Связь (вероятность)

В теории вероятности , муфты являются доказательством того метод , который позволяет сравнивать два несвязанных случайные величины (распределения) и путь создания случайного вектора , чей маргинальное распределение соответствует и соответственно. Выбор, как правило, не является уникальным, и вся идея «связывания» заключается в том, чтобы сделать такой выбор, чтобы и можно было связать особенно желательным образом. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$

Определение [ править ]

Используя стандартный формализм вероятности, пусть и - две случайные величины, определенные на вероятностных пространствах и . Тогда соединение и представляет собой новое вероятностное пространство, в котором есть две случайные величины и такое, которое имеет то же распределение, что и while, имеет то же распределение, что и . ${\ displaystyle X_ {1}}$ ${\ displaystyle X_ {2}}$ ${\ displaystyle (\ Omega _ {1}, F_ {1}, P_ {1})}$ ${\ displaystyle (\ Omega _ {2}, F_ {2}, P_ {2})}$ ${\ displaystyle X_ {1}}$ ${\ displaystyle X_ {2}}$ ${\ displaystyle (\ Omega, F, P)}$ ${\ displaystyle Y_ {1}}$ ${\ displaystyle Y_ {2}}$ ${\ displaystyle Y_ {1}}$ ${\ displaystyle X_ {1}}$ ${\ displaystyle Y_ {2}}$ ${\ displaystyle X_ {2}}$

Интересен случай , когда и являются не независимыми. ${\ displaystyle Y_ {1}}$ ${\ displaystyle Y_ {2}}$

Примеры [ править ]

Случайное блуждание [ править ]

Предположим, две частицы A и B совершают простое случайное блуждание в двух измерениях, но начинаются с разных точек. Самый простой способ связать их - просто заставить их идти вместе. На каждом шаге, если A поднимается, то B тоже , если A движется влево, то же B и т. Д. Таким образом, разница между двумя частицами остается неизменной. Что касается A , он совершает идеальное случайное блуждание, а B - подражатель. B придерживается противоположной точки зрения, т. Е. Что это, по сути, оригинал и что Aэто копия. И в каком-то смысле они оба правы. Другими словами, любая математическая теорема, или результат , который имеет место для обычного случайного блуждания, будут справедливы и для A и B .

Рассмотрим теперь более сложный пример. Предположим, что A начинается из точки (0,0), а B из точки (10,10). Сначала соедините их так, чтобы они шли вместе в вертикальном направлении, то есть, если А идет вверх , то же самое делает В и т. Д., Но они являются зеркальным отображением в горизонтальном направлении, т.е. если А идет влево, В идет вправо и наоборот. Мы продолжаем это соединение до тех пор, пока A и B не будут иметь одинаковую горизонтальную координату, или, другими словами, не будут на вертикальной линии (5, y). Если они никогда не встречаются, мы продолжаем этот процесс вечно (хотя вероятность этого равна нулю). После этого события мы меняем правило сопряжения. Мы позволяем им ходить вместе в горизонтальном направлении, но по правилу зеркального отображения в вертикальном направлении. Мы продолжаем это правило до тех пор, пока они не встретятся в вертикальном направлении (если они встречаются), и с этого момента мы просто позволяем им идти вместе.

Это сцепление в том смысле, что ни одна частица, взятая сама по себе, не может «почувствовать» что-либо, что мы сделали. Ни тот факт, что другая частица следует за ней так или иначе, ни тот факт, что мы изменили правило связывания или когда мы это сделали. Каждая частица совершает простое случайное блуждание. И все же наше правило сопряжения вынуждает их почти наверняка встречаться и с этого момента продолжать вместе постоянно. Это позволяет доказать много интересных результатов, говорящих о том, что «в конечном итоге» неважно, с чего вы начали, чтобы получить этот конкретный результат.

Предвзятые монеты [ править ]

Предположим, что две монеты смещены, первая с вероятностью p выпадения орлов, а вторая с вероятностью q > p выпадения орлов . Интуитивно понятно, что если обе монеты подбрасываются одинаковое количество раз, первая монета должна выпадать меньше орлов, чем вторая. Более конкретно, для любого фиксированного k вероятность того, что первая монета даст по крайней мере k орлов, должна быть меньше вероятности того, что вторая монета даст по крайней мере k орлов. Однако доказать такой факт с помощью стандартного счетного аргумента может быть сложно. ^[1] Муфта легко решает эту проблему.

Пусть X ₁ , X ₂ , ..., X _n - индикаторные переменные для орлов в последовательности подбрасываний первой монеты. Для второй монеты определите новую последовательность Y ₁ , Y ₂ , ..., Y _n такую, что

если X _i = 1, то Y _i = 1,
если X _i = 0, то Y _i = 1 с вероятностью ( q - p ) / (1 - p ).

Тогда последовательность Y _i имеет в точности распределение вероятностей бросков второй монеты. Однако, поскольку Y _i зависит от X _i , теперь возможно сравнение двух монет. То есть для любого k ≤ n

\Pr(X_{1}+\cdots +X_{n}>k)\leq \Pr(Y_{1}+\cdots +Y_{n}>k).

См. Также [ править ]

Копула (теория вероятностей)

Заметки [ править ]

^ Дубхаши, Девдатт; Панконези, Алессандро (15 июня 2009 г.). Концентрация меры для анализа рандомизированных алгоритмов (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 91. ISBN 978-0-521-88427-3.

Ссылки [ править ]

Линдвалл Т. Лекции по методу сцепления . Уайли, Нью-Йорк, 1992.
Х. Ториссон, Связь, стационарность и регенерация . Спрингер, Нью-Йорк, 2000.

[1] Дубхаши, Девдатт; Панконези, Алессандро (15 июня 2009 г.). Концентрация меры для анализа рандомизированных алгоритмов (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 91. ISBN 978-0-521-88427-3.

[1]