Вейвлеты Коэна – Добеши – Фово - это семейство биортогональных вейвлетов , ставшее популярным благодаря Ингрид Добеши . [1] [2] Это не то же самое, что ортогональные вейвлеты Добеши , а также не очень похожи по форме и свойствам. Однако их конструктивная идея осталась прежней.
JPEG 2000 сжатие стандарта использует биортогональный LeGall-Tabatabai (LGT) 5/3 вейвлета (разработанный D. Le Gall и Ali J. Табатабаи) [3] [4] [5] для сжатия без потерь и ВПР 9/7 вейвлета для сжатия с потерями .
Характеристики
- Основной генератор является B-сплайном, если простая факторизация (см. ниже).
- Двойной генератор имеет максимально возможное количество гладкости факторов для его длины.
- Все генераторы и вейвлеты в этом семействе симметричны.
Строительство
Для каждого натурального числа A существует единственный многочленстепени A - 1, удовлетворяющей тождеству
Это тот же многочлен, который использовался при построении вейвлетов Добеши . Но вместо спектральной факторизации здесь мы пытаемся разложить на множители
где множители являются полиномами с действительными коэффициентами и постоянным коэффициентом 1. Тогда
а также
образуют биортогональную пару масштабирующих последовательностей. d - некоторое целое число, используемое для центрирования симметричных последовательностей в нуле или для того, чтобы сделать соответствующие дискретные фильтры причинными.
В зависимости от корней , может быть до разные факторизации. Простая факторизация а также , то первичной масштабной функцией является B-сплайн порядка A - 1. При A = 1 получается ортогональный вейвлет Хаара .
Таблицы коэффициентов
При A = 2 таким образом получается 5/3-вейвлет ЛеГалла :
А | Q A ( X ) | q prim ( X ) | q дуальный ( X ) | прима ( Z ) | двойной ( Z ) |
---|---|---|---|---|---|
2 | 1 |
При A = 4 получается 9/7-CDF-вейвлет . Один получает, этот многочлен имеет ровно один действительный корень, поэтому он является произведением линейного множителя и квадратичный множитель. Коэффициент c , обратный корню, имеет приблизительное значение -1,4603482098.
А | Q A ( X ) | q prim ( X ) | q дуальный ( X ) |
---|---|---|---|
4 |
Для коэффициентов центрированного масштабирования и вейвлет-последовательностей можно получить числовые значения в удобной для реализации форме.
k | Фильтр нижних частот анализа (1/2 двойные ) | Анализирующий фильтр верхних частот ( b двойной ) | Синтез фильтр нижних частот ( Прима ) | Синтез фильтр верхних частот (1/2 б прим. ) |
---|---|---|---|---|
−4 | 0,026748757411 | 0 | 0 | 0,026748757411 |
−3 | -0,016864118443 | 0,091271763114 | -0,091271763114 | 0,016864118443 |
−2 | −0,078223266529 | -0,057543526229 | -0,057543526229 | −0,078223266529 |
−1 | 0,266864118443 | -0,591271763114 | 0,591271763114 | -0,266864118443 |
0 | 0.602949018236 | 1.11508705 | 1.11508705 | 0.602949018236 |
1 | 0,266864118443 | -0,591271763114 | 0,591271763114 | -0,266864118443 |
2 | −0,078223266529 | -0,057543526229 | -0,057543526229 | −0,078223266529 |
3 | -0,016864118443 | 0,091271763114 | -0,091271763114 | 0,016864118443 |
4 | 0,026748757411 | 0 | 0 | 0,026748757411 |
Нумерация
Существуют две совпадающие схемы нумерации для вейвлетов семейства CDF:
- количество коэффициентов плавности фильтров нижних частот или, что эквивалентно, количество исчезающих моментов фильтров верхних частот, например, «2, 2»;
- размеры фильтров нижних частот или, что эквивалентно, размеры фильтров верхних частот, например, «5, 3».
Первая нумерация использовалась в книге Добеши « Десять лекций по вейвлетам» . Ни одна из этих нумераций не уникальна. Количество исчезающих моментов не говорит о выбранной факторизации. Банк фильтров с размерами фильтров 7 и 9 может иметь 6 и 2 исчезающих момента при использовании тривиальной факторизации или 4 и 4 исчезающих момента, как в случае вейвлета JPEG 2000. Таким образом, один и тот же вейвлет может называться «CDF 9/7» (на основе размеров фильтра) или «биортогональным 4, 4» (на основе исчезающих моментов). Точно так же один и тот же вейвлет может называться «CDF 5/3» (на основе размеров фильтра) или «биортогональным 2, 2» (на основе исчезающих моментов).
Лифтинг разложения
Для тривиально факторизованных наборов фильтров можно явно задать разложение по поднятию . [6]
Четное количество коэффициентов плавности
Позволять - количество коэффициентов плавности в B-шлицевом фильтре нижних частот, которое должно быть четным.
Затем определите рекурсивно
Подъемные фильтры
В итоге промежуточные результаты подъема
что приводит к
Фильтры а также составляют набор фильтров CDF- n , 0.
Нечетное количество коэффициентов гладкости
Теперь позвольте быть странным.
Затем определите рекурсивно
Подъемные фильтры
В итоге промежуточные результаты подъема
что приводит к
где мы пренебрегаем переводом и постоянным множителем.
Фильтры а также составляют набор фильтров CDF- n , 1.
Приложения
Вейвлет Коэна – Добеши – Фово и другие биортогональные вейвлеты использовались для сжатия сканированных отпечатков пальцев для ФБР . [7] Стандарт сжатия отпечатков пальцев таким способом был разработан Томом Хоппером (ФБР), Джонатаном Брэдли ( Национальная лаборатория Лос-Аламоса ) и Крисом Брислоном (Национальная лаборатория Лос-Аламоса). [7] Используя вейвлеты, можно достичь степени сжатия примерно 20: 1, что означает, что изображение размером 10 МБ может быть уменьшено до 500 кБ при прохождении тестов распознавания. [7]
Внешние ссылки
- JPEG 2000: как это работает?
- Исходный код быстрого дискретного вейвлет-преобразования CDF 9/7 на языке C (реализация подъема) на Wayback Machine (архив 5 марта 2012 г.)
- CDF 9/7 Wavelet Transform для 2D-сигналов с помощью подъема: исходный код на Python
- Реализация 5/3-CDF-Wavelet с открытым исходным кодом на C # для произвольной длины
Рекомендации
- ^ Коэн, А .; Добеши, I .; Фово, Ж.-К. (1992). «Биортогональные основы всплесков с компактным носителем». Сообщения по чистой и прикладной математике . 45 (5): 485–560. DOI : 10.1002 / cpa.3160450502 .
- ^ Добеши, Ингрид (1992). Десять лекций по вейвлетам . СИАМ. DOI : 10.1137 / 1.9781611970104 . ISBN 978-0-89871-274-2.
- ^ Салливан, Гэри (8–12 декабря 2003 г.). «Общие характеристики и конструктивные соображения для кодирования видео временного поддиапазона» . ITU-T . Группа экспертов по кодированию видео . Проверено 13 сентября 2019 .
- ^ Бовик, Алан К. (2009). Основное руководство по обработке видео . Академическая пресса . п. 355. ISBN 9780080922508.
- ^ Галл, Д. Ле; Табатабай, Али Дж. (1988). «Подполосное кодирование цифровых изображений с использованием симметричных коротких ядерных фильтров и методов арифметического кодирования». ICASSP-88., Международная конференция по акустике, речи и обработке сигналов : 761–764, том 2. DOI : 10.1109 / ICASSP.1988.196696 . S2CID 109186495 .
- ^ Тилеманн, Хеннинг (2006). «раздел 3.2.4» . Оптимально согласованные вейвлеты (кандидатская диссертация).
- ^ а б в Ципра, Барри Артур (1994). Что происходит в математических науках (том 2) Parlez-vous Wavelets? . Американское математическое общество. ISBN 978-0821889985.