В таких случаях вириал задается уравнением

{\begin{aligned}-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV}{dr}}r_{jk}\\&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}n\alpha r_{jk}^{n-1}r_{jk}\\&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}nV\left(r_{jk}\right)={\frac {n}{2}}\,V_{\text{TOT}}\end{aligned}}

где $V TOT$ - полная потенциальная энергия системы

V_{\text{TOT}}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}V(r_{jk})\,.

Таким образом, мы имеем

{\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=2T-nV_{\text{TOT}}\,.

Для гравитирующих систем показатель $n$ равен −1, что дает тождество Лагранжа

{\frac {dG}{dt}}={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T+V_{\text{TOT}}

который был получен Жозефом-Луи Лагранжем и расширен Карлом Якоби .

Усреднение времени [ править ]

Среднее значение этой производной за время $τ$ определяется как

\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }{\frac {dG}{dt}}\,dt={\frac {1}{\tau }}\int _{G(0)}^{G(\tau )}\,dG={\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }},

из которого получаем точное уравнение

\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=2\left\langle T\right\rangle _{\tau }+\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle _{\tau }.

Теорема вириала утверждает, что если $⟨ dG / dt ⟩ Τ = 0$ , то

2\left\langle T\right\rangle _{\tau }=-\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle _{\tau }.

Есть много причин , почему средней производная по времени может исчезнуть, $⟨ dG / dt ⟩ Τ = 0$ . Одна из часто цитируемых причин относится к устойчиво связанным системам, то есть к системам, которые связаны навсегда и параметры которых конечны. В этом случае скорости и координаты частиц системы имеют верхний и нижний пределы, так что $граница$ $G$ ограничена двумя крайними значениями, $G min$ и $G max$ , а среднее значение стремится к нулю в пределе очень больших времен $τ$ :

\lim _{\tau \rightarrow \infty }\left|\left\langle {\frac {dG^{\mathrm {bound} }}{dt}}\right\rangle _{\tau }\right|=\lim _{\tau \rightarrow \infty }\left|{\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }}\right|\leq \lim _{\tau \rightarrow \infty }{\frac {G_{\max }-G_{\min }}{\tau }}=0.

Даже если среднее значение производной $G$ по времени только приблизительно равно нулю, теорема вириала остается в той же степени приближения.

Для степенных сил с показателем $n$ справедливо общее уравнение:

{\begin{aligned}\langle T\rangle _{\tau }&=-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle _{\tau }\\&={\frac {n}{2}}\langle V_{\text{TOT}}\rangle _{\tau }.\end{aligned}}

Для гравитационного притяжения $n$ равно -1, а средняя кинетическая энергия равна половине средней отрицательной потенциальной энергии.

\langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\langle V_{\text{TOT}}\rangle _{\tau }.

Этот общий результат полезен для сложных гравитирующих систем, таких как солнечные системы или галактики .

Простое приложение теоремы вириала касается скоплений галактик . Если область космоса необычно заполнена галактиками, можно с уверенностью предположить, что они были вместе долгое время, и можно применить теорему вириала. Измерения эффекта Доплера дают нижнюю границу для их относительных скоростей, а теорема вириала дает нижнюю границу для полной массы скопления, включая любую темную материю.

Если для рассматриваемой системы верна эргодическая гипотеза , усреднение по времени не требуется; ансамбль в среднем также могут быть приняты, с эквивалентными результатами.

В квантовой механике [ править ]

Хотя первоначально теорема вириала была получена для классической механики, она также верна и для квантовой механики, как впервые показал Фок ^[4] с помощью теоремы Эренфеста .

Оценивать коммутатор от гамильтониана

H=V{\bigl (}\{X_{i}\}{\bigr )}+\sum _{n}{\frac {P_{n}^{2}}{2m}}

с оператором положения $X n$ и оператором импульса

P_{n}=-i\hbar {\frac {d}{dX_{n}}}

частицы $n$ ,

[H,X_{n}P_{n}]=X_{n}[H,P_{n}]+[H,X_{n}]P_{n}=i\hbar X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}-i\hbar {\frac {P_{n}^{2}}{m}}~.

Суммируя по всем частицам, находим для

Q=\sum _{n}X_{n}P_{n}

коммутатор составляет

{\frac {i}{\hbar }}[H,Q]=2T-\sum _{n}X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}

где - кинетическая энергия. Левая часть этого уравнения просто $T=\sum _{n}{\frac {P_{n}^{2}}{2m}}$ $dQ / dt$ , согласно уравнению движения Гейзенберга . $Математическое$ ожидание $⟨ dQ / dt ⟩$ Этого времени производной равен нуль в стационарном состоянии, что приводит к квантовой теореме вириала ,

2\langle T\rangle =\sum _{n}\left\langle X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}\right\rangle ~.

Личность Похожаева [ править ]

В этом разделе не процитировать любые источники . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . ( Апрель 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Другой формой теоремы вириала квантовой механики, применимой к локализованным решениям стационарного нелинейного уравнения Шредингера или уравнения Клейна – Гордона , является тождество Похожаева , также известное как теорема Деррика .

Позвольте быть непрерывным и действительным знаком, с . Обозначим . Позволять $g(s)$ $g(0)=0$ $G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt$

u\in L_{\mathrm {loc} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\qquad \nabla u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad G(u(\cdot ))\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad n\in \mathbb {N} ,

быть решением уравнения

-\nabla ^{2}u=g(u),

в смысле распределений . Тогда удовлетворяет соотношению $u$

(n-2)\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u(x)|^{2}\,dx=n\int _{\mathbb {R} ^{n}}G(u(x))\,dx.

В специальной теории относительности [ править ]

В этом разделе не процитировать любые источники . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . ( Апрель 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Для отдельной частицы в специальной теории относительности $T = 1 / 2 p \cdot v$ . Вместо этого верно, что $T = (γ - 1) mc 2$ , где $γ$ - фактор Лоренца.

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}

и $β = v / c$ . У нас есть,

{\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} &={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\beta }}\gamma mc\cdot {\boldsymbol {\beta }}c\\[5pt]&={\frac {1}{2}}\gamma \beta ^{2}mc^{2}\\[5pt]&=\left({\frac {\gamma \beta ^{2}}{2(\gamma -1)}}\right)T\,.\end{aligned}}

Последнее выражение можно упростить до

\left({\frac {1+{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}{2}}\right)T\qquad {\text{or}}\qquad \left({\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right)T

.

Таким образом, в условиях, описанных в предыдущих разделах (включая третий закон движения Ньютона , $F jk = - F kj$ , несмотря на относительность), среднее по времени для $N$ частиц со степенным потенциалом равно

{\frac {n}{2}}\left\langle V_{\mathrm {TOT} }\right\rangle _{\tau }=\left\langle \sum _{k=1}^{N}\left({\frac {1+{\sqrt {1-\beta _{k}^{2}}}}{2}}\right)T_{k}\right\rangle _{\tau }=\left\langle \sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\gamma _{k}+1}{2\gamma _{k}}}\right)T_{k}\right\rangle _{\tau }\,.

В частности, отношение кинетической энергии к потенциальной больше не фиксируется, а обязательно попадает в интервал:

{\frac {2\langle T_{\mathrm {TOT} }\rangle }{n\langle V_{\mathrm {TOT} }\rangle }}\in \left[1,2\right]\,,

где более релятивистские системы показывают большие отношения.

Обобщения [ править ]

Лорд Рэлей опубликовал обобщение теоремы вириала в 1903 г. ^[5] Анри Пуанкаре применил форму теоремы вириала в 1911 г. к проблеме определения космологической устойчивости. ^[6] Вариационная форма теоремы вириала была разработана в 1945 году Леду. ^[7] тензор форма вириальной теорема была разработан Паркером, ^[8] Чандрасекар ^[9] и Ферми. ^[10] Следующее обобщение теоремы вириала было установлено Поллардом в 1964 году для случая закона обратных квадратов: ^[11]^[12]

2\lim \limits _{\tau \rightarrow +\infty }\langle T\rangle _{\tau }=\lim \limits _{\tau \rightarrow +\infty }\langle U\rangle _{\tau }\qquad {\text{if and only if}}\quad \lim \limits _{\tau \rightarrow +\infty }{\tau }^{-2}I(\tau )=0\,.

В противном случае необходимо добавить граничный термин. ^[13]

Включение электромагнитных полей [ править ]

Теорема вириала может быть расширена на электрические и магнитные поля. Результат ^[14]

{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+\int _{V}x_{k}{\frac {\partial G_{k}}{\partial t}}\,d^{3}r=2(T+U)+W^{\mathrm {E} }+W^{\mathrm {M} }-\int x_{k}(p_{ik}+T_{ik})\,dS_{i},

где $I$ - момент инерции , $G$ - плотность импульса электромагнитного поля , $T$ - кинетическая энергия «жидкости», $U$ - случайная «тепловая» энергия частиц, $W E$ и $W M$ - электрическая и магнитная энергия рассматриваемого объема. Наконец, $p ik$ - тензор давления жидкости, выраженный в локальной подвижной системе координат

p_{ik}=\Sigma n^{\sigma }m^{\sigma }\langle v_{i}v_{k}\rangle ^{\sigma }-V_{i}V_{k}\Sigma m^{\sigma }n^{\sigma },

и $Т ик$ есть тензор электромагнитного напряжения ,

T_{ik}=\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)\delta _{ik}-\left(\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu _{0}}}\right).

Сгустка конечная конфигурация магнитных полей и плазмы. С помощью теоремы вириала легко увидеть, что любая такая конфигурация будет расширяться, если ее не сдерживать внешние силы. В конечной конфигурации без стенок, несущих давление, или магнитных катушек, поверхностный интеграл будет равен нулю. Поскольку все остальные члены в правой части положительны, ускорение момента инерции также будет положительным. Несложно также оценить время расширения $τ$ . Если общая масса $M$ ограничена радиусом $R$ , то момент инерции примерно равен $MR 2$ , а левая часть теоремы вириала равна $MR 2 / τ 2$ . Члены в правой части в $сумме дают$ примерно $pR$ $3$ , где $p$ больше давления плазмы или магнитного давления. Приравнивая эти два члена и решая относительно $τ$ , находим

\tau \,\sim {\frac {R}{c_{\mathrm {s} }}},

где $c s$ - скорость ионно-звуковой волны (или альфвеновской волны , если магнитное давление выше давления плазмы). Таким образом, ожидается, что время жизни плазмоида будет порядка акустического (или альфвеновского) времени прохождения.

Релятивистская единообразная система [ править ]

В случае, когда в физической системе учитываются поле давления, электромагнитное и гравитационное поля, а также поле ускорения частиц, теорема вириала записывается в релятивистской форме следующим образом: ^[15]

\left\langle W_{k}\right\rangle \approx -0.6\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle ,

где значение $W k \approx γ c T$ превышает кинетическую энергию частиц $T$ в раз, равный лоренц-фактору $γ c$ частиц в центре системы. В нормальных условиях можно считать, что $γ c \approx 1$ , тогда мы видим, что в теореме вириала кинетическая энергия связана с потенциальной энергией, а не коэффициентом1/2, а скорее на коэффициент, близкий к 0,6. Отличие от классического случая возникает из-за учета поля давления и поля ускорения частиц внутри системы, при этом производная скаляра $G$ не равна нулю и должна рассматриваться как материальная производная .

Анализ интегральной теоремы обобщенного вириала позволяет найти на основе теории поля формулу для среднеквадратичной скорости типичных частиц системы без использования понятия температуры: ^[16]

v_{\mathrm {rms} }=c{\sqrt {1-{\frac {4\pi \eta \rho _{0}r^{2}}{c^{2}\gamma _{c}^{2}\sin ^{2}\left({\frac {r}{c}}{\sqrt {4\pi \eta \rho _{0}}}\right)}}}},

где - скорость света, - постоянная ускоряющего поля, - массовая плотность частиц, - текущий радиус. $~c$ $~\eta$ $~\rho _{0}$ $~r$

В отличие от теоремы вириала для частиц, для электромагнитного поля теорема вириала записывается следующим образом: ^[17]

~E_{kf}+2W_{f}=0,

где энергия рассматривается как энергия кинетического поля, связанная с четырьмя токами , и $~E_{kf}=\int A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}$ $~j^{\alpha }$

~W_{f}={\frac {1}{4\mu _{0}}}\int F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}

задает энергию потенциального поля, найденную через компоненты электромагнитного тензора.

В астрофизике [ править ]

Теорема вириала часто применяется в астрофизике, особенно связывая гравитационную потенциальную энергию системы с ее кинетической или тепловой энергией . Некоторые общие вириальные отношения ^{[ ссылка ]}

{\frac {3}{5}}{\frac {GM}{R}}={\frac {3}{2}}{\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m_{\mathrm {p} }}}={\frac {1}{2}}v^{2}

для массового $М$ , радиуса $R$ , скорости $V$ и температуры $Т$ . Константы - это постоянная Ньютона $G$ , постоянная Больцмана $k B$ и масса протона $m p$ . Обратите внимание, что эти отношения являются только приблизительными, и часто ведущие числовые факторы (например,3/5 или же 1/2) полностью игнорируются.

Галактики и космология (вириальная масса и радиус) [ править ]

В астрономии масса и размер галактики (или общая избыточная плотность) часто определяются в терминах « вириальной массы » и « вириального радиуса » соответственно. Поскольку галактики и сверхплотность в сплошных жидкостях могут быть сильно расширены (даже до бесконечности в некоторых моделях, таких как изотермическая сфера ), может быть трудно определить конкретные, конечные меры их массы и размера. Теорема вириала и связанные с ней концепции часто предоставляют удобные средства для количественной оценки этих свойств.

В динамике галактик масса галактики часто определяется путем измерения скорости вращения ее газа и звезд, принимая круговые кеплеровские орбиты . Используя теорему вириала, аналогичным образом можно использовать дисперсионную скорость $σ$ . Принимая кинетическую энергию (на частицу) системы как $T = 1 / 2 v 2 ~ 3 / 2 σ 2$ , а потенциальная энергия (на частицу) как $U ~ 3 / 5 GM / р$ мы можем написать

{\frac {GM}{R}}\approx \sigma ^{2}.

Вот радиус, на котором измеряется дисперсия скоростей, а $M$ - масса в пределах этого радиуса. Вириальная масса и радиус обычно определяются для радиуса, на котором дисперсия скорости максимальна, т. Е. $R$

{\frac {GM_{\text{vir}}}{R_{\text{vir}}}}\approx \sigma _{\max }^{2}.

Поскольку были сделаны многочисленные приближения, в дополнение к приблизительному характеру этих определений, константы пропорциональности порядка единицы часто опускаются (как в приведенных выше уравнениях). Эти отношения, таким образом точны только в порядке величины смысле, или при использовании самосогласованного.

Альтернативное определение вириальной массы и радиуса часто используется в космологии, где оно используется для обозначения радиуса сферы с центром в галактике или скоплении галактик , внутри которого сохраняется вириальное равновесие. Поскольку этот радиус трудно определить наблюдательно, его часто аппроксимируют как радиус, в пределах которого средняя плотность в заданный раз больше, чем критическая плотность.

\rho _{\text{crit}}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}

где $Н$ является параметр Хаббла и $G$ является гравитационной постоянной . Обычный выбор для множителя - 200, что примерно соответствует типичной избыточной плотности при сферическом коллапсе цилиндра (см. Вириальная масса ), и в этом случае вириальный радиус аппроксимируется как

r_{\text{vir}}\approx r_{200}=r,\qquad \rho =200\cdot \rho _{\text{crit}}.

Затем вириальная масса определяется относительно этого радиуса как

M_{\text{vir}}\approx M_{200}={\frac {4}{3}}\pi r_{200}^{3}\cdot 200\rho _{\text{crit}}.

В звездах [ править ]

Теорема вириала применима к ядрам звезд, устанавливая связь между гравитационной потенциальной энергией и тепловой кинетической энергией (т.е. температурой). Поскольку звезды на главной последовательности превращают водород в гелий в своих ядрах, средняя молекулярная масса ядра увеличивается, и оно должно сжиматься, чтобы поддерживать давление, достаточное для поддержания собственного веса. Это сжатие уменьшает его потенциальную энергию и, согласно теореме вириала, увеличивает его тепловую энергию. Температура ядра увеличивается даже при потере энергии, что фактически дает отрицательную удельную теплоемкость . ^[18] Это продолжается и за пределами основной последовательности, если ядро не становится вырожденным, поскольку это приводит к тому, что давление становится независимым от температуры и вириальной связи с $n$ равно −1 больше не выполняется. ^[19]

См. Также [ править ]

Вириальный коэффициент
Вириальный стресс
Вириальная масса
Тензор Чандрасекара
Вириальные уравнения Чандрасекара
Теорема Деррика
Теорема о равнораспределении
Теорема Эренфеста
Личность Похожаева

Ссылки [ править ]

^ Клаузиус, RJE (1870). «Об одной механической теореме, применимой к теплу». Философский журнал . Серия 4. 40 (265): 122–127. DOI : 10.1080 / 14786447008640370 .
^ Коллинз, GW (1978). "Вступление". Теорема вириала в звездной астрофизике . Pachart Press. Bibcode : 1978vtsa.book ..... C . ISBN 978-0-912918-13-6.
^ Гольдштейн, Герберт, 1922-2005. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0-201-02918-9. OCLC 5675073 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Фок, В. (1930). "Bemerkung zum Virialsatz". Zeitschrift für Physik . 63 (11): 855–858. Bibcode : 1930ZPhy ... 63..855F . DOI : 10.1007 / BF01339281 . S2CID 122502103 .
^ Лорд Рэлей (1903). "Неизвестный". Cite journal requires |journal= (help); Cite использует общий заголовок ( справка )
^ Пуанкаре, Анри . Лекции по космологическим теориям . Пэрис: Германн.
^ Леду, P. (1945). «О радиальной пульсации газовых звезд». Астрофизический журнал . 102 : 143–153. Bibcode : 1945ApJ ... 102..143L . DOI : 10,1086 / 144747 .
^ Паркер, EN (1954). «Тензорные вириальные уравнения». Физический обзор . 96 (6): 1686–1689. Bibcode : 1954PhRv ... 96.1686P . DOI : 10.1103 / PhysRev.96.1686 .
^ Чандрасекхар, S ; Лебовиц Н.Р. (1962). «Потенциалы и суперпотенциалы однородных эллипсоидов». Astrophys. Дж . 136 : 1037–1047. Bibcode : 1962ApJ ... 136.1037C . DOI : 10,1086 / 147456 .
^ Чандрасекхар, S ; Ферми Э (1953). «Проблемы гравитационной устойчивости в присутствии магнитного поля». Astrophys. Дж . 118 : 116. Bibcode : 1953ApJ ... 118..116C . DOI : 10,1086 / 145732 .
^ Поллард, Х. (1964). «Точная форма теоремы вириала» . Бык. Амер. Математика. Soc . LXX (5): 703–705. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1964-11175-7 .
^ Поллард, Гарри (1966). Математическое введение в небесную механику . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: ISBN Prentice-Hall, Inc. 978-0-13-561068-8.
^ Колар, М .; О'Ши, Сан-Франциско (июль 1996 г.). «Высокотемпературное приближение для квантового метода Монте-Карло интегралов по путям». Журнал физики A: математический и общий . 29 (13): 3471–3494. Bibcode : 1996JPhA ... 29.3471K . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 29/13/018 .
^ Шмидт, Джордж (1979). Физика высокотемпературной плазмы (2-е изд.). Академическая пресса. п. 72.
^ Федосин, SG (2016). «Теорема вириала и кинетическая энергия частиц макроскопической системы в общей концепции поля». Механика сплошной среды и термодинамика . 29 (2): 361–371. arXiv : 1801.06453 . Bibcode : 2017CMT .... 29..361F . DOI : 10.1007 / s00161-016-0536-8 . S2CID 53692146 .
^ Федосин, Сергей Г. (2018-09-24). «Интегральная теорема обобщенного вириала в релятивистской однородной модели» . Механика сплошной среды и термодинамика . 31 (3): 627–638. arXiv : 1912.08683 . Bibcode : 2018CMT ... tmp..140F . DOI : 10.1007 / s00161-018-0715-х . ISSN 1432-0959 . S2CID 125180719 - через Springer Nature SharedIt .
^ Федосин С.Г. Интегральная теорема об энергии поля. Научный журнал Университета Гази. Vol. 32, No. 2, pp. 686-703 (2019). DOI : 10.5281 / zenodo.3252783 .
^ БАЙДЬЯНАТ БАСУ; ТАНУКА ЧАТТОПАДХЯЙ; СУДХИНДРА НАТ БИСВАС (1 января 2010 г.). ВВЕДЕНИЕ В АСТРОФИЗИКУ . PHI Learning Pvt. Ltd. с. 365–. ISBN 978-81-203-4071-8.
↑ Уильям К. Роуз (16 апреля 1998 г.). Продвинутая звездная астрофизика . Издательство Кембриджского университета. С. 242–. ISBN 978-0-521-58833-1.

Дальнейшее чтение [ править ]

Гольдштейн, Х. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-02918-5.
Коллинз, GW (1978). Теорема вириала в звездной астрофизике . Pachart Press. Bibcode : 1978vtsa.book ..... C . ISBN 978-0-912918-13-6.

Внешние ссылки [ править ]

Теорема вириала на MathPages
Гравитационное сжатие и звездообразование , Государственный университет Джорджии

[1] Клаузиус, RJE (1870). «Об одной механической теореме, применимой к теплу». Философский журнал . Серия 4. 40 (265): 122–127. DOI : 10.1080 / 14786447008640370 .

[2] Коллинз, GW (1978). "Вступление". Теорема вириала в звездной астрофизике . Pachart Press. Bibcode : 1978vtsa.book ..... C . ISBN 978-0-912918-13-6.

[3] Гольдштейн, Герберт, 1922-2005. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0-201-02918-9. OCLC 5675073 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[4] Фок, В. (1930). "Bemerkung zum Virialsatz". Zeitschrift für Physik . 63 (11): 855–858. Bibcode : 1930ZPhy ... 63..855F . DOI : 10.1007 / BF01339281 . S2CID 122502103 .

[5] Лорд Рэлей (1903). "Неизвестный". Cite journal requires |journal= (help); Cite использует общий заголовок ( справка )

[6] Пуанкаре, Анри . Лекции по космологическим теориям . Пэрис: Германн.

[7] Леду, P. (1945). «О радиальной пульсации газовых звезд». Астрофизический журнал . 102 : 143–153. Bibcode : 1945ApJ ... 102..143L . DOI : 10,1086 / 144747 .

[8] Паркер, EN (1954). «Тензорные вириальные уравнения». Физический обзор . 96 (6): 1686–1689. Bibcode : 1954PhRv ... 96.1686P . DOI : 10.1103 / PhysRev.96.1686 .

[9] Чандрасекхар, S ; Лебовиц Н.Р. (1962). «Потенциалы и суперпотенциалы однородных эллипсоидов». Astrophys. Дж . 136 : 1037–1047. Bibcode : 1962ApJ ... 136.1037C . DOI : 10,1086 / 147456 .

[10] Чандрасекхар, S ; Ферми Э (1953). «Проблемы гравитационной устойчивости в присутствии магнитного поля». Astrophys. Дж . 118 : 116. Bibcode : 1953ApJ ... 118..116C . DOI : 10,1086 / 145732 .

[11] Поллард, Х. (1964). «Точная форма теоремы вириала» . Бык. Амер. Математика. Soc . LXX (5): 703–705. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1964-11175-7 .

[12] Поллард, Гарри (1966). Математическое введение в небесную механику . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: ISBN Prentice-Hall, Inc. 978-0-13-561068-8.

[13] Колар, М .; О'Ши, Сан-Франциско (июль 1996 г.). «Высокотемпературное приближение для квантового метода Монте-Карло интегралов по путям». Журнал физики A: математический и общий . 29 (13): 3471–3494. Bibcode : 1996JPhA ... 29.3471K . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 29/13/018 .

[14] Шмидт, Джордж (1979). Физика высокотемпературной плазмы (2-е изд.). Академическая пресса. п. 72.

[15] Федосин, SG (2016). «Теорема вириала и кинетическая энергия частиц макроскопической системы в общей концепции поля». Механика сплошной среды и термодинамика . 29 (2): 361–371. arXiv : 1801.06453 . Bibcode : 2017CMT .... 29..361F . DOI : 10.1007 / s00161-016-0536-8 . S2CID 53692146 .

[16] Федосин, Сергей Г. (2018-09-24). «Интегральная теорема обобщенного вириала в релятивистской однородной модели» . Механика сплошной среды и термодинамика . 31 (3): 627–638. arXiv : 1912.08683 . Bibcode : 2018CMT ... tmp..140F . DOI : 10.1007 / s00161-018-0715-х . ISSN 1432-0959 . S2CID 125180719 - через Springer Nature SharedIt .

[17] Федосин С.Г. Интегральная теорема об энергии поля. Научный журнал Университета Гази. Vol. 32, No. 2, pp. 686-703 (2019). DOI : 10.5281 / zenodo.3252783 .

[BASUCHATTOPADHYAY2010-18] БАЙДЬЯНАТ БАСУ; ТАНУКА ЧАТТОПАДХЯЙ; СУДХИНДРА НАТ БИСВАС (1 января 2010 г.). ВВЕДЕНИЕ В АСТРОФИЗИКУ . PHI Learning Pvt. Ltd. с. 365–. ISBN 978-81-203-4071-8.

[Rose1998-19] Уильям К. Роуз (16 апреля 1998 г.). Продвинутая звездная астрофизика . Издательство Кембриджского университета. С. 242–. ISBN 978-0-521-58833-1.

[1].