В математике , комодуль или Копредставление этого понятие двойного к модулю . Определение комодуля над коалгеброй формируется путем дуализации определения модуля над ассоциативной алгеброй .
Формальное определение
Пусть K будет поле , и C быть коалгебра над K . А (справа) комодуль над С является К - векторное пространство М вместе с линейной картой
такой, что
- ,
где Δ - коумножение для C , а ε - число.
Обратите внимание, что во втором правиле мы определили с участием .
Примеры
- Коалгебра - это комодуль над собой.
- Если M - конечномерный модуль над конечномерной K -алгеброй A , то набор линейных функций от A до K образует коалгебру, а набор линейных функций от M до K образует комодуль над этой коалгеброй.
- Градуированное векторное пространство V может быть сделано в комодуль. Пусть I будет набором индексов для градуированного векторного пространства, и пусть - векторное пространство с базисом для . Мы поворачиваемв коалгебру и V в-комодуль, а именно:
- Пусть коумножение на быть дано .
- Пусть счет на быть дано .
- Пусть карта на V задается формулой, где является i -м однородным кусочком.
В алгебраической топологии
Одним из важных результатов алгебраической топологии является тот факт, что гомологии над дуальной алгеброй Стинрода образует комодуль. [1] Это происходит из-за того, что алгебра Стинрода канонически действует на когомологии
Когда мы дуализируемся на двойственную алгебру Стинрода, это дает структуру комодуля
Этот результат распространяется и на другие теории когомологий, такие как комплексные кобордизмы, и помогает вычислить его кольцо когомологий.. [2] Основная причина рассмотрения структуры комодулей на гомологиях вместо модульной структуры на гомологиях заключается в том факте, что двойственная алгебра Стинрода является коммутативным кольцом, и набор коммутативной алгебры предоставляет больше инструментов для изучения его структуры.
Рациональный комодуль
Если M является (справа) комодуль над коалгебре С , то М является (слева) модуль над дуальной алгеброй C * , но обратное в общем случае неверно: модуль над C * не обязательно комодуль над C . Рационален комодуль является модулем над C * , который становится комодулем над C в естественном образе.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Люлевичус, Арунас (1968). "Комодули гомологии" (PDF) . Труды Американского математического общества . 134 (2): 375–382. DOI : 10.2307 / 1994750 . ISSN 0002-9947 .
- ^ Мюллер, Майкл. "Вычисление колец кобордизмов" (PDF) . Архивировано 2 января 2021 года (PDF) .
- Гомес-Торресильяс, Хосе (1998), «Коалгебры и комодули над коммутативным кольцом», Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées , 43 : 591–603
- Монтгомери, Сьюзен (1993). Алгебры Хопфа и их действия на кольцах . Серия региональных конференций по математике. 82 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0738-2. Zbl 0793.16029 .
- Свидлер, Мосс (1969), Алгебры Хопфа , Нью-Йорк: В.А.Бенджамин