Вероятности контрактного моста

В игре в бридж математические вероятности играют значительную роль. Различные стратегии игры оператора объявления приводят к успеху в зависимости от распределения карт оппонента. Чтобы решить, какая стратегия имеет наибольшую вероятность успеха, заявителю необходимо иметь хотя бы элементарное знание вероятностей.

В таблицах ниже указаны различные априорные вероятности , то есть вероятности при отсутствии какой-либо дополнительной информации. Во время торгов и игры становится доступной дополнительная информация о руках, что позволяет игрокам улучшить свои оценки вероятности.

Вероятность раздачи мастей (за недостающие козыри и т. Д.) В двух скрытых руках [ править ]

Эта таблица ^[1] представляет собой различные способы , которые два-восемь конкретные карты могут быть распределены, или могут лежать или раскол между двумя неизвестными руками 13-карт (до торгов и игр , или априори ).

В таблице также показано количество комбинаций конкретных карт, которые соответствуют любому числовому разделению, и вероятности для каждой комбинации.

Эти вероятности прямо вытекают из закона вакантных мест .

Количество карт (козырей и т. Д.), Отсутствующих в партнерстве	Распределение	Вероятность	Комбинации	Индивидуальная вероятность
2	1 - 1	0,52	2	0,26
2	2 - 0	0,48	2	0,24
3	2 - 1	0,78	6	0,13
3	3 - 0	0,22	2	0,11
4	2 - 2	0,41	6	0,0678 ~
	3 - 1	0,50	8	0,0622 ~
	4 - 0	0,10	2	0,0478 ~
5	3 - 2	0,68	20	0,0339 ~
	4 - 1	0,28	10	0,02826 ~
	5 - 0	0,04	2	0,01956 ~
6	3–3	0,36	20	0,01776 ~
	4 - 2	0,48	30	0,01615 ~
	5 - 1	0,15	12	0,01211 ~
	6 - 0	0,01	2	0,00745 ~
7	4–3	0,62	70	0,00888 ~
	5 - 2	0,31	42	0,00727 ~
	6 - 1	0,07	14	0,00484 ~
	7 - 0	0,01	2	0,00261 ~
8	4–4	0,33	70	0,00467 ~
	5–3	0,47	112	0,00421 ~
	6 - 2	0,17	56	0,00306 ~
	7 - 1	0,03	16	0,00178 ~
	8 - 0	0,00	2	0,00082 ~

Расчет вероятностей [ править ]

Пусть будет вероятность того, что игрок Востока с неизвестными картами держит карты данной масти, а игрок Запада с неизвестными картами держит карты данной масти. Общее число расположений карт в масти в пространствах т.е. число перестановок из объектов которого карта в масти неразличима и карты не в костюме неразличимы. Количество комбинаций, соответствующих востоку, имеющему карты в масти, и западным картам в масти, дается как . Следовательно, ${\ displaystyle P '(a, b, n_ {e}, n_ {w})}$ ${\ displaystyle n_ {e}}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle n_ {w}}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ Displaystyle (а + б)}$ ${\ Displaystyle (п_ {е} + п_ {ш})}$ ${\ displaystyle T = {\ frac {(n_ {e} + n_ {w})!} {(n_ {e} + n_ {w} -ab)! (a + b)!}}}$ ${\ Displaystyle (п_ {е} + п_ {ш})}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ $S={\frac {n_{e}!}{a!(n_{e}-a)!}}\times {\frac {n_{w}!}{b!(n_{w}-b)!}}$

P'(a,b,n_{e},n_{w})={\frac {S}{T}}={\frac {(a+b)!}{a!b!}}\times {\frac {n_{e}!n_{w}!(n_{e}+n_{w}-a-b)!}{(n_{e}+n_{w})!(n_{e}-a)!(n_{w}-b)!}}={\binom {a+b}{a}}{\frac {n_{e}!n_{w}!(n_{e}+n_{w}-a-b)!}{(n_{e}+n_{w})!(n_{e}-a)!(n_{w}-b)!}}={\frac {{\binom {a+b}{a}}{\binom {n_{e}+n_{w}-a-b}{n_{e}-a}}}{\binom {n_{e}+n_{w}}{n_{e}}}}

Если направление разделения неважно (требуется только, чтобы разделение было - , а не то, что Восток специально требуется для хранения карт), то общая вероятность определяется как

a

b

a

P(a,b,n_{e},n_{w})=P'(a,b,n_{e},n_{w})+(1-\delta _{a,b})P'(b,a,n_{e},n_{w})

где дельта Кронекера гарантирует, что ситуация, когда Восток и Запад имеют одинаковое количество карт в масти, не учитывается дважды.

Вышеупомянутые вероятности предполагают, и что направление раскола неважно, и поэтому задаются $n_{e}=n_{w}=13$

P(a,b)=P(a,b,13,13)={\binom {a+b}{a}}{\frac {13!13!(26-a-b)!}{26!(13-a)!(13-b)!}}(2-\delta _{a,b})

Более общую формулу можно использовать для расчета вероятности разрушения масти, если известно, что у игрока есть карты другой масти, например, из торгов. Предположим, что известно, что у Востока есть 7 пиков из торгов, и, увидев манекен, вы делаете вывод, что у Запада 2 пики; затем , если ваши две линий игр являются надеждами либо на алмазы 5-3 или 4-2 клубов, то априорные вероятности 47% и 48% соответственно , но и так что теперь клуб линия значительно лучше , чем алмазная линия.

P(5,3,13-7,13-2)\thickapprox 42\%

P(4,2,13-7,13-2)\thickapprox 47\%

Вероятность распространения HCP [ править ]

Очки старших карт (HCP) обычно подсчитываются с использованием шкалы Милтона 4/3/2/1 баллов для каждого туза / короля / королевы / валета соответственно. В априорные вероятности , что данная рука содержит не более заданного числа HCP приведен в таблице ниже. ^[1] Чтобы найти вероятность определенного диапазона точек, нужно просто вычесть две соответствующие совокупные вероятности. Таким образом, вероятность получить комбинацию 12-19 HCP (включая диапазоны) - это вероятность иметь не более 19 HCP минус вероятность иметь не более 11 HCP, или: 0,9855 - 0,6518 = 0,3337. ^[2]

HCP	Вероятность	HCP	Вероятность	HCP	Вероятность	HCP	Вероятность	HCP	Вероятность
0	0,003639	8	0,374768	16	0,935520	24	0,999542	32	1,000000
1	0,011523	9	0,468331	17	0,959137	25	0,999806	33	1,000000
2	0,025085	10	0,562382	18	0,975187	26	0,999923	34	1,000000
3	0,049708	11	0,651828	19	0,985549	27	0,999972	35 год	1,000000
4	0,088163	12	0,732097	20	0,991985	28 год	0,999990	36	1,000000
5	0,140025	13	0,801240	21 год	0,995763	29	0,999997	37	1,000000
6	0,205565	14	0,858174	22	0,997864	30	0,999999
7	0,285846	15	0,902410	23	0,998983	31 год	1,000000

Вероятности паттернов рук [ править ]

Картина руки обозначает распределение тринадцати карт в руке за четыре масти. Всего возможно 39 комбинаций рук, но только 13 из них имеют априорную вероятность, превышающую 1%. Наиболее вероятной является комбинация 4-4-3-2, состоящая из двух мастей с четырьмя картами, масти с тремя картами и даблтона .

Обратите внимание, что в схеме рук не указано, какие именно костюмы имеют указанную длину. Для шаблона 4-4-3-2 необходимо указать, какая масть содержит три карты, а какая масть содержит дуплет, чтобы определить длину каждой из четырех мастей. Есть четыре возможности сначала определить масть из трех карт и три возможности затем определить дуплет. Следовательно, количество перестановок масти в шаблоне 4-4-3-2 равно двенадцати. Или, говоря иначе, всего существует двенадцать способов, которыми паттерн 4-4-3-2 может быть отображен на четыре масти.

В таблице ниже перечислены все 39 возможных комбинаций рук, их вероятность появления, а также количество перестановок мастей для каждой комбинации. Список упорядочен по вероятности появления рисунков рук. ^[3]

Шаблон	Вероятность	#
4-4-3-2	0,21551	12
5-3-3-2	0,15517	12
5-4-3-1	0,12931	24
5-4-2-2	0,10580	12
4-3-3-3	0,10536	4
6-3-2-2	0,05642	12
6-4-2-1	0,04702	24
6-3-3-1	0,03448	12
5-5-2-1	0,03174	12
4-4-4-1	0,02993	4
7-3-2-1	0,01881	24
6-4-3-0	0,01326	24
5-4-4-0	0,01243	12

Шаблон	Вероятность	#
5-5-3-0	0,00895	12
6-5-1-1	0,00705	12
6-5-2-0	0,00651	24
7-2-2-2	0,00513	4
7-4-1-1	0,00392	12
7-4-2-0	0,00362	24
7-3-3-0	0,00265	12
8-2-2-1	0,00192	12
8-3-1-1	0,00118	12
7-5-1-0	0,00109	24
8-3-2-0	0,00109	24
6-6-1-0	0,00072	12
8-4-1-0	0,00045	24

Шаблон	Вероятность	#
9-2-1-1	0,00018	12
9-3-1-0	0,00010	24
9-2-2-0	0,000082	12
7-6-0-0	0,000056	12
8-5-0-0	0,000031	12
10-2-1-0	0,000011	24
9-4-0-0	0,0000097	12
10-1-1-1	0,0000040	4
10-3-0-0	0,0000015	12
11-1-1-0	0,00000025	12
11-2-0-0	0,00000011	12
12-1-0-0	0,0000000032	12
13-0-0-0	0,0000000000063	4

39 комбинаций рук можно разделить на четыре типа : сбалансированные руки , три масти , две масти и одиночные масти . В таблице ниже приведены априорные вероятности получения руки определенного типа.

Тип руки	Узоры	Вероятность
Сбалансированный	4-3-3-3, 4-4-3-2, 5-3-3-2	0,4761
Два костюма	5-4-2-2, 5-4-3-1, 5-5-2-1, 5-5-3-0, 6-5-1-1, 6-5-2-0, 6- 6-1-0, 7-6-0-0	0,2902
Одноместный	6-3-2-2, 6-3-3-1, 6-4-2-1, 6-4-3-0, 7-2-2-2, 7-3-2-1, 7- 3-3-0, 7-4-1-1, 7-4-2-0, 7-5-1-0, 8-2-2-1, 8-3-1-1, 8-3- 2-0, 8-4-1-0, 8-5-0-0, 9-2-1-1, 9-2-2-0, 9-3-1-0, 9-4-0- 0, 10-1-1-1, 10-2-1-0, 10-3-0-0, 11-1-1-0, 11-2-0-0, 12-1-0-0, 13-0-0-0	0,1915
Трехмастница	4-4-4-1, 5-4-4-0	0,0423

Альтернативное группирование 39 комбинаций рук может быть выполнено как по самой длинной масти, так и по самой короткой масти. В таблицах ниже указаны априорные шансы получить руку с самой длинной или самой короткой мастью данной длины.

Самый длинный костюм	Узоры	Вероятность
4 карты	4-3-3-3, 4-4-3-2, 4-4-4-1	0,3508
5 карт	5-3-3-2, 5-4-2-2, 5-4-3-1, 5-5-2-1, 5-4-4-0, 5-5-3-0	0,4434
6 карт	6-3-2-2, 6-3-3-1, 6-4-2-1, 6-4-3-0, 6-5-1-1, 6-5-2-0, 6- 6-1-0	0,1655
7 карт	7-2-2-2, 7-3-2-1, 7-3-3-0, 7-4-1-1, 7-4-2-0, 7-5-1-0, 7- 6-0-0	0,0353
8 карт	8-2-2-1, 8-3-1-1, 8-3-2-0, 8-4-1-0, 8-5-0-0	0,0047
9 карта	9-2-1-1, 9-2-2-0, 9-3-1-0, 9-4-0-0	0,00037
10 карт	10-1-1-1, 10-2-1-0, 10-3-0-0	0,000017
11 карт	11-1-1-0, 11-2-0-0	0,0000003
12 карт	12-1-0-0	0,000000003
13 карт	13-0-0-0	0,000000000006

Самый короткий костюм	Узоры	Вероятность
Три карты	4-3-3-3	0,1054
Даблтон	4-4-3-2, 5-3-3-2, 5-4-2-2, 6-3-2-2, 7-2-2-2	0,5380
Синглтон	4-4-4-1, 5-4-3-1, 5-5-2-1, 6-3-3-1, 6-4-2-1, 6-5-1-1, 7- 3-2-1, 7-4-1-1, 8-2-2-1, 8-3-1-1, 9-2-1-1, 10-1-1-1	0,3055
Пустота	5-4-4-0, 5-5-3-0, 6-4-3-0, 6-5-2-0, 6-6-1-0, 7-3-3-0, 7- 4-2-0, 7-5-1-0, 7-6-0-0, 8-3-2-0, 8-4-1-0, 8-5-0-0, 9-2- 2-0, 9-3-1-0, 9-4-0-0, 10-2-1-0, 10-3-0-0, 11-1-1-0, 11-2-0- 0, 12-1-0-0, 13-0-0-0	0,0512

Количество возможных рук и сделок [ править ]

Один игрок может держать 635 013 559 600 ( ) разных рук. ^[4] Кроме того, когда остальные 39 карт включены во все их комбинации, получается 53 644 737 765 488 792 839 237 440 000 (53,6 x 10 ²⁷ ) различных возможных сделок ( ) ^[5] Огромность этого числа можно понять, ответив на вопрос « Насколько велика площадь. нужно ли вам распространять все возможные бридж-сделки, если каждая сделка будет занимать всего один квадратный миллиметр? ». Ответ: площадь, более чем в сто миллионов раз превышающая площадь поверхности Земли . ${52 \choose 13}$ $52!/(13!)^{4}$

Очевидно, что сделки, которые идентичны, за исключением обмена, скажем, ♥ 2 и ♥ 3, вряд ли дадут другой результат. Чтобы показать неуместность маленьких карточек (что не всегда так), в бриджах такие маленькие карточки обычно обозначаются буквой «x». Таким образом, «количество возможных раздач» в этом смысле зависит от того, сколько нечестных карт (2, 3, .. 9) считаются «неотличимыми». Например, если обозначение «x» применяется ко всем картам меньше десяти, то распределения мастей A987-K106-Q54-J32 и A432-K105-Q76-J98 будут считаться идентичными.

В таблице ниже ^[6] указано количество раздач, когда различное количество маленьких карточек считается неразличимым.

Состав костюма	Количество сделок
AKQJT9876543x	53 644 737 765 488 792 839 237 440 000
AKQJT987654xx	7,811,544,503,918,790,990,995,915,520
AKQJT98765xxx	445,905,120,201,773,774,566,940,160
AKQJT9876xxxx	14 369 217 850 047 151 709 620 800
AKQJT987xxxxx	314 174 475 847 313 213 527 680
AKQJT98xxxxxx	5,197,480,921,767,366,548,160
AKQJT9xxxxxxx	69 848 690 581 204 198 656
AKQJTxxxxxxxx	800 827 437 699 287 808
AKQJxxxxxxxxx	8,110,864,720,503,360
AKQxxxxxxxxxx	74 424 657 938 928
AKxxxxxxxxxxx	630 343 600 320
Axxxxxxxxxxxx	4 997 094 488
xxxxxxxxxxxxx	37 478 624

Обратите внимание, что последняя запись в таблице (37 478 624) соответствует количеству различных распределений колоды (количеству раздач, когда карты различаются только по масти).

Вероятность проигрыша уловок подсчитывается [ править ]

Проигрышный-трик граф является альтернативой графа HCP в качестве метода оценки рук.

LTC	Количество рук	Вероятность
0	4 245 032	0,000668%
1	90 206 044	0,0142%
2	872 361 936	0,137%
3	5 080 948 428	0,8%
4	19 749 204 780	3,11%
5	53 704 810 560	8,46%
6	104 416 332 340	16,4%
7	145 971 648 360	23,0%
8	145 394 132 760	22,9%
9	100 454 895 360	15,8%
10	45 618 822 000	7,18%
11	12 204 432 000	1,92%
12	1 451 520 000	0,229%
13	0	0%

Ссылки [ править ]

^ ^a ^b «Математические таблицы» (Таблица 4). Фрэнсис, Генри Дж .; Траскотт, Алан Ф .; Фрэнсис, Дорти А., ред. (1994). Официальная энциклопедия моста (5-е изд.). Мемфис, Теннесси: Американская контрактная лига . п. 278. ISBN 0-943855-48-9. LCCN 96188639 .
^ Ричард Павличек. «Высокая вероятность карты». связь
^ Ричард Павличек. «Вопреки всему». связь
^ Вероятности моста Дуранго Билла и комбинаторика 1
^ Вероятности моста Дуранго Билла и комбинаторика 2
^ Подсчет сделок моста , Джерун Вармердам

Дальнейшее чтение [ править ]

Эмиль, Борель; Андре, Шерон (1940). Теория Математик дю Бридж . Готье-Виллар.Второе французское издание авторов в 1954 году. Переведено и отредактировано на английский Алеком Траубом как The Mathematical Theory of Bridge; напечатана в 1974 г. на Тайване при содействии CC Wei.
Келси, Хью ; Глауэрт, Майкл (1980). Коэффициенты бриджа для практичных игроков . Серия Мастер-Бридж. Лондон: Victor Gollancz Ltd совместно с Питером Кроули. ISBN 0-575-02799-1.
Риз, Теренс ; Трезель, Роджер (1986). Преодолейте шансы в бридже . Серия Мастер-Бридж. Лондон: Victor Gollancz Ltd совместно с Питером Кроули. ISBN 0-575-02597-2.

[OEB-1] «Математические таблицы» (Таблица 4). Фрэнсис, Генри Дж .; Траскотт, Алан Ф .; Фрэнсис, Дорти А., ред. (1994). Официальная энциклопедия моста (5-е изд.). Мемфис, Теннесси: Американская контрактная лига . п. 278. ISBN 0-943855-48-9. LCCN 96188639 .

[2] Ричард Павличек. «Высокая вероятность карты». связь

[Pavlicek1-3] Ричард Павличек. «Вопреки всему». связь

[4] Вероятности моста Дуранго Билла и комбинаторика 1

[5] Вероятности моста Дуранго Билла и комбинаторика 2

[6] Подсчет сделок моста , Джерун Вармердам

[1]