Выпуклые многогранники - это книга по математике выпуклых многогранников , написанная советским математиком Александром Даниловичем Александровым и первоначально опубликованная на русском языке в 1950 году под названием « Выпуклые многогранники» . [1] [2] Он был переведен на немецкий язык Вильгельмом Зюссом как Konvexe Polyeder в 1958 году. [3] Обновленное издание, переведенное на английский язык Нурланом С. Даирбековым, Семеном Самсоновичем Кутателадзе и Алексеем Б. Сосинским, с добавленными материалами Виктора Залгаллер , Л.А. Шор, Ю. А. Волкова, была опубликованаиздательством Springer-Verlagкак Выпуклые многогранники в 2005 г.[4] [5] [6]
Темы [ править ]
Основное внимание в книге уделяется спецификации геометрических данных, которые однозначно определяют форму трехмерного выпуклого многогранника, вплоть до некоторого класса геометрических преобразований, таких как конгруэнтность или подобие. [1] [4] [6] Он рассматривает как ограниченные многогранники ( выпуклые оболочки конечных множеств точек), так и неограниченные многогранники (пересечения конечного числа полупространств ). [1]
Русское издание книги 1950 г. включало 11 глав. Первая глава посвящена основным топологическим свойствам многогранников, включая их топологическую эквивалентность сферам (в ограниченном случае) и формулу полиэдра Эйлера . После леммы Огюстена Коши о невозможности пометить ребра многогранника положительными и отрицательными знаками так, чтобы каждая вершина имела по крайней мере четыре смены знака [1], оставшаяся часть главы 2 обрисовывает в общих чертах содержание оставшейся книги. [4] В главах 3 и 4 доказывается теорема единственности Александрова , характеризующая геометрию поверхности многогранников как в точности метрические пространства, которые являются топологически сферическими локально, какЕвклидова плоскость, за исключением конечного множества точек положительного углового дефекта , в соответствии с теоремой Декарта о полном угловом дефекте, которым должен быть общий угловой дефект . В главе 5 рассматриваются метрические пространства, определенные так же, как топологически диск, а не сфера, и изучаются возникающие гибкие многогранные поверхности . [1]
Главы с 6 по 8 книги связаны с теоремой Германа Минковского о том, что выпуклый многогранник однозначно определяется площадями и направлениями его граней , с новым доказательством, основанным на неизменности области определения . [1] Из обобщения этой теоремы следует, что то же самое верно для периметров и направлений граней. [5] Глава 9 касается восстановления трехмерных многогранников из двумерной перспективы, путем ограничения вершин многогранника лежать на лучах, проходящих через точку обзора. Оригинальное русское издание книги завершается двумя главами, 10 и 11, связанными с теоремой Коши о том, что многогранники с плоскими гранями образуютжесткие структуры и описание различий между жесткостью и бесконечно малой жесткостью многогранников, как это разработал Макс Ден аналогично теореме Коши о жесткости . [1] [4]
В английском издании 2005 г. добавлены комментарии и библиографическая информация по многим проблемам, которые в издании 1950 г. назывались открытыми, но впоследствии были решены. Он также включает в главу дополнительного материала переводы трех связанных статей Волкова и Шора [4], включая упрощенное доказательство теорем Погорелова, обобщающих теорему единственности Александрова на неполиэдральные выпуклые поверхности. [5]
Аудитория и прием [ править ]
Роберт Коннелли пишет, что для работы, описывающей значительные достижения в теории выпуклых многогранников, к которой, однако, было трудно получить доступ на Западе, давно пора было сделать английский перевод « Выпуклых многогранников» . Он называет материал по теореме единственности Александрова «звездным результатом в книге» и пишет, что книга «оказала большое влияние на бесчисленное количество русских математиков». Тем не менее, он жалуется на небольшое количество упражнений в книге и на непоследовательное представление уровня, из-за которого не удается отличить важные и базовые результаты от специализированных технических деталей. [5]
Хотя программа Convex Polyhedra предназначена для широкой математической аудитории, она предполагает значительный уровень базовых знаний в таких материалах, как топология , дифференциальная геометрия и линейная алгебра . [6] Рецензент Василий Горкавый рекомендует Выпуклые многогранники студентам и профессиональным математикам как введение в математику выпуклых многогранников. Он также пишет, что спустя более 50 лет после его первоначальной публикации, «он по-прежнему вызывает большой интерес для специалистов» после того, как был обновлен, чтобы включить множество новых разработок и перечислить новые открытые проблемы в этой области. [4]
См. Также [ править ]
- Список книг о многогранниках
Ссылки [ править ]
- ^ a b c d e f g Буземанн, Х. , "Обзор Выпуклые многогранники ", Mathematical Reviews , MR 0040677
- ^ Kaloujnine, L. , "Обзор Выпуклые многогранники ", zbMATH (на немецком языке), Zbl 0041.50901 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ^ Zbl 0079.16303
- ^ a b c d e f Горкавий, Василий, "Обзор выпуклых многогранников ", zbMATH , Zbl 1067.52011
- ^ Б с д Коннелли, Роберт (март 2006), "Обзор выпуклых многогранников " (PDF) , SIAM Review , 48 (1): 157-160, DOI : 10,1137 / SIREAD000048000001000149000001 , JSTOR 20453762 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ^ Б с Ruane, PN (ноябрь 2006), "Обзор выпуклых многогранников ", Математическая газета , 90 (519): 557-558, DOI : 10.1017 / S002555720018074X , JSTOR 40378241
