Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Коши - это геометрическая теорема , названная в честь Огюстена Коши . Он утверждает, что выпуклые многогранники в трех измерениях с конгруэнтными соответствующими гранями должны быть конгруэнтны друг другу. То есть любая многогранная сетка, образованная разворачиванием граней многогранника на плоской поверхности, вместе с инструкциями по склейке, описывающими, какие грани должны быть соединены друг с другом, однозначно определяет форму исходного многогранника. Например, если шесть квадратов соединены в узор куба, то они должны образовать куб: не существует выпуклого многогранника с шестью квадратными гранями, соединенными таким же образом, который не имел бы одинаковой формы.

Это фундаментальный результат теории жесткости : одно из следствий теоремы состоит в том, что если создать физическую модель выпуклого многогранника , соединив вместе жесткие пластины для каждой из граней многогранника с помощью гибких шарниров вдоль ребер многогранника, то этот ансамбль плиты и петли обязательно образуют жесткую конструкцию.

Заявление [ править ]

Выпуклый правильный икосаэдр

Пусть P и Q будут комбинаторно эквивалентные 3-мерные выпуклые многогранники; то есть они являются выпуклыми многогранниками с изоморфными решетками граней . Предположим далее, что каждая пара соответствующих граней из P и Q конгруэнтна друг другу, т.е. равна жесткому движению. Тогда P и Q сами по себе конгруэнтны.

Чтобы увидеть, что выпуклость необходима, рассмотрим правильный икосаэдр . Можно «вдавить» вершину, чтобы создать невыпуклый многогранник, который по-прежнему комбинаторно эквивалентен правильному икосаэдру. Другой способ увидеть это - взять пятиугольную пирамиду вокруг вершины и отразить ее относительно основания.

История [ править ]

Результат возник в « Элементах » Евклида , где твердые тела называются равными, если то же самое верно для их граней. Эта версия результата была доказана Коши в 1813 году на основе более ранней работы Лагранжа . Ошибка в доказательстве основной леммы Коши была исправлена Эрнстом Стейницем , Исааком Якобом Шенбергом и Александром Даниловичем Александровым . Исправленное доказательство Коши настолько короткое и элегантное, что считается одним из доказательств из КНИГИ . [1]

Обобщения и связанные результаты [ править ]

  • Результат не верен для плоскости или невыпуклых многогранников в : существуют невыпуклые гибкие многогранники, которые имеют одну или несколько степеней свободы движения, сохраняющих формы их граней. В частности, октаэдры Брикара - это самопересекающиеся гибкие поверхности, открытые французским математиком Раулем Брикаром в 1897 году. Сфера Коннелли , изгибаемый невыпуклый многогранник, гомеоморфный 2-сфере, была открыта Робертом Коннелли в 1977 году [2]. [3]
  • Первоначально доказанная Коши в трех измерениях, теорема была распространена на размерности выше трех Александровым (1950).
  • Теорема Коши о жесткости является следствием теоремы Коши о том, что выпуклый многогранник нельзя деформировать так, чтобы его грани оставались жесткими.
  • В 1974 году Герман Глюк показал, что в определенном точном смысле почти все односвязные замкнутые поверхности жесткие. [4]
  • Теорема Дена о жесткости является расширением теоремы Коши о жесткости на бесконечно малую жесткость. Этот результат был получен Деном в 1916 году.
  • Теорема Александрова уникальность является результатом по Александрову (1950), обобщая теорему Коши, показываячто выпуклые многогранники однозначно описывается метрических пространств с геодезическим на их поверхности. Аналогичная теорема единственности для гладких поверхностей была доказана Кон-Фоссеном в 1927 году . Теорема единственности Погорелова является результатом Погорелова, обобщающего оба этих результата и применяемого к общим выпуклым поверхностям.

Ссылки [ править ]

  1. ^ Aigner, Мартин; Циглер, Гюнтер М. (2014). Доказательства из КНИГИ . Springer. С. 91–93. ISBN 9783540404606.
  2. ^ Коннелли, Роберт (1977). «Контрпример к гипотезе о жесткости многогранников» . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 47 : 333–338. DOI : 10.1007 / BF02684342 . ISSN 0073-8301 . S2CID 122968997 .  
  3. ^ Коннелли, Роберт (1979). «Жесткость многогранных поверхностей». Математический журнал . 52 (5): 275–283. DOI : 10.2307 / 2689778 . JSTOR 2689778 . 
  4. ^ Глюк, Герман (1975). «Почти все односвязные замкнутые поверхности жесткие». В Глейзере - Лесли Кертис; Спешка, Томас Бенджамин (ред.). Геометрическая топология . Конспект лекций по математике. 438 . Springer Berlin Heidelberg. С. 225–239. DOI : 10.1007 / bfb0066118 . ISBN 9783540374121.
  • А. Л. Коши, "Recherche sur les polyèdres - premier mémoire", Journal de l'École Polytechnique 9 (1813), 66–86.
  • Макс Ден , "Über die Starrheit konvexer Polyeder" (на немецком языке), Math. Аня. 77 (1916), 466–473.
  • Александр Данилович Александров , Выпуклые многогранники , ГТИ, Москва, 1950. Английский перевод: Springer, Берлин, 2005.
  • Джеймс Дж. Стокер , "Геометрические проблемы многогранников в целом", Comm. Pure Appl. Математика. 21 (1968), 119–168.
  • Роберт Коннелли , "Жесткость", в Справочнике по выпуклой геометрии , вып. A, 223–271, Северная Голландия, Амстердам, 1993.