График рациональных функций Чебышева для
n = 0, 1, 2, 3, 4 для
0,01 ≤ x ≤ 100 , логарифмический масштаб.
В математике , как рациональные функции Чебышева представляют собой последовательность функций, как рационально и ортогональны . Они названы в честь Пафнутия Чебышева . Рациональная функция Чебышева степени n
р п ( Икс ) знак равно d е ж Т п ( Икс - 1 Икс + 1 ) {\ displaystyle R_ {n} (x) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ T_ {n} \ left ({\ frac {x-1} {x + 1}} \ right) } где T n ( x )полином Чебышева первого рода.
Многие свойства могут быть получены из свойств многочленов Чебышева первого рода. Другие свойства уникальны для самих функций.
р п + 1 ( Икс ) знак равно 2 Икс - 1 Икс + 1 р п ( Икс ) - р п - 1 ( Икс ) за п ≥ 1 {\ Displaystyle R_ {n + 1} (x) = 2 \, {\ frac {x-1} {x + 1}} R_ {n} (x) -R_ {n-1} (x) \ quad { \ text {for}} n \ geq 1} Дифференциальные уравнения [ править ] ( Икс + 1 ) 2 р п ( Икс ) знак равно 1 п + 1 d d Икс р п + 1 ( Икс ) - 1 п - 1 d d Икс р п - 1 ( Икс ) за п ≥ 2 {\displaystyle (x+1)^{2}R_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}R_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}R_{n-1}(x)\quad {\text{for }}n\geq 2} ( x + 1 ) 2 x d 2 d x 2 R n ( x ) + ( 3 x + 1 ) ( x + 1 ) 2 d d x R n ( x ) + n 2 R n ( x ) = 0 {\displaystyle (x+1)^{2}x{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}R_{n}(x)+{\frac {(3x+1)(x+1)}{2}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}R_{n}(x)+n^{2}R_{n}(x)=0} Ортогональность [ править ] График абсолютного значения рациональной функции Чебышева седьмого порядка (
n = 7 ) для
0,01 ≤ x ≤ 100 . Обратите внимание, что имеется
n нулей, расположенных симметрично относительно
x = 1, и если
x 0 является нулем, то
1 / х 0 тоже ноль. Максимальное значение между нулями равно единице. Эти свойства сохраняются для всех заказов.
Определение:
ω ( x ) = d e f 1 ( x + 1 ) x {\displaystyle \omega (x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{(x+1){\sqrt {x}}}}} Ортогональность рациональных функций Чебышева можно записать:
∫ 0 ∞ R m ( x ) R n ( x ) ω ( x ) d x = π c n 2 δ n m {\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{m}(x)\,R_{n}(x)\,\omega (x)\,\mathrm {d} x={\frac {\pi c_{n}}{2}}\delta _{nm}} где c n = 2n = 0c n = 1n ≥ 1δ nm дельта- функция Кронекера .
Расширение произвольной функции [ править ] Для произвольной функции f ( x ) ∈ L 2 ω f ( x )
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ F n R n ( x ) {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}R_{n}(x)} куда
F n = 2 c n π ∫ 0 ∞ f ( x ) R n ( x ) ω ( x ) d x . {\displaystyle F_{n}={\frac {2}{c_{n}\pi }}\int _{0}^{\infty }f(x)R_{n}(x)\omega (x)\,\mathrm {d} x.} Конкретные ценности [ править ] R 0 ( x ) = 1 R 1 ( x ) = x − 1 x + 1 R 2 ( x ) = x 2 − 6 x + 1 ( x + 1 ) 2 R 3 ( x ) = x 3 − 15 x 2 + 15 x − 1 ( x + 1 ) 3 R 4 ( x ) = x 4 − 28 x 3 + 70 x 2 − 28 x + 1 ( x + 1 ) 4 R n ( x ) = ( x + 1 ) − n ∑ m = 0 n ( − 1 ) m ( 2 n 2 m ) x n − m {\displaystyle {\begin{aligned}R_{0}(x)&=1\\R_{1}(x)&={\frac {x-1}{x+1}}\\R_{2}(x)&={\frac {x^{2}-6x+1}{(x+1)^{2}}}\\R_{3}(x)&={\frac {x^{3}-15x^{2}+15x-1}{(x+1)^{3}}}\\R_{4}(x)&={\frac {x^{4}-28x^{3}+70x^{2}-28x+1}{(x+1)^{4}}}\\R_{n}(x)&=(x+1)^{-n}\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}{\binom {2n}{2m}}x^{n-m}\end{aligned}}} Расширение частичной дроби [ править ] R n ( x ) = ∑ m = 0 n ( m ! ) 2 ( 2 m ) ! ( n + m − 1 m ) ( n m ) ( − 4 ) m ( x + 1 ) m {\displaystyle R_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}{\frac {(m!)^{2}}{(2m)!}}{\binom {n+m-1}{m}}{\binom {n}{m}}{\frac {(-4)^{m}}{(x+1)^{m}}}} 
