Критерий согласованности

Система голосования является последовательной, если всякий раз, когда электорат делится (произвольно) на несколько частей и выборы в этих частях приносят одинаковый результат, то выборы всего электората также получают этот результат. Смит ^[1] называет это свойство отделимости и Woodall ^[2] называет его выпуклость .

Было доказано, что рейтинговая система голосования «непротиворечива тогда и только тогда, когда она является функцией подсчета очков» ^[3] , то есть позиционной системой голосования . Граф Борда является примером этого.

Несоблюдение критерия согласованности можно рассматривать как пример парадокса Симпсона .

Как показано ниже в разделе Кемени-Янг , прохождение или невыполнение критерия согласованности может зависеть от того, выбраны ли выборы единственного победителя или полное ранжирование кандидатов (иногда называемое последовательностью ранжирования); Фактически, приведенные ниже конкретные примеры основаны на обнаружении несоответствия единственного победителя путем выбора двух разных рейтингов с одним и тем же общим победителем, что означает, что они не применяются к последовательности ранжирования.

Примеры [ править ]

Коупленд [ править ]

Этот пример показывает, что метод Коупленда нарушает критерий согласованности. Предположим, пять кандидатов A, B, C, D и E с 27 голосующими со следующими предпочтениями:

Теперь совокупность всех проголосовавших разделена жирной линией на две группы. Избиратели за чертой - это первая группа избирателей; остальные - вторая группа избирателей.

Первая группа избирателей [ править ]

Далее определяется победитель Коупленда для первой группы избирателей.

Результаты будут представлены в следующей таблице:

• [X] обозначает избирателей, которые предпочли кандидата, указанного в заголовке столбца, кандидату, указанному в заголовке строки.
• [Y] указывает на избирателей, которые предпочли кандидата, указанного в заголовке строки, кандидату, указанному в заголовке столбца.

Результат : с голосами первой группы избирателей A может победить трех из четырех противников, в то время как ни один другой кандидат не побеждает более чем над двумя противниками. Таким образом, избран победитель Copeland первой группой избирателей.

Вторая группа избирателей [ править ]

Теперь определен победитель Коупленда для второй группы избирателей.

Результаты будут представлены в следующей таблице:

Результат : принимая во внимание только голоса второй группы, опять же, А может победить трех из четырех противников, в то время как ни один другой кандидат не побеждает более чем над двумя противниками. Таким образом, А избирается победителем Коупленда второй группой избирателей.

Все избиратели [ править ]

Наконец, определяется победитель Коупленда по полному набору избирателей.

Результаты будут представлены в следующей таблице:

Результат : C - победитель по Кондорсе, поэтому Коупленд выбирает C в качестве победителя.

Заключение [ править ]

А - победитель Коупленда в первой группе избирателей, а также во второй группе избирателей. Однако обе группы вместе выбирают C победителем Коупленда. Таким образом, Коупленд не соответствует критерию согласованности.

Мгновенное голосование [ править ]

Этот пример показывает, что мгновенное голосование во втором туре нарушает критерий согласованности. Предположим, что три кандидата A, B и C и 23 избирателя со следующими предпочтениями:

Теперь совокупность всех проголосовавших разделена жирной линией на две группы. Избиратели за чертой - это первая группа избирателей; остальные - вторая группа избирателей.

Первая группа избирателей [ править ]

Далее определяется победитель мгновенного второго тура для первой группы избирателей.

У B всего 2 голоса, и он выбывает первым. Его голоса передаются A. Теперь A имеет 6 голосов и побеждает C с 4 голосами.

Результат : A побеждает C после того, как B выбывает.

Вторая группа избирателей [ править ]

Теперь определен победитель мгновенного тура второй группы избирателей.

C имеет наименьшее количество голосов, счетчик 3, и выбывает. A извлекает выгоду из этого, собирая все голоса C. Теперь, имея 7 голосов, A побеждает B с 6 голосами.

Результат : A побеждает B после того, как C выбывает.

Все избиратели [ править ]

Наконец, определяется мгновенный победитель второго тура из полного набора избирателей.

У C наименьшее количество первых предпочтений, поэтому он выбывает первым, его голоса разделяются: 4 передаются B и 3 - A. Таким образом, B побеждает с 12 голосами против 11 голосов A.

Результат : B побеждает A после того, как C выбывает.

Заключение [ править ]

А является победителем во втором туре в первой группе избирателей, а также во второй группе избирателей. Однако обе группы вместе взятые выбирают B как победителя мгновенного второго тура. Таким образом, мгновенное голосование не соответствует критерию согласованности.

Метод Кемени-Янга [ править ]

Этот пример показывает, что метод Кемени – Янга нарушает критерий согласованности. Предположим, что три кандидата A, B и C и 38 избирателей имеют следующие предпочтения:

Теперь совокупность всех проголосовавших разделена жирной линией на две группы. Избиратели за чертой - это первая группа избирателей; остальные - вторая группа избирателей.

Первая группа избирателей [ править ]

Далее определяется победитель Кемены-Янг по первой группе избирателей.

Метод Кемени – Янга упорядочивает счетчики парных сравнений в следующей таблице подсчета:

Рейтинговые баллы всех возможных рейтингов:

Результат : Рейтинг A> B> C имеет наивысший рейтинг. Таким образом, A выигрывает перед B и C.

Вторая группа избирателей [ править ]

Теперь определен победитель Кемены-Янг по второй группе избирателей.

Метод Кемени – Янга упорядочивает счетчики парных сравнений в следующей таблице подсчета:

Рейтинговые баллы всех возможных рейтингов:

Результат : Рейтинг A> C> B имеет наивысший рейтинг. Следовательно, A выигрывает перед C и B.

Все избиратели [ править ]

Наконец, определяется победитель по полному списку избирателей Кемени-Янг.

Метод Кемени – Янга упорядочивает счетчики парных сравнений в следующей таблице подсчета:

Рейтинговые баллы всех возможных рейтингов:

Результат : Рейтинг B> A> C имеет наивысший рейтинг. Итак, B выигрывает перед A и C.

Заключение [ править ]

А - победитель Кемени-Янг в первой группе избирателей, а также во второй группе избирателей. Однако обе группы вместе выбирают В победителем Кемени-Янга. Таким образом, метод Кемени – Янга не соответствует критерию согласованности.

Последовательность ранжирования [ править ]

Метод Кемени-Янга удовлетворяет согласованности ранжирования; то есть, если электорат произвольно делится на две части и отдельные выборы в каждой части приводят к выбору одного и того же рейтинга, выборы всего электората также выбирают этот рейтинг.

Неофициальное доказательство [ править ]

Рейтинг Кемени-Янга рассчитывается путем суммирования количества парных сравнений в каждом бюллетене, которые соответствуют рейтингу . Таким образом, оценку Кемени-Янга для электората можно вычислить, разделив электорат на непересекающиеся подмножества (с ), вычислив оценки Кемени-Янга для этих подмножеств и сложив их:${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle s_{V}({\mathcal {R}})}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V=V_{1}\cup V_{2}}$${\displaystyle V_{1}\cap V_{2}=\emptyset }$

${\displaystyle {\text{(I)}}\quad s_{V}({\mathcal {R}})=s_{V_{1}}({\mathcal {R}})+s_{V_{2}}({\mathcal {R}})}$.

Теперь рассмотрим выборы с участием электората . Предпосылка критерия согласованности состоит в том, чтобы произвольно разделить электорат на две части , и в каждой части выбирается один и тот же рейтинг . Это означает, что рейтинг Кемени-Янга по каждому электорату больше, чем по любому другому рейтингу :${\displaystyle V}$${\displaystyle V=V_{1}\cup V_{2}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{(II)}}\quad \forall {\mathcal {R}}':{}&s_{V_{1}}({\mathcal {R}})>s_{V_{1}}({\mathcal {R}}')\\{\text{(III)}}\quad \forall {\mathcal {R}}':{}&s_{V_{2}}({\mathcal {R}})>s_{V_{2}}({\mathcal {R}}')\end{aligned}}}$

Теперь необходимо показать, что оценка Кемени-Янга рейтинга среди всего электората больше, чем оценка Кемени-Янга любого другого рейтинга :${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$

${\displaystyle s_{V}({\mathcal {R}})\ {\stackrel {(I)}{=}}\ s_{V_{1}}({\mathcal {R}})+s_{V_{2}}({\mathcal {R}})\ {\stackrel {(II)}{>}}\ s_{V_{1}}({\mathcal {R}}')+s_{V_{2}}({\mathcal {R}})\ {\stackrel {(III)}{>}}\ s_{V_{1}}({\mathcal {R}}')+s_{V_{2}}({\mathcal {R}}')\ {\stackrel {(I)}{=}}\ s_{V}({\mathcal {R}}')\quad q.e.d.}$

Таким образом, метод Кемени-Янга согласован по отношению к полному ранжированию.

Решение большинства [ править ]

Этот пример показывает, что решение большинства нарушает критерий согласованности. Предположим, что два кандидата A и B и 10 голосующих имеют следующие рейтинги:

Теперь совокупность всех проголосовавших разделена жирной линией на две группы. Избиратели за чертой - это первая группа избирателей; остальные - вторая группа избирателей.

Первая группа избирателей [ править ]

Далее определяется победитель голосования большинством голосов для первой группы избирателей.

Отсортированные рейтинги будут следующими:

Результат : с голосами первой группы избирателей, А имеет средний рейтинг «Отлично», а В - средний рейтинг «Удовлетворительно». Таким образом, избираются победитель большинства решения по первой группе избирателей.

Вторая группа избирателей [ править ]

Теперь определен победитель большинства голосов для второй группы избирателей.

Отсортированные рейтинги будут следующими:

Результат : Принимая во внимание только голоса второй группы, A имеет средний рейтинг «Удовлетворительно», а B - средний рейтинг «Плохо». Таким образом, избираются победитель большинства решения по второй группе избирателей.

Все избиратели [ править ]

Наконец, определяется победитель, получивший решение большинством голосов из полного набора избирателей.

Отсортированные рейтинги будут следующими:

Средние оценки для A и B являются «удовлетворительными». Поскольку существует равенство, "удовлетворительные" рейтинги удаляются из обоих, пока их медианы не станут разными. После удаления 20% оценок "Удовлетворительно" из голосов каждого, теперь отсортированные оценки выглядят следующим образом:

Результат : теперь средний рейтинг A - «плохо», а средний рейтинг B - «удовлетворительный». Таким образом, B избирается победителем по решению большинства.

Заключение [ править ]

А является победителем большинства в первой группе избирателей, а также во второй группе избирателей. Тем не менее, обе группы вместе выбирают B в качестве победителя Решения большинства. Таким образом, решение большинства не соответствует критерию согласованности.

Минимакс [ править ]

Этот пример показывает, что метод минимакса нарушает критерий согласованности. Предположим, четыре кандидата A, B, C и D с 43 избирателями со следующими предпочтениями:

Поскольку все предпочтения представляют собой строгое ранжирование (равных нет), все три метода минимакса (выигрыш голосов, маржа и попарно противоположные) выбирают одних и тех же победителей.

Теперь совокупность всех проголосовавших разделена жирной линией на две группы. Избиратели за чертой - это первая группа избирателей; остальные - вторая группа избирателей.

Первая группа избирателей [ править ]

Далее определяется минимаксный победитель для первой группы избирателей.

Результаты будут представлены в следующей таблице:

• [X] обозначает избирателей, которые предпочли кандидата, указанного в заголовке столбца, кандидату, указанному в заголовке строки.
• [Y] указывает на избирателей, которые предпочли кандидата, указанного в заголовке строки, кандидату, указанному в заголовке столбца.

Результат : кандидаты B, C и D образуют цикл с явными поражениями. А извлекает выгоду из этого, поскольку он относительно близко проигрывает всем трем, и поэтому наибольшее поражение А является ближайшим из всех кандидатов. Таким образом, избираются минимаксным победитель первой группой избирателей.

Вторая группа избирателей [ править ]

Теперь определен минимаксный победитель для второй группы избирателей.

Результаты будут представлены в следующей таблице:

Результат : принимая во внимание только голоса второй группы, опять же, B, C и D образуют цикл с явными поражениями, и A извлекает выгоду из этого из-за его относительно близких проигрышей против всех трех, и поэтому наибольшее поражение A является самым близким из всех кандидаты. Таким образом, избираются минимаксным победитель второй группы избирателей.

Все избиратели [ править ]

Наконец, определяется минимаксный победитель полного набора голосующих.

Результаты будут представлены в следующей таблице:

Результат : снова B, C и D образуют цикл. Но теперь их взаимные поражения очень близки. Таким образом, поражения, которым страдает А. от всех трех, относительно очевидны. Имея небольшое преимущество перед B и D, C выбирается победителем минимакса.

Заключение [ править ]

A - победитель минимакса в первой группе избирателей, а также во второй группе избирателей. Однако обе группы вместе выбирают C победителем Minimax. Таким образом, Minimax не соответствует критерию согласованности.

Ранговые пары [ править ]

Этот пример показывает, что метод ранжированных пар нарушает критерий согласованности. Предположим, что три кандидата A, B и C с 39 избирателями со следующими предпочтениями:

Теперь совокупность всех проголосовавших разделена жирной линией на две группы. Избиратели за чертой - это первая группа избирателей; остальные - вторая группа избирателей.

Первая группа избирателей [ править ]

Далее определяется победитель рейтинговых пар для первой группы избирателей.

Результаты будут представлены в следующей таблице:

• [X] обозначает избирателей, которые предпочли кандидата, указанного в заголовке столбца, кандидату, указанному в заголовке строки.
• [Y] указывает на избирателей, которые предпочли кандидата, указанного в заголовке строки, кандидату, указанному в заголовке столбца.

Отсортированный список побед будет:

Результат : B> C и A> B заблокированы первыми (и C> A не может быть заблокировано после этого), поэтому полный рейтинг будет A> B> C. Таким образом, A выбирается победителем ранжированной пары первым группа избирателей.

Вторая группа избирателей [ править ]

Теперь определен победитель рейтинговых пар для второй группы избирателей.

Результаты будут представлены в следующей таблице:

Отсортированный список побед будет:

Результат : Принимая только голоса второй группы в учетной записи, A> C и C> B заблокированы в первую очередь (и B> A не может быть заблокирован после этого), поэтому полный рейтинг будет A> C> B. Таким образом, избирается победитель ранговых пар второй группой избирателей.

Все избиратели [ править ]

Наконец, определяется победитель рейтинговых пар из полного набора голосующих.

Результаты будут представлены в следующей таблице:

Отсортированный список побед будет:

Результат : Теперь все три пары (A> C, B> C и B> A) могут быть заблокированы без цикла. Полный рейтинг B> A> C. Таким образом, ранжированные пары выбирают B в качестве победителя, который является победителем по Кондорсе, из-за отсутствия цикла.

Заключение [ править ]

A - победитель рейтинговых пар в первой группе избирателей, а также во второй группе избирателей. Однако обе группы вместе выбирают B победителем рейтинговых пар. Таким образом, метод ранжированных пар не соответствует критерию согласованности.

Метод Шульце [ править ]

Этот пример показывает, что метод Шульце нарушает критерий согласованности. Опять же, предположим, что три кандидата A, B и C с 39 избирателями со следующими предпочтениями:

Теперь совокупность всех проголосовавших разделена жирной линией на две группы. Избиратели за чертой - это первая группа избирателей; остальные - вторая группа избирателей.

Первая группа избирателей [ править ]

Далее определяется победитель Шульце для первой группы избирателей.

Попарные предпочтения будут представлены в следующей таблице:

Теперь должны быть идентифицированы самые сильные пути, например, путь A> B> C сильнее, чем прямой путь A> C (который аннулируется, так как это потеря для A).

Результат : преобладают A> B, A> C и B> C, поэтому полный рейтинг A> B> C. Таким образом, первая группа избирателей избирает A победителем по Шульце.

Вторая группа избирателей [ править ]

Теперь определен победитель Шульце для второй группы избирателей.

Попарные предпочтения будут представлены в следующей таблице:

Теперь нужно определить самые сильные пути, например, путь A> C> B сильнее прямого пути A> B.

Результат : преобладают A> B, A> C и C> B, поэтому полный рейтинг A> C> B. Таким образом, вторая группа избирателей избирает A победителем по Шульце.

Все избиратели [ править ]

Наконец, определяется победитель Шульце из полного набора избирателей.

Попарные предпочтения будут представлены в следующей таблице:

Теперь нужно определить самые сильные пути:

Результат : преобладают A> C, B> A и B> C, поэтому полный рейтинг B> A> C. Таким образом, Шульце выбирает B в качестве победителя. Фактически, B также является победителем по Кондорсе.

Заключение [ править ]

A - победитель Шульце в первой группе избирателей, а также во второй группе избирателей. Однако обе группы вместе выбирают B победителем по Шульце. Таким образом, метод Шульце не соответствует критерию согласованности.

Ссылки [ править ]

1. ^ Джон Х. Смит, "Агрегация предпочтений с переменным электоратом",Econometrica, Vol. 41 (1973), стр. 1027–1041.
2. ^ DR Woodall, "Свойства правил преференциальных выборов",Вопросы голосования, Выпуск 3 (декабрь 1994 г.), стр. 8–15.
3. ^ HP Янг, «Функции оценки социального выбора»,SIAM Journal on Applied MathematicsVol. 28, № 4 (1975), стр. 824–838.