Контактный процесс (математика)

Процесс контакта (на одномерной решетке): активные сайты обозначены серыми кружками, а неактивные - пунктирными кружками. Активные сайты могут активировать неактивные сайты по обе стороны от них со скоростью r / 2 или становиться неактивными со скоростью 1.

Контактный процесс представляет собой случайный процесс используется для роста населения модели на множестве сайтов одного графа , в котором занимаемых сайты становятся вакантными на постоянная скорости, в то время как свободные участки становятся заняты со скоростью , пропорциональной количеству занятых соседних участков. Следовательно, если мы обозначим через константу пропорциональности, каждый сайт остается занятым в течение случайного периода времени, который является экспоненциально распределенным параметром 1 и помещает потомков на каждый свободный соседний сайт во время событий параметра процесса Пуассона в течение этого периода. Все процессы независимы${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda}$друг друга и случайный период времени, когда сайты остаются занятыми. Процесс контакта также можно интерпретировать как модель распространения инфекции, рассматривая частицы как бактерии, распространяющиеся по людям, которые расположены на участках , занятые участки соответствуют инфицированным индивидуумам, тогда как незанятые участки соответствуют здоровым. ${\ displaystyle S}$

Основная интересная величина - это количество частиц в процессе, скажем , в первой интерпретации, что соответствует количеству зараженных сайтов во второй. Следовательно, процесс продолжается, когда число частиц всегда положительно, что соответствует случаю, когда во втором случае всегда есть инфицированные особи. Для любого бесконечного графа существует положительное и конечное критическое значение, так что если тогда выживание процесса, начинающегося с конечного числа частиц, происходит с положительной вероятностью, а если, то их исчезновение почти наверняка. Обратите внимание, что по reductio ad absurdum и теореме о бесконечной обезьяне${\ displaystyle N_ {t}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ lambda _ {c}}$${\displaystyle \lambda >\lambda _{c}}$${\displaystyle \lambda <\lambda _{c}}$, выживание процесса эквивалентно as , тогда как вымирание эквивалентно as , и поэтому естественно спросить, с какой скоростью выживает процесс. ${\displaystyle N_{t}\to \infty }$${\displaystyle t\to \infty }$${\displaystyle N_{t}\to 0}$${\displaystyle t\to \infty }$${\displaystyle N_{t}\to \infty }$

Математическое определение [ править ]

Если состояние процесса в момент времени равно , то узел в занят, скажем, частицей, если и свободен, если . Контактный процесс - это марковский процесс с непрерывным временем и пространством состояний , где обычно есть конечный или счетный граф , а также частный случай системы взаимодействующих частиц . В частности, динамика основного процесса контакта определяется следующими скоростями перехода: на месте ,${\displaystyle t}$${\displaystyle \xi _{t}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \xi _{t}(x)=1}$${\displaystyle \xi _{t}(x)=0}$${\displaystyle \{0,1\}^{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle 1\rightarrow 0\quad {\text{at rate }}1,}$

${\displaystyle 0\rightarrow 1\quad {\text{at rate }}\lambda \sum _{y\,:\,y\,\sim \,x}\xi _{t}(y),}$

где сумма берется по всем соседям из в . Это означает, что каждый сайт ожидает экспоненциальное время с соответствующей скоростью, а затем переворачивается (таким образом, 0 становится 1 и наоборот).${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$

Связь с перколяцией [ править ]

Контактный процесс - это случайный процесс, который тесно связан с теорией перколяции . Тед Харрис (1974) отметил, что контактный процесс на ℤ ^d, когда заражение и выздоровление могут происходить только в дискретные моменты времени, соответствует поэтапной перколяции связей на графе, полученном путем ориентации каждого края ℤ ^{d + 1} в направление увеличения значения координаты.${\displaystyle \{1,2,\ldots ,\}}$

Закон больших чисел на целые числа [ править ]

Закон больших чисел для числа частиц в процессе целых чисел неофициально означает, что для всех больших , приблизительно равно для некоторой положительной константы . Тед Харрис (1974) доказал, что, если процесс выживает, то скорость роста не более чем линейна во времени и по крайней мере линейна. Слабый закон больших чисел (что процесс сходится по вероятности ) был показан Дарретом (1980). Несколькими годами позже Дарретт и Гриффит (1983) улучшили это до строгого закона больших чисел, давая почти надежную сходимость процесса. ${\displaystyle t}$${\displaystyle N_{t}}$${\displaystyle ct}$${\displaystyle c=c(\lambda )}$${\displaystyle N_{t}}$

Вымирают при критичности [ править ]

Для процесса контакта на всех целочисленных решетках главный прорыв ^{[ необходима цитата ]} произошел в 1990 году, когда Безейденхаут и Гримметт показали, что процесс контакта также почти наверняка прекращается при критическом значении. ^{[ необходима цитата ]}

Гипотеза Дарретта и центральная предельная теорема [ править ]

В обзорных статьях и конспектах лекций Дарретт высказывал предположения относительно центральной предельной теоремы для контактного процесса Харриса , а именно. что, если процесс выживает, то для всех больших , равно, а ошибка равна умноженной на (случайную) ошибку, распределенную в соответствии со стандартным распределением Гаусса . ^{[1] [2] [3]}${\displaystyle t}$${\displaystyle N_{t}}$${\displaystyle ct}$${\displaystyle \sigma {\sqrt {t}}}$

Durrett в догадка оказалась правильной для другого значения , как доказано в 2018. ^[4]${\displaystyle \sigma }$

Ссылки [ править ]

• C. Bezuidenhout и GR Grimmett , Критический контактный процесс вымирает , Ann. Вероятно. 18 (1990), 1462–1482.
• Дарретт, Ричард (1980). «О росте одномерных контактных процессов» . Летопись вероятности . 8 (5): 890–907. DOI : 10.1214 / AOP / 1176994619 .
• Дарретт, Ричард (1988). «Конспект лекций по системам частиц и перколяции», Уодсворт.
• Дарретт, Ричард (1991). «Контактный процесс, 1974–1989». Корнельский университет, Институт математических наук.
• Дарретт, Ричард (1984). «Ориентированная перколяция в двухмерном числе» . Летопись вероятности . 12 (4): 999–1040. DOI : 10.1214 / AOP / 1176993140 .

• Дарретт, Ричард ; Дэвид Гриффит (1983). «Сверхкритические контактные процессы на Z» . Летопись вероятности . 11 (1): 1–15. DOI : 10.1214 / AOP / 1176993655 .
• Гриммет, Джеффри (1999), Percolation , Springer

• Лиггетт, Томас М. (1985). Системы взаимодействующих частиц . Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-96069-2.
• Томас М. Лиггетт , "Стохастические взаимодействующие системы: контакт, избиратель и процессы исключения", Springer-Verlag, 1999.