Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Сетевая наука
Internet_map_1024.jpg
Теория
Типы сетей
Графики
Функции
Типы
  • Двудольный
  • Полный
  • Режиссер
  • Гипер
  • Мульти
  • Случайный
  • Взвешенный
МетрикиАлгоритмы
  • Центральность
  • Степень
  • Мотив
  • Кластеризация
  • Распределение степеней
  • Ассортативность
  • Расстояние
  • Модульность
  • Эффективность
Модели
Топология
  • Случайный график
  • Эрдеш – Реньи
  • Барабаши – Альберт
  • Фитнес-модель
  • Уоттс-Строгац
  • Экспоненциальный случайный (ERGM)
  • Случайный геометрический (RGG)
  • Гиперболический (HGN)
  • Иерархический
  • Стохастический блок
  • Максимальная энтропия
  • Мягкая конфигурация
  • Тест LFR
Динамика
  • Логическая сеть
  • агент на основе
  • Эпидемия / SIR
СпискиКатегории
  • Темы
  • Программного обеспечения
  • Сетевые ученые
  • Категория: Теория сетей
  • Категория: Теория графов
  • v
  • т
  • е

В статистической физике и математике , теории перколяции описывает поведение сети , когда узлы или ссылки удаляются. Это геометрический тип фазового перехода, поскольку при удалении критической доли сеть распадается на более мелкие связанные кластеры. Приложения теории перколяции к материаловедению и во многих других дисциплинах обсуждаются здесь и в статьях по теории сетей и перколяции .

Введение [ править ]

Трехмерный граф перколяции сайтов
Просачивание связи в квадратной решетке от p = 0,3 до p = 0,52

Теория Флори – Стокмайера была первой теорией, исследующей процессы протекания. [1]

Типичный вопрос (и источник названия) заключается в следующем. Предположим, что на какой-то пористый материал налита жидкость . Сможет ли жидкость пройти от отверстия к отверстию и достигнуть дна? Этот физический вопрос моделируется математически как трехмерная сеть из n × n × n вершин , обычно называемых «узлами», в которых ребро или «связи» между каждыми двумя соседями могут быть открытыми (пропуская жидкость) с вероятностью p. , или замкнутые с вероятностью 1 - p , и они считаются независимыми. Следовательно, для данногоp , какова вероятность того, что открытый путь (то есть путь, каждая из ссылок которого является «открытой» связью) существует сверху вниз? Наибольшийинтерес представляетповедение при больших  n . Эта проблема, называемая теперь перколяцией связей , была представлена ​​в математической литературе Бродбентом и Хаммерсли (1957) , [2] и с тех пор интенсивно изучалась математиками и физиками.

В несколько иной математической модели для получения случайного графа сайт «занят» с вероятностью p или «пуст» (в этом случае его ребра удаляются) с вероятностью 1 - p ; соответствующая проблема называется перколяцией сайтов . Вопрос тот же: для данного p , какова вероятность того, что путь существует между верхом и низом? Точно так же можно спросить, учитывая связный граф, при какой доле отказов 1 - p граф станет отключенным (без большой компоненты).

Определение просачивания в сети трехмерных трубок

Те же вопросы можно задать для любой размерности решетки. Как это часто бывает, исследовать бесконечные сети легче, чем просто большие. В этом случае возникает соответствующий вопрос: существует ли бесконечный рассеянный кластер? То есть существует ли путь из соединенных точек бесконечной длины «сквозь» сеть? По закону нуля или единицы Колмогорова для любого заданного p вероятность существования бесконечного кластера равна нулю или единице. Поскольку эта вероятность является возрастающей функцией p (доказательство с помощью аргумента связи ), должен быть критический p (обозначенный  p c), ниже которого вероятность всегда равна 0, а выше которого вероятность всегда равна 1. На практике эту критичность очень легко заметить. Даже для такого маленького n, как 100, вероятность открытого пути сверху вниз резко возрастает от очень близкого к нулю до очень близкого к единице в коротком интервале значений  p .

Деталь перколяции связи на квадратной решетке в двух измерениях с вероятностью перколяции p = 0,51

Для большинства графов с бесконечной решеткой p c не может быть вычислено точно, хотя в некоторых случаях p c есть точное значение. Например:

  • для квадратной решетки ℤ 2 в двух измерениях p c =1/2Что касается просачивания облигаций, этот факт оставался открытым более 20 лет и был окончательно разрешен Гарри Кестеном в начале 1980-х [3], см. Kesten (1982) . Для перколяции узлов значение p c неизвестно из аналитического вывода, а только путем моделирования больших решеток. [4]  
  • Предельным случаем для решеток больших размеров является решетка Бете , порог которой находится при p c =1/г - 1для координационного числа  z . Другими словами: для регулярного дерева степени , равно .
  • Для случайных сетей Эрдеша-Реньи средней степени , р с =1/⟨K⟩. [5] [6] [7]

Универсальность [ править ]

Принцип универсальности утверждает, что численное значение p c определяется локальной структурой графа, тогда как поведение вблизи критического порога p c характеризуется универсальными критическими показателями . Например, распределение размеров кластеров при критичности затухает по степенному закону с одинаковым показателем степени для всех 2d-решеток. Эта универсальность означает, что для данной размерности, различных критических показателей фрактальная размерность кластеров в точке p c не зависит от типа решетки и типа перколяции (например, связи или узла). Однако недавно перколяция была проведена навзвешенная плоская стохастическая решетка (WPSL) и обнаружила, что, хотя размерность WPSL совпадает с размерностью пространства, в которое она встроена, ее класс универсальности отличается от класса универсальности всех известных плоских решеток. [8] [9]

Фазы [ править ]

Докритические и сверхкритические [ править ]

Главный факт в докритической фазе - «экспоненциальный спад». То есть, когда p < p c , вероятность того, что определенная точка (например, начало координат) содержится в открытом кластере (что означает максимальное связное множество «открытых» ребер графа) размера r, экспоненциально спадает до нуля. в  т . Это было доказано для просачивания в трех и более измерениях Меншиковым (1986) и независимо Айзенманом и Барским (1987) . В двух измерениях это было частью доказательства Кестена, что p c =1/2. [10]

Двойственный граф квадратной решетки ℤ 2 также квадратная решетка. Отсюда следует, что в двух измерениях сверхкритическая фаза двойственна докритическому процессу перколяции. Это дает практически полную информацию о сверхкритической модели с d = 2 . Главный результат для сверхкритической фазы в трех и более измерениях состоит в том, что для достаточно большого  N существует [ требуется пояснение ] бесконечный открытый кластер в двумерном слое ℤ 2 × [0, N ] d - 2 . Это было доказано Гримметом и Марстрандом (1990) . [11]

В двух измерениях с p <1/2, с вероятностью единица существует единственный бесконечный замкнутый кластер (замкнутый кластер - это максимальное связное множество «замкнутых» ребер графа). Таким образом, докритическую фазу можно описать как конечные открытые острова в бесконечном замкнутом океане. Когда p >1/2происходит прямо противоположное - с конечными замкнутыми островами в бесконечном открытом океане. Картина более сложная, когда d ≥ 3, так как p c <1/2, и существует сосуществование бесконечных открытых и замкнутых кластеров для p между p c и  1 - p c . О характере фазового перехода перколяции см. Штауфер и Ахарони [12]  и Бунде и Хэвлин [13]  . По поводу перколяции сетей см. Cohen and Havlin. [14]

Критичность [ править ]

Увеличьте критический кластер перколяции (щелкните для анимации)

Перколяция имеет особенность в критической точке p = p c, и многие свойства ведут себя по степенному закону с , около . Теория скейлинга предсказывает существование критических показателей , зависящих от числа измерений d , которые определяют класс особенности. Когда d = 2, эти предсказания подкрепляются аргументами конформной теории поля и эволюции Шрамма – Лёвнера и включают предсказанные числовые значения для показателей. Значения показателей приведены в [12] и. [13]Большинство из этих предсказаний предположительные за исключением того, когда число д размерности удовлетворяют либо D = 2 или D ≥ 6 . Они включают:

  • Нет бесконечных кластеров (открытых или закрытых)
  • Вероятность того, что существует открытый путь от некоторой фиксированной точки (скажем, начала координат) до расстояния r, уменьшается полиномиально , то есть порядка r α для некоторого  α
    • α не зависит от конкретной выбранной решетки или других локальных параметров. Это зависит только от размерности d (это примерпринципа универсальности ).
    • α d уменьшается от d = 2 до d = 6, а затем остается неизменным.
    • α 2 = -5/48
    • α 6 = -1 .
  • Форма большого кластера в двух измерениях конформно инвариантна .

См. Grimmett (1999) . [15] В 11 или более измерениях эти факты в значительной степени подтверждаются с помощью техники, известной как расширение кружева . Считается, что вариант расширения шнурка должен быть действителен для 7 или более измерений, возможно, с последствиями также для порогового случая 6 измерений. Связь перколяции с расширением кружева обнаружена у Hara & Slade (1990) . [16]

В двух измерениях первый факт («отсутствие перколяции в критической фазе») доказывается для многих решеток с использованием двойственности. Существенный прогресс был достигнут в двумерной перколяции благодаря гипотезе Одеда Шрамма о том, что предел масштабирования большого кластера может быть описан в терминах эволюции Шрамма – Лёвнера . Эта гипотеза была доказана Смирновым (2001) [17] в частном случае перколяции узлов на треугольной решетке.

Разные модели [ править ]

  • Направленная перколяция, которая моделирует эффект гравитационных сил, действующих на жидкость, также была введена в работах Бродбента и Хаммерсли (1957) , [2] и связана с процессом контакта .
  • Первой изученной моделью была перколяция Бернулли. В этой модели все связи независимы. Эта модель физики называется перколяцией связей.
  • Затем было введено обобщение - модель случайного кластера Фортуина – Кастелейна , которая имеет много связей с моделью Изинга и другими моделями Поттса .
  • Перколяция Бернулли (облигации) на полных графах является примером случайного графа . Критическая вероятность  p =1/N, где N - количество вершин (узлов) графа.
  • Перколяция начальной загрузки удаляет активные ячейки из кластеров, когда у них слишком мало активных соседей, и проверяет возможность соединения оставшихся ячеек. [18]
  • Перколяция первого прохода .
  • Проникновение вторжения .
  • Перколяция со ссылками на зависимости была введена Паршани и др. [19]
  • Модель просачивания и распространения мнений. [20]
  • Перколяция при локализованной атаке была введена Березиным и соавт. [21] См. Также Shao et al. [22]
  • Перколяция модульных сетей была изучена Shay et al. [23] и Донг и др. [24]
  • Перколяция трафика в городах была введена Daqing Li et al. [25]
  • Представляем восстановление узлов и ссылок в перколяции. [26]
  • Перколяция в 2d с характерной длиной звена. [27] Эта перколяция показывает новое явление явления критического растяжения вблизи критической перколяции. [28] 
  • Обобщенная и децентрализованная модель перколяции, которая вводит часть усиленных узлов в сети, которые могут функционировать и поддерживать свое окружение, была представлена ​​Yanqing Hu et al. [29]

Приложения [ править ]

В биологии, биохимии и физической вирусологии [ править ]

Теория перколяции была использована для успешного прогнозирования фрагментации оболочек биологических вирусов (капсидов) [30], при этом порог фрагментации капсида вируса гепатита B был предсказан и обнаружен экспериментально. [31] Когда критическое количество субъединиц было случайным образом удалено из наноскопической оболочки, она фрагментируется, и эта фрагментация может быть обнаружена с помощью масс-спектроскопии с обнаружением заряда (CDMS) среди других методов одночастичных. Это молекулярный аналог обычной настольной игры Jenga , имеющий отношение к разборке вирусов.

В экологии [ править ]

Теория перколяции применялась к исследованиям того, как фрагментация окружающей среды влияет на среду обитания животных [32], и к моделям распространения бактерии чумы Yersinia pestis . [33]

Проникновение многослойных взаимозависимых сетей [ править ]

Булдырев и др. [34] разработали структуру для изучения перколяции в многослойных сетях с зависимыми связями между уровнями. Обнаружены новые физические явления, в том числе резкие переходы и каскадные отказы. [35] Когда сети встроены в пространство, они становятся чрезвычайно уязвимыми даже для очень небольшой части зависимых ссылок [36] и для локализованных атак на нулевую часть узлов. [37] [38] Когда вводится восстановление узлов, обнаруживается богатая фазовая диаграмма, которая включает многокритические точки, гистерезис и метастабильные режимы. [39] [40]

В пробке [ править ]

В недавних статьях теория перколяции применялась для изучения дорожного движения в городе. Качество глобального трафика в городе в данный момент времени можно охарактеризовать одним параметром - критическим порогом перколяции. Критический порог представляет собой скорость, ниже которой можно проехать значительную часть городской сети. Выше этого порога городская сеть разбивается на кластеры многих размеров, и можно перемещаться по относительно небольшим районам. Этот новый метод также может определять узкие места повторяющегося трафика. [41] Критические показатели, характеризующие распределение хорошего трафика по размеру кластера, аналогичны показателям теории перколяции. [42]Также обнаружено, что в часы пик транспортная сеть может иметь несколько метастабильных состояний разных размеров сети и чередоваться между этими состояниями. [43] Эмпирическое исследование пространственно-временного распределения размеров пробок было выполнено Zhang et al. [44] Они нашли примерный универсальный степенной закон распределения размеров пробок в разных городах. Серок и др. Разработали метод определения функциональных кластеров пространственно-временных улиц, которые представляют свободный транспортный поток в городе. [45]

См. Также [ править ]

  • Теория перколяции континуума
  • Критический показатель
  • Направленная перколяция  - физические модели фильтрации под действием таких сил, как гравитация.
  • Модель Эрдеша – Реньи  - две тесно связанные модели для генерации случайных графов.
  • Фрактал  - Самоподобные математические структуры
  • Гигантский компонент
  • Теория графов  - Область дискретной математики
  • Взаимозависимые сети  - Подполя сетевой науки
  • Проникновение вторжения
  • Теория сетей  - Изучение графов как представления отношений между дискретными объектами.
  • Сетевая наука
  • Percolation threshold  - Порог моделей теории перколяции
  • Критические показатели перколяции  - математический параметр в теории перколяции
  • Безмасштабная сеть  - Сеть, распределение степеней которой подчиняется степенному закону.
  • Задача кратчайшего пути  - вычислительная задача теории графов

Ссылки [ править ]

  1. ^ Sahini, M .; Сахими, М. (13 июля 2003 г.). Приложения теории перколяции . CRC Press. ISBN 978-0-203-22153-2.
  2. ^ a b Бродбент, Саймон; Хаммерсли, Джон (1957). «Перколяционные процессы I. Кристаллы и лабиринты». Математические труды Кембриджского философского общества . 53 (3): 629–641. Bibcode : 1957PCPS ... 53..629B . DOI : 10.1017 / S0305004100032680 . ISSN 0305-0041 . 
  3. ^ Bollobás, Бел; Риордан, Оливер (2006). «Острые пороги и просачивание в самолет». Случайные структуры и алгоритмы . 29 (4): 524–548. arXiv : математика / 0412510 . DOI : 10.1002 / rsa.20134 . ISSN 1042-9832 . S2CID 7342807 .  
  4. ^ MEJ Newman; Р. М. Зифф (2000). «Эффективный алгоритм Монте-Карло и высокоточные результаты перколяции». Письма с физическим обзором . 85 (19): 4104–4107. arXiv : конд-мат / 0005264 . Bibcode : 2000PhRvL..85.4104N . DOI : 10.1103 / physrevlett.85.4104 . PMID 11056635 . S2CID 747665 .  
  5. Перейти ↑ Erdős, P. & Rényi, A. (1959). «О случайных графах И.». Publ. Математика. (6): 290–297.
  6. Перейти ↑ Erdős, P. & Rényi, A. (1960). «Эволюция случайных графов». Publ. Математика. Inst. Подвешенный. Акад. Sci. (5): 17–61.
  7. ^ Bolloba, в Б. (1985). «Случайные графы». Академический .
  8. ^ Хасан, МК; Рахман, ММ (2015). «Перколяция на мультифрактальной безмасштабной плоской стохастической решетке и ее класс универсальности». Phys. Rev. E . 92 (4): 040101. arXiv : 1504.06389 . Bibcode : 2015PhRvE..92d0101H . DOI : 10.1103 / PhysRevE.92.040101 . PMID 26565145 . S2CID 119112286 .  
  9. ^ Хасан, МК; Рахман, ММ (2016). «Класс универсальности перколяции узлов и связей на мультифрактальной безмасштабной плоской стохастической решетке». Phys. Rev. E . 94 (4): 042109. arXiv : 1604.08699 . Bibcode : 2016PhRvE..94d2109H . DOI : 10.1103 / PhysRevE.94.042109 . PMID 27841467 . S2CID 22593028 .  
  10. ^ Кестен, Гарри (1982). Теория перколяции для математиков . Бирхаузер. DOI : 10.1007 / 978-1-4899-2730-9 . ISBN 978-0-8176-3107-9.
  11. ^ Гриммет, Джеффри ; Марстранд, Джон (1990). «Надкритическая фаза просачивания проходит хорошо». Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки . 430 (1879): 439–457. Bibcode : 1990RSPSA.430..439G . DOI : 10,1098 / rspa.1990.0100 . ISSN 1364-5021 . S2CID 122534964 .  
  12. ^ a b Штауфер, Дитрих; Ахарони, Энтони (1994). Введение в теорию перколяции (2-е изд.). CRC Press. ISBN 978-0-7484-0253-3.
  13. ^ a b Bunde, A. & Havlin, S. (1996). Фракталы и неупорядоченные системы . Springer.
  14. ^ Коэн, Р. & Хавлин, S. (2010). Сложные сети: структура, надежность и функции . Издательство Кембриджского университета.
  15. ^ Гриммет, Джеффри (1999). Перколяция . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 321 . Берлин: Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-662-03981-6 . ISBN 978-3-642-08442-3. ISSN  0072-7830 .
  16. ^ Хара, Такаши; Слэйд, Гордон (1990). «Критическое поведение среднего поля для перколяции в больших размерностях». Сообщения по математической физике . 128 (2): 333–391. Bibcode : 1990CMaPh.128..333H . DOI : 10.1007 / BF02108785 . ISSN 0010-3616 . S2CID 119875060 .  
  17. ^ Смирнов, Станислав (2001). «Критическая перколяция на плоскости: конформная инвариантность, формула Карди, пределы масштабирования». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . I. 333 (3): 239–244. arXiv : 0909.4499 . Bibcode : 2001CRASM.333..239S . CiteSeerX 10.1.1.246.2739 . DOI : 10.1016 / S0764-4442 (01) 01991-7 . ISSN 0764-4442 .  
  18. ^ Адлер, Джоан (1991), «Перколяция начальной загрузки», Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications , 171 (3): 453–470, Bibcode : 1991PhyA..171..453A , doi : 10.1016 / 0378-4371 (91 ) 90295-н.
  19. ^ Parshani, R .; Булдырев С.В.; Хавлин, С. (2010). «Критическое влияние групп зависимостей на функции сетей» . Труды Национальной академии наук . 108 (3): 1007–1010. arXiv : 1010,4498 . Bibcode : 2011PNAS..108.1007P . DOI : 10.1073 / pnas.1008404108 . ISSN 0027-8424 . PMC 3024657 . PMID 21191103 .   
  20. ^ Шао, Цзя; Хавлин, Шломо; Стэнли, Х. Юджин (2009). «Модель динамического мнения и распространение вторжений». Письма с физическим обзором . 103 (1): 018701. Bibcode : 2009PhRvL.103a8701S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.103.018701 . ISSN 0031-9007 . PMID 19659181 .  
  21. ^ Березин, Йехиэль; Башан, Амир; Данцигер, Майкл М .; Ли, Дацин; Хавлин, Шломо (2015). «Локализованные атаки на пространственно встроенные сети с зависимостями» . Научные отчеты . 5 (1): 8934. Bibcode : 2015NatSR ... 5E8934B . DOI : 10.1038 / srep08934 . ISSN 2045-2322 . PMC 4355725 . PMID 25757572 .   
  22. ^ Шао, S .; Хуанг, X .; Стэнли, HE; Хавлин, С. (2015). «Распространение локальных атак на сложные сети». New J. Phys . 17 (2): 023049. arXiv : 1412.3124 . Bibcode : 2015NJPh ... 17b3049S . DOI : 10.1088 / 1367-2630 / 17/2/023049 . S2CID 7165448 . 
  23. ^ Шай, S; Kenett, DY; Kenett, YN; Фауст, М; Добсон, S; Хавлин, С. (2015). «Критический переломный момент, различающий два типа переходов в модульных сетевых структурах» . Phys. Rev. E . 92 (6): 062805. Bibcode : 2015PhRvE..92f2805S . DOI : 10.1103 / PhysRevE.92.062805 . PMID 26764742 . 
  24. ^ Донг, Гаогао; Фань, Цзинфан; Шехтман, Луи М; Шай, Сарай; Ду, Жуйджин; Тиан, Лисинь; Чен, Сяосун; Стэнли, Х. Юджин; Хавлин, Шломо (2018). «Устойчивость сетей со структурой сообщества действует, как если бы они находились под внешним полем» . Труды Национальной академии наук . 115 (27): 6911–6915. arXiv : 1805.01032 . Bibcode : 2018PNAS..115.6911D . DOI : 10.1073 / pnas.1801588115 . PMC 6142202 . PMID 29925594 . S2CID 49352915 .   
  25. ^ Ли, Дацин; Фу, Боуэн; Ван, Юньпэн; Лу, Гуанцюань; Березин, Йехиель; Стэнли, Х. Юджин; Хавлин, Шломо (2015). «Перколяционный переход в динамической сети трафика с развивающимися критическими узкими местами» . Труды Национальной академии наук . 112 (3): 669–672. Bibcode : 2015PNAS..112..669L . DOI : 10.1073 / pnas.1419185112 . ISSN 0027-8424 . PMC 4311803 . PMID 25552558 .   
  26. ^ Майдандзич, Антонио; Подобник, Борис; Булдырев, Сергей В .; Kenett, Dror Y .; Хавлин, Шломо; Юджин Стэнли, Х. (2013). «Самопроизвольное восстановление в динамических сетях» . Физика природы . 10 (1): 34–38. Bibcode : 2014NatPh..10 ... 34М . DOI : 10.1038 / nphys2819 . ISSN 1745-2473 . 
  27. ^ Данцигер, Майкл М .; Шехтман, Луи М .; Березин, Йехиель; Хавлин, Шломо (2016). «Влияние пространственности на мультиплексные сети». EPL (Europhysics Letters) . 115 (3): 36002. arXiv : 1505.01688 . Bibcode : 2016EL .... 11536002D . DOI : 10.1209 / 0295-5075 / 115/36002 . ISSN 0295-5075 . 
  28. ^ Иван Бонамасса; Бная Гросс; Майкл М. Данцигер; Шломо Хавлин (2019). «Критическое растяжение режимов среднего поля в пространственных сетях» . Phys. Rev. Lett . 123 (8): 088301. Bibcode : 2019PhRvL.123h8301B . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.123.088301 . PMC 7219511 . PMID 31491213 .  
  29. ^ Юань, Синь; Ху, Яньцин; Стэнли, Х. Юджин; Хавлин, Шломо (28 марта 2017). «Искоренение катастрофического коллапса во взаимозависимых сетях с помощью усиленных узлов» . Труды Национальной академии наук . 114 (13): 3311–3315. arXiv : 1605.04217 . Bibcode : 2017PNAS..114.3311Y . DOI : 10.1073 / pnas.1621369114 . ISSN 0027-8424 . PMC 5380073 . PMID 28289204 .   
  30. ^ Brunk, NE; Ли, LS; Стекольщик, JA; Butske, W .; Злотник, А. (2018). «Молекулярная Дженга: перколяционный фазовый переход (коллапс) в вирусных капсидах» . Физическая биология . 15 (5): 056005. Bibcode : 2018PhBio..15e6005B . DOI : 10.1088 / 1478-3975 / aac194 . PMC 6004236 . PMID 29714713 .  
  31. ^ Ли, LS; Brunk, N .; Haywood, DG; Кейфер, Д .; Pierson, E .; Кондилис, П .; Злотник, А. (2017). «Молекулярный макет: Удаление и замена субъединиц в капсиде вируса гепатита В» . Белковая наука . 26 (11): 2170–2180. DOI : 10.1002 / pro.3265 . PMC 5654856 . PMID 28795465 .  
  32. ^ Boswell, GP; Britton, NF; Фрэнкс, Н.Р. (1998-10-22). «Фрагментация среды обитания, теория просачивания и сохранение ключевого вида» . Труды Лондонского королевского общества B: биологические науки . 265 (1409): 1921–1925. DOI : 10,1098 / rspb.1998.0521 . ISSN 0962-8452 . PMC 1689475 .  
  33. ^ Дэвис, S .; Trapman, P .; Leirs, H .; Бегон, М .; Heesterbeek, J. a. П. (31.07.2008). «Порог численности чумы как критического явления просачивания». Природа . 454 (7204): 634–637. Bibcode : 2008Natur.454..634D . DOI : 10,1038 / природа07053 . hdl : 1874/29683 . ISSN 1476-4687 . PMID 18668107 . S2CID 4425203 .   
  34. ^ Булдырев, С.В.; Паршани, Р .; Paul, G .; Стэнли, HE; Хавлин, С. (2010). «Катастрофический каскад отказов во взаимозависимых сетях». Природа . 464 (8932): 1025–8. arXiv : 0907.1182 . Bibcode : 2010Natur.464.1025B . DOI : 10,1038 / природа08932 . PMID 20393559 . S2CID 1836955 .  
  35. ^ Gao, J .; Булдырев С.В.; Стэнли, HE; Хавлин, С. (2012). «Сети, образованные из взаимозависимых сетей». Физика природы . 8 (1): 40–48. Bibcode : 2012NatPh ... 8 ... 40G . DOI : 10.1038 / nphys2180 .
  36. ^ Bashan, A .; Березин, Ю .; Булдырев С.В.; Хавлин, С. (2013). «Крайняя уязвимость взаимозависимых пространственно встроенных сетей». Физика природы . 9 (10): 667. arXiv : 1206.2062 . Bibcode : 2013NatPh ... 9..667B . DOI : 10.1038 / nphys2727 . S2CID 12331944 . 
  37. ^ Березин, Ю .; Bashan, A .; Данцигер, ММ; Li, D .; Хавлин, С. (2015). «Локализованные атаки на пространственно встроенные сети с зависимостями» . Научные отчеты . 5 : 8934. Bibcode : 2015NatSR ... 5E8934B . DOI : 10.1038 / srep08934 . PMC 4355725 . PMID 25757572 .  
  38. ^ D Вакнин; MM Danziger; С. Хавлин (2017). «Распространение локализованных атак в пространственных мультиплексных сетях». New J. Phys . 19 (7): 073037. arXiv : 1704.00267 . Bibcode : 2017NJPh ... 19g3037V . DOI : 10.1088 / 1367-2630 / aa7b09 . S2CID 9121930 . 
  39. ^ Майдандзич, Антонио; Подобник, Борис; Булдырев, Сергей В .; Kenett, Dror Y .; Хавлин, Шломо; Юджин Стэнли, Х. (2013). «Самопроизвольное восстановление в динамических сетях» . Физика природы . 10 (1): 34–38. DOI : 10.1038 / nphys2819 .
  40. ^ Майдандзич, Антонио; Браунштейн, Лидия А .; Курм, Честер; Воденская, Ирена; Леви-Карсьенте, Сари; Юджин Стэнли, H .; Хавлин, Шломо (2016). «Множественные переломные моменты и оптимальный ремонт во взаимодействующих сетях» . Nature Communications . 7 : 10850. arXiv : 1502.00244 . Bibcode : 2016NatCo ... 710850M . DOI : 10.1038 / ncomms10850 . PMC 4773515 . PMID 26926803 .  
  41. ^ Д. Ли; Б. Фу; Ю. Ван; Г. Лу; Ю. Березин; Его Превосходительство Стэнли; С. Хавлин (2015). «Перколяционный переход в динамической сети трафика с развивающимися критическими узкими местами» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 112 (3): 669–72. Bibcode : 2015PNAS..112..669L . DOI : 10.1073 / pnas.1419185112 . PMC 4311803 . PMID 25552558 .  
  42. ^ G Zeng; D Li; S Guo; L Gao; Z Gao; Его Превосходительство Стэнли; С. Хавлин (2019). «Переключение критических режимов перколяции в динамике городского движения». 116 (1): 23–28. Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
  43. ^ G Zeng; Дж. Гао; Л. Шехтман; S Guo; W Lv; J Wu; Х Лю; О Леви; Ди Ли (2020). «Множественные метастабильные состояния сети в городском трафике». 117 (30): 17528–17534. Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
  44. ^ Лимиао Чжан; Гуанвен Цзэн; Дацин Ли; Хай-Цзюнь Хуан; H Юджин Стэнли; Шломо Хавлин (2019). «Безмассовая устойчивость к настоящим пробкам» . Труды Национальной академии наук . 116 (18): 8673–8678. arXiv : 1804.11047 . Bibcode : 2019PNAS..116.8673Z . DOI : 10.1073 / pnas.1814982116 . PMC 6500150 . PMID 30979803 . S2CID 111390178 .   
  45. ^ Нимрод Серок; Орр Леви; Шломо Хавлин; Эфрат Блюменфельд-Либерталь (2019). «Выявление взаимосвязей между сетью городских улиц и их динамическими транспортными потоками: значение для планирования». Окружающая среда и планирование B: Городская аналитика и городская наука . 46 (7): 1362–1376. DOI : 10.1177 / 2399808319837982 . S2CID 202355697 . 
  • Айзенман, Майкл ; Барский, Дэвид (1987), "Резкость фазового перехода в перколяционных моделях", Сообщения по математической физике , 108 (3): 489–526, Bibcode : 1987CMaPh.108..489A , doi : 10.1007 / BF01212322 , S2CID  35592821
  • Меньшиков, Михаил (1986), "Совпадение критических точек в задачах просачивания", Советская математика - Доклады , 33 : 856–859.

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Остин, Дэвид (июль 2008 г.). «Просачивание: проскальзывание трещин» . Американское математическое общество.
  • Боллобаш, Бела ; Риордан, Оливер (2006). Перколяция . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521872324.
  • Кестен, Гарри (май 2006 г.). "Что такое ... просачивание?" (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 53 (5): 572–573. ISSN  1088-9477 .

Внешние ссылки [ править ]

  • PercoVIS: программа для Mac OS X для визуализации перколяции в сетях в реальном времени
  • Интерактивная перколяция
  • Онлайн-курс Nanohub по теории перколяции
  • Введение в теорию перколяции: краткий курс Шломо Хавлина