Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике , в рамках теории категорий , основанной на одной вселенной , [1] [2] термин «конгломерат» применяется к произвольным множествам как противопоставление выделенным множествам, которые являются элементами вселенной Гротендика . [3] [4] [5] [6] [7] [8]

Определение [ править ]

Наиболее популярные аксиоматические теории множеств, теория множеств Цермело – Френкеля (ZFC), теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя (NBG) и теория множеств Морса – Келли (MK), допускают неконсервативные расширения , возникающие после добавления дополнительной аксиомы существования вселенной Гротендика . Примером такого расширения является теория множеств Тарского – Гротендика , в которой постулируется бесконечная иерархия вселенных Гротендика.

Концепция конгломерата была создана для борьбы с «коллекцией» из классов , что является желательным в теории категорий , так что каждый класс можно рассматривать как элемент «более общей коллекцию», конгломерат. Технически это организовано изменениями в терминологии: когда вселенная Гротендика добавляется к выбранной аксиоматической теории множеств ( ZFC / NBG / MK ), это считается удобным [9] [10]

  • применять термин "набор" только к элементам ,
  • применять термин "класс" только к подмножествам ,
  • применять термин «конгломерат» ко всем множествам (не обязательным элементам или подмножествам ).

В результате в этой терминологии каждый набор - это класс, а каждый класс - это конгломерат.

Следствия [ править ]

Формально эта конструкция описывает модель исходной аксиоматической теории множеств ( ZFC / NBG / MK ) в расширении этой теории («ZFC / NBG / MK + вселенная Гротендика ») в качестве вселенной. [1] : 195 [2] : 23

Если исходная аксиоматическая теория множеств допускает идею надлежащего класса (т.е. объекта, который не может быть элементом какого-либо другого объекта, как класс всех множеств в NBG и MK), то эти объекты (соответствующие классы) отбрасываются. из рассмотрения в новой теории («НБГ / МК + вселенная Гротендика»). Однако (не считая возможных проблем, вызванных дополнительной аксиомой существования ) это в некотором смысле не приводит к потере информации об объектах старой теории (NBG или MK), поскольку ее представление в качестве модели в новой теории («Вселенная NBG / MK + Grothendieck») означает, что то, что можно доказать в NBG / MK относительно его обычных объектов, называемых классами (включая собственные классы), может быть доказано также в «вселенной NBG / MK + Grothendieck» относительно его классов (т.о подмножествах, включая подмножества, не являющиеся элементами , являющиеся аналогами собственных классов из NBG / MK). В то же время новая теория не эквивалентна исходной, поскольку некоторые дополнительные утверждения о классах могут быть доказаны в «вселенной NBG / MK + Grothendieck», но не в NBG / MK.

Терминология [ править ]

Изменение терминологии иногда называют «соглашением конгломерата». [7] : 6 Первый шаг, сделанный Мак Лейном, [1] : 195 [2] : 23 - применение термина «класс» только к подмножествам Мак Лейна, не переопределяет существующие теоретико-множественные термины; скорее, он работает в теории множеств без классов (ZFC, а не NBG / MK), называет элементы «малых множеств» и утверждает, что маленькие множества и классы удовлетворяют аксиомам NBG. Ему не нужны «конгломераты», поскольку множества не обязательно должны быть маленькими.

Термин «конгломерат» скрывается в обзорах 1970-х и 1980-х на Mathematical Reviews [11] без определения, объяснения или ссылки, а иногда и в статьях. [12]

Пока действует конвенция о конгломерате, ее следует использовать исключительно во избежание двусмысленности; то есть конгломераты не следует называть «наборами» в обычном смысле ZFC. [7] : 6

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b c Mac Lane, Сондерс (1969). «Единая вселенная как основа теории категорий». Отчеты Семинара категории Среднего Запада III. Конспект лекций по математике, том 106 . Конспект лекций по математике. 106 . Шпрингер, Берлин, Гейдельберг . С. 192–200. DOI : 10.1007 / BFb0059147 . ISBN 978-3-540-04625-7.
  2. ^ a b c Mac Lane, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика . Тексты для выпускников по математике . 5 (Второе изд.). Спрингер, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк . ISBN 978-0-387-90036-0.
  3. ^ Адамек, Иржи; Герлих, Хорст ; Стрекер, Джордж (1990). Абстрактные и конкретные категории: Кошачьи радости (PDF) . Dover Publications. стр. 13, 15, 16, 259. ISBN  978-0-486-46934-8.
  4. ^ Herrlich, Хорст ; Стрекер, Джордж (2007). «Наборы, классы и конгломераты» (PDF) . Теория категорий (3-е изд.). Heldermann Verlag. С. 9–12.
  5. ^ Осборн, М. Скотт (2012-12-06). Базовая гомологическая алгебра . Springer Science & Business Media. С. 151–153. ISBN 9781461212782.
  6. ^ Preuß, Герхард (2012-12-06). Теория топологических структур: подход к категориальной топологии . Springer Science & Business Media. п. 3. ISBN 9789400928596.
  7. ^ a b c Мерфет, Дэниел (5 октября 2006 г.). «Основы теории категорий» (PDF) .
  8. ^ Чжан, Джин (1991). «Система аксиом ACG и доказательство непротиворечивости системы QM и ZF #» . Достижения в китайской компьютерной науке . 3 . С. 153–171. DOI : 10.1142 / 9789812812407_0009 . ISBN 978-981-02-0152-4.
  9. ^ Herrlich, Хорст; Стрекер, Джордж (2007). «Приложение. Основы» (PDF) . Теория категорий (3-е изд.). Heldermann Verlag. С. 328–3300.
  10. ^ Нел, Луи (2016-06-03). Теория непрерывности . Springer. п. 31. ISBN 9783319311593.
  11. ^ Обзоры 48 # 5965 , 56 # 3798 , 82f: 18003 , 83d: 18010 , 84c: 54045 , 87m: 18001
  12. ^ Проверено: 89e: 18002 , 96g: 18002