Чебышевская связь

Связь Чебышева является механической связью , которая преобразует вращательное движение аппроксимировать прямолинейное движение .

Его изобрел математик XIX века Пафнутий Чебышев , изучавший теоретические проблемы кинематических механизмов . Одной из проблем была конструкция рычага, который преобразует вращательное движение в приближенное прямолинейное движение. Это также изучал Джеймс Ватт в своих усовершенствованиях парового двигателя . ^[1]

Прямолинейное соединение ограничивает точку P - среднюю точку звена L ₃ - на прямой линии на двух крайних точках и в центре движения. ( L ₁ , L ₂ , L ₃ и L ₄ такие, как показано на рисунке.) Между этими точками точка P немного отклоняется от идеальной прямой линии. Пропорции между ссылками

${\ Displaystyle L_ {1}: L_ {2}: L_ {3} = 2: 2,5: 1 = 4: 5: 2 \,}$

Точка P находится в середине  L ₃ . Это соотношение гарантирует, что звено  L ₃ лежит вертикально, когда оно находится на одном из крайних положений своего хода. ^[2]

Математически длины связаны следующим образом:

${\ displaystyle L_ {4} = L_ {3} + {\ sqrt {L_ {2} ^ {2} -L_ {1} ^ {2}}}. \,}$

Можно показать, что если базовые пропорции, описанные выше, принять за длины, то для всех случаев

${\ Displaystyle L_ {4} = L_ {2}. \,}$

и это способствует воспринимаемому движению прямолинейных точек P .

Уравнения движения [ править ]

Движение рычажного механизма может быть ограничено входным углом, который может изменяться посредством скоростей, сил и т. Д. Входные углы могут быть либо связью  L ₂ с горизонталью, либо связью  L ₄ с горизонталью. Независимо от входного угла, можно вычислить движение двух конечных точек для звена  L _3, которое мы назовем A и B, и средней точки P.

${\ Displaystyle х_ {А} = L_ {2} \ соз (\ varphi _ {1}) \,}$

${\displaystyle y_{A}=L_{2}\sin(\varphi _{1})\,}$

в то время как движение точки B будет вычислено с другим углом,

${\displaystyle x_{B}=L_{1}-L_{4}\cos(\varphi _{2})\,}$

${\displaystyle y_{B}=L_{4}\sin(\varphi _{2})\,}$

И, наконец, мы запишем выходной угол через входной угол,

${\displaystyle \varphi _{2}=\arcsin \left[{\frac {L_{2}\,\sin(\varphi _{1})}{\overline {AO_{2}}}}\right]-\arccos \left({\frac {L_{4}^{2}+{\overline {AO_{2}}}^{2}-L_{3}^{2}}{2\,L_{4}\,{\overline {AO_{2}}}}}\right)\,}$

Следовательно, мы можем записать движение точки P, используя две точки, определенные выше, и определение средней точки.

${\displaystyle x_{P}={\frac {x_{A}+x_{B}}{2}}\,}$

${\displaystyle y_{P}={\frac {y_{A}+y_{B}}{2}}\,}$

Углы ввода [ править ]

Иллюстрация пределов

Пределы входных углов в обоих случаях следующие:

${\displaystyle \varphi _{\text{min}}=\arccos \left({\frac {4}{5}}\right)\approx 36.8699^{\circ }.\,}$

${\displaystyle \varphi _{\text{max}}=\arccos \left({\frac {-1}{5}}\right)\approx 101.537^{\circ }.\,}$

Использование [ править ]

Чебышева связь не получила широкое применение в паровых двигателях, ^{[ править ]} , но , как правило , используется в качестве «голов лошади» конструкции уровня подъемной стрелы крана . В этом приложении приблизительное прямое движение переводится от середины линии, но по сути это тот же механизм.

См. Также [ править ]

Лямбда-механизм Чебышева (один синий и один зеленый) показывает идентичный путь движения

• Лямбда-механизм Чебышева.
• Связка Ватта , аналогичный прямолинейный механизм с обратным направлением одного из рычагов.
• Прямой механизм
• Скотт Рассел связь
• Рычажный механизм Hoeckens (4-стержневой рычажный механизм, преобразующий вращательное движение в приближенное прямолинейное движение)
• Звено Peaucellier-Lipkin (8-стержневое соединение, обеспечивающее идеальное линейное движение)
• Четырехзвенная навеска

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме чебышевской связи .

• Корнельский университет, "Как нарисовать прямую линию, А.Б. Кемпе, бакалавр гуманитарных наук"
• Моделирование с использованием программного обеспечения Molecular Workbench
• GeoGebra моделирование связи