Априорная вероятность того, вероятность того, что происходит чисто дедукции . [1] Одним из способов получения априорных вероятностей является принцип безразличия , который имеет характер утверждения, что если существует N взаимоисключающих и в совокупности исчерпывающих событий и если они равновероятны, то вероятность того, что данное событие произойдет, равна 1 / N . Аналогичным образом , вероятность одного из заданного набора K событий K / N .
Одним из недостатков определения вероятностей указанным выше способом является то, что он применим только к конечным совокупностям событий.
В байесовском выводе « неинформативные априорные вероятности » или «объективные априорные вероятности » являются частным выбором априорных вероятностей. [2] Обратите внимание, что « априорная вероятность » - более широкое понятие.
Подобно различию в философии между априорным и апостериорным , в байесовском выводе априорный означает общее знание о распределении данных до того, как сделать вывод, в то время как апостериорный означает знание, которое включает в себя результаты вывода. [3]
Априорная вероятность в статистической механике
Априорная вероятность имеет важное применение в статистической механике . Классическая версия определяется как отношение количества элементарных событий (например, количество раз, когда бросается игральная кость) к общему количеству событий - и они рассматриваются чисто дедуктивно, то есть без каких-либо экспериментов. В случае с кубиком, если мы смотрим на него на столе, не бросая его, каждое элементарное событие дедуктивно имеет одинаковую вероятность - таким образом, вероятность каждого исхода воображаемого броска (идеального) кубика или просто подсчета количество граней 1/6. Каждая грань кубика появляется с равной вероятностью - вероятность является мерой, определенной для каждого элементарного события. Результат будет другим, если мы двадцать раз бросим кубик и спросим, сколько раз (из 20) цифра 6 появляется на верхней грани. В этом случае играет роль время, и у нас есть разные типы вероятностей в зависимости от времени или количества бросков кубика. С другой стороны, априорная вероятность не зависит от времени - вы можете смотреть на кубик на столе сколько угодно, не касаясь его, и вы делаете вывод, что вероятность появления числа 6 на верхней грани равна 1/6. .
В статистической механике, например, газа, содержащегося в конечном объеме , обе пространственные координаты и координаты импульса отдельных газовых элементов (атомов или молекул) конечны в фазовом пространстве, охватываемом этими координатами. По аналогии с кристаллом априорная вероятность здесь (в случае континуума) пропорциональна элементу объема фазового пространства деленное на , а - количество стоячих волн (т.е. состояний) в них, где это диапазон переменной а также это диапазон переменной (здесь для простоты рассматривается в одном измерении). В одном измерении (длина) это число или статистический вес, или априорное взвешивание . В обычных 3-х измерениях (объем) соответствующее число можно рассчитать как . [4] Чтобы понять, что эта величина задает ряд состояний в квантовой (т.е. волновой) механике, вспомним, что в квантовой механике каждая частица связана с волной материи, которая является решением уравнения Шредингера. В случае свободных частиц (энергии) как у газа в ящике объема такая волна материи явно
- ,
где целые числа. Количество разных значения и, следовательно, состояния в области между тогда оказывается, что это выражение выше учитывая площадь, охватываемую этими точками. Более того, с учетом соотношения неопределенностей , которое в одном пространственном измерении равно
- ,
эти состояния неразличимы (т. е. эти состояния не имеют ярлыков). Важным следствием является результат, известный как теорема Лиувилля , то есть независимость от времени этого элемента объема фазового пространства и, следовательно, априорной вероятности. Временная зависимость этой величины подразумевала бы известную информацию о динамике системы и, следовательно, не была бы априорной вероятностью. [5] Таким образом, регион
при дифференцировании по времени дает ноль (с помощью уравнений Гамильтона): объем в момент времени такое же, как и в нулевой момент времени. Один описывает это также как сохранение информации.
В полной квантовой теории действует аналогичный закон сохранения. В этом случае область фазового пространства заменяется подпространством пространства состояний, выраженным через оператор проекции, а вместо вероятности в фазовом пространстве - плотность вероятности
где - размерность подпространства. Закон сохранения в этом случае выражается унитарностью S-матрицы . В любом случае мы рассматриваем замкнутую изолированную систему. Эта замкнутая изолированная система представляет собой систему с (1) фиксированной энергией и (2) фиксированное количество частиц в (c) состояние равновесия. Если рассматривать огромное количество реплик этой системы, то получается так называемый «микроканонический ансамбль». Именно для этой системы в квантовой статистике постулируется «фундаментальный постулат равных априорных вероятностей изолированной системы». Это говорит о том, что изолированная система в состоянии равновесия занимает каждое из своих доступных состояний с одинаковой вероятностью. Таким образом, этот фундаментальный постулат позволяет нам приравнять априорную вероятность к вырождению системы, то есть к количеству различных состояний с одинаковой энергией.
Пример
Следующий пример иллюстрирует априорную вероятность (или априорное взвешивание) в (а) классическом и (б) квантовом контекстах.
(а) Классическая априорная вероятность
Рассмотрим энергию вращения E двухатомной молекулы с моментом инерции I в сферических полярных координатах (это означает выше здесь ), т.е.
В -кривая для постоянной E и эллипс площади
- .
Интегрируя более а также общий объем фазового пространства, охватываемого при постоянной энергии E, равен
- ,
и, следовательно, классическое априорное взвешивание в области энергий является
- (объем фазового пространства при ) минус (объем фазового пространства при ) дан кем-то
(б) Квантовая априорная вероятность
Предполагая, что количество квантовых состояний в диапазоне для каждого направления движения задается для каждого элемента коэффициент , количество состояний в диапазоне энергий dE, как видно на рисунке (а) для вращающейся двухатомной молекулы. Из волновой механики известно, что уровни энергии вращающейся двухатомной молекулы задаются выражением
каждый такой уровень (2n + 1) -кратно вырожден. Оценивая можно получить
Таким образом, по сравнению с выше, можно найти, что приблизительное количество состояний в диапазоне dE определяется вырождением, т. е.
Таким образом, априорное взвешивание в классическом контексте (а) соответствует априорному взвешиванию здесь в квантовом контексте (б). В случае одномерного простого гармонического осциллятора собственной частоты соответственно находим: (а) , и (б) (без вырождения). Таким образом, в квантовой механике априорная вероятность фактически является мерой вырождения , то есть количеством состояний с одинаковой энергией.
В случае атома водорода или кулоновского потенциала (где оценка объема фазового пространства для постоянной энергии более сложна) известно, что квантово-механическое вырождение с участием . Таким образом, в этом случае.
Априорные функции вероятности и распределения
В статистической механике (см. Любую книгу) выводятся так называемые функции распределения для различной статистики. В случае статистики Ферми-Дирака и статистике Бозе-Эйнштейна , эти функции соответственно
Эти функции получены для (1) системы, находящейся в динамическом равновесии (т. Е. В установившихся однородных условиях) с (2) полным (и огромным) числом частиц (это условие определяет постоянную ) и (3) полная энергия , т.е. с каждым из частицы, обладающие энергией . Важным аспектом при выводе является учет неотличимости частиц и состояний в квантовой статистике, т.е. частицы и состояния не имеют меток. В случае фермионов, таких как электроны, подчиняющихся принципу Паули (только одна частица на состояние или ни одна из них не разрешена), следовательно,
Таким образом является мерой доли состояний, фактически занятых электронами при энергии и температура . С другой стороны, априорная вероятностьявляется мерой количества доступных волновых механических состояний. Следовательно
С постоянна при однородных условиях (столько частиц, сколько частиц вытекает из элемента объема, также поступает постоянно, так что ситуация в элементе кажется статичной), т.е. не зависит от времени , а также также не зависит от времени как было показано ранее, получаем
Выражая это уравнение через его частные производные, получаем уравнение переноса Больцмана . Как координатыи т.д. тут вдруг появляются? Выше не упоминались электрические или другие поля. Таким образом, в отсутствие таких полей мы имеем распределение Ферми-Дирака, как указано выше. Но при наличии таких полей мы имеем эту дополнительную зависимость.
Рекомендации
- ^ Настроение AM, Graybill FA, Boes DC (1974) Введение в теорию статистики (3-е издание). Макгроу-Хилл. Раздел 2.2 ( доступен в Интернете, Архивировано 15 мая 2012 г. на Wayback Machine )
- ^ Например, Гарольд Дж. Прайс и Эллисон Р. Мэнсон, «Неинформативные априорные значения для теоремы Байеса». Архивировано 8 августа2013 г. в archive.today , AIP Conf. Proc. 617, 2001 г.
- ^ Эйденбергер, Хорст (2014), Категоризация и машинное обучение: моделирование человеческого понимания в компьютерах , Венский технологический университет, стр. 109, ISBN 9783735761903.
- ^ HJW Мюллер-Кирстен, Основы статистической физики, 2-е. изд. World Scientific (Сингапур, 2013 г.), Глава 6.
- ^ А. Бен-Наим, Демистификация энтропии, World Scientific (Сингапур, 2007)