Система взаимодействующих частиц

В теории вероятностей система взаимодействующих частиц ( IPS ) - это случайный процесс в некотором конфигурационном пространстве, заданном пространством узлов , счетно-бесконечным графом и локальным пространством состояний, компактным метрическим пространством . Точнее, IPS - это марковские скачкообразные процессы с непрерывным временем, описывающие коллективное поведение стохастически взаимодействующих компонентов. IPS - это непрерывный аналог стохастических клеточных автоматов .${\ Displaystyle (Х (т)) _ {т \ в \ mathbb {R} ^ {+}}}$${\displaystyle \Omega =S^{G}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$

Среди основных примеров - модель избирателя , контактный процесс , асимметричный простой процесс исключения (ASEP), динамика Глаубера и, в частности, стохастическая модель Изинга .

IPS обычно определяются через их марковский генератор, порождающий уникальный марковский процесс с использованием марковских полугрупп и теоремы Хилле-Иосиды . Генератор снова задается с помощью так называемых скоростей переходов , где конечное множество сайтов и с для всех . Скорости описывают экспоненциальное время ожидания процесса перехода от конфигурации к конфигурации . В более общем смысле скорости переходов приведены в виде конечной меры на .${\displaystyle c_{\Lambda }(\eta ,\xi )>0}$${\displaystyle \Lambda \subset G}$${\displaystyle \eta ,\xi \in \Omega }$${\displaystyle \eta _{i}=\xi _{i}}$${\displaystyle i\notin \Lambda }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle c_{\Lambda }(\eta ,d\xi )}$${\displaystyle S^{\Lambda }}$

Генератор IPS имеет следующий вид. Во-первых, область определения - это подмножество пространства «наблюдаемых», то есть множество действительных непрерывных функций на конфигурационном пространстве . Тогда для любой наблюдаемой в области , один имеет${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle f}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle Lf(\eta )=\sum _{\Lambda }\int _{\xi :\xi _{\Lambda ^{c}}=\eta _{\Lambda ^{c}}}c_{\Lambda }(\eta ,d\xi )[f(\xi )-f(\eta )]}$.

Например, для стохастической модели Изинга мы имеем , , если для некоторых и${\displaystyle G=\mathbb {Z} ^{d}}$${\displaystyle S=\{-1,+1\}}$${\displaystyle c_{\Lambda }=0}$${\displaystyle \Lambda \neq \{i\}}$${\displaystyle i\in G}$

${\displaystyle c_{i}(\eta ,\eta ^{i})=\exp[-\beta \sum _{j:|j-i|=1}\eta _{i}\eta _{j}]}$

где конфигурация равна, за исключением того, что она перевернута на сайте . - новый параметр, моделирующий обратную температуру.${\displaystyle \eta ^{i}}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle i}$${\displaystyle \beta }$

Модель избирателя [ править ]

Модель избирателя (обычно в непрерывном времени, но есть и дискретные версии) представляет собой процесс, аналогичный процессу контакта . В этом процессе используется для представления позиции избирателя по определенной теме. Избиратели пересматривают свои мнения, временами распределенные в соответствии с независимыми экспоненциальными случайными величинами (это дает локальный процесс Пуассона - обратите внимание, что в целом избиратели бесконечно много, поэтому нельзя использовать глобальный процесс Пуассона). Во время повторного рассмотрения избиратель выбирает одного соседа равномерно из всех соседей и принимает мнение этого соседа. Можно обобщить этот процесс, допустив, чтобы выбор соседей отличался от единообразия.${\displaystyle \eta (x)}$

Дискретный временной процесс [ править ]

В модели избирателя с дискретным временем в одном измерении представляет состояние частицы во времени . Неформально каждый человек выстраивается в линию и может «видеть» других людей, находящихся в пределах радиуса . Если более определенной части этих людей не согласны, то человек меняет свое отношение, в противном случае он сохраняет его. Durrett и Steif (1993) и Steif (1994) показывают, что для больших радиусов существует критическое значение, такое, что, если большинство особей никогда не меняются, и в пределе большинство участков соглашаются. (Оба этих результата предполагают, что вероятность равна половине.)${\displaystyle \xi _{t}(x):\mathbb {Z} \to \{0,1\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta _{c}}$${\displaystyle \theta >\theta _{c}}$${\displaystyle \theta \in (1/2,\theta _{c})}$${\displaystyle \xi _{0}(x)=1}$

Этот процесс имеет естественное обобщение на большее количество измерений, некоторые результаты для этого обсуждаются в Durrett and Steif (1993).

Непрерывный временной процесс [ править ]

Процесс непрерывного времени похож в том, что он воображает, что у каждого человека есть убеждение в каждый момент времени, и изменяет его в зависимости от отношения своих соседей. Этот процесс неформально описан Лиггеттом (1985, 226): «Периодически (то есть в независимые экспоненциальные моменты времени) человек переоценивает свою точку зрения довольно простым способом: он выбирает« друга »наугад с определенными вероятностями и принимает свою позицию. . " Модель была построена с этой интерпретацией Холли и Лиггетт (1975).

Этот процесс эквивалентен процессу, впервые предложенному Клиффордом и Садбери (1973), когда животные конфликтуют из-за территории и находятся в равной степени. Сайт выбирается для вторжения соседом в заданное время.

Ссылки [ править ]

• Клиффорд, Питер; Эйдан Садбери (1973). «Модель пространственного конфликта». Биометрика . 60 (3): 581–588. DOI : 10.1093 / Biomet / 60.3.581 .
• Дарретт, Ричард ; Джеффри Э. Стейф (1993). «Результаты фиксации для пороговых избирательных систем» . Анналы вероятности . 21 (1): 232–247. DOI : 10.1214 / AOP / 1176989403 .
• Холли, Ричард А .; Томас М. Лиггетт (1975). «Эргодические теоремы для слабо взаимодействующих бесконечных систем и модель избирателя» . Анналы вероятности . 3 (4): 643–663. DOI : 10.1214 / AOP / 1176996306 .
• Steif, Джеффри Э. (1994). «Пороговый автомат избирателя в критической точке» . Анналы вероятности . 22 (3): 1121–1139. DOI : 10.1214 / AOP / 1176988597 .
• Лиггетт, Томас М. (1997). «Стохастические модели взаимодействующих систем» . Анналы вероятности . Институт математической статистики. 25 (1): 1-29. DOI : 10.1214 / AOP / 1024404276 . ISSN  0091-1798 .
• Лиггетт, Томас М. (1985). Системы взаимодействующих частиц . Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN 0-387-96069-4.