В математике , то тест соотношения является испытанием (или «критерий») для сходимости в виде ряда
где каждый член является реальным или комплексным числом и п равно нулю , когда п велико. Тест был впервые опубликован Жаном ле Рондом Даламбером и иногда известен как критерий отношения Даламбера или критерий отношения Коши . [1]
Тест
В обычной форме теста используется предел
( 1 )
Тест соотношения утверждает, что:
- если L <1, то ряд абсолютно сходится ;
- если L > 1, то ряд расходится ;
- если L = 1 или предел не существует, то проверка неубедительна, поскольку существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, удовлетворяющие этому случаю.
Можно сделать тест отношения применимым к определенным случаям, когда предел L не существует, если используются верхний предел и нижний предел . Критерии тестирования также могут быть уточнены так, чтобы тест иногда оказывался убедительным даже при L = 1. Более конкретно, пусть
- .
Затем тест соотношения утверждает, что: [2] [3]
- если R <1, ряд абсолютно сходится;
- если r > 1, ряд расходится;
- если при всех больших n (независимо от значения r ) ряд также расходится; это потому чтоне равен нулю , и , следовательно , возрастает и п не стремится к нулю;
- в остальном тест не дает результатов.
Если предел L в ( 1 ) существует, должно быть L = R = r . Таким образом, исходный тест на соотношение является более слабой версией усовершенствованного.
Примеры
Сходится, потому что L <1
Рассмотрим серию
Применяя критерий отношения, вычисляют предел
Поскольку этот предел меньше 1, ряд сходится.
Дивергент, потому что L > 1
Рассмотрим серию
Помещая это в тест соотношения:
Таким образом, серия расходится.
Безрезультатно, потому что L = 1
Рассмотрим три серии
Первый ряд ( 1 + 1 + 1 + 1 + ) расходится, второй (центральный для задачи Базеля ) сходится абсолютно, а третий ( знакопеременный гармонический ряд ) сходится условно. Тем не менее, посередине отношения величин из трех серий соответственно а также . Итак, во всех трех случаях пределравно 1. Это показывает, что когда L = 1, ряд может сходиться или расходиться, и, следовательно, исходный тест отношения не дает результатов. В таких случаях требуются более точные тесты для определения сходимости или расхождения.
Доказательство
Ниже приводится доказательство действительности первоначального теста соотношения.
Предположим, что . Затем мы можем показать, что ряд сходится абсолютно, показывая, что его члены в конечном итоге станут меньше, чем члены определенного сходящегося геометрического ряда . Для этого пусть. Тогда r строго между L и 1, ипри достаточно большом n ; сказать, для всех п больше , чем N . Следовательнодля каждого n > N и i > 0, и поэтому
То есть ряд абсолютно сходится.
С другой стороны, если L > 1, топри достаточно большом n , так что предел слагаемых отличен от нуля. Следовательно, ряд расходится.
Расширения для L = 1
Как видно из предыдущего примера, тест отношения может быть безрезультатным, когда предел отношения равен 1. Однако расширения теста отношения иногда позволяют разобраться в этом случае. [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11]
Во всех приведенных ниже тестах предполагается, что Σ a n является суммой с положительным a n . Эти тесты также могут быть применены к любой серии с конечным числом отрицательных членов. Любая такая серия может быть записана как:
где N является самым проиндексирован термином отрицательного. Первое выражение справа - это частичная сумма, которая будет конечной, поэтому сходимость всего ряда будет определяться свойствами сходимости второго выражения справа, которое может быть переиндексировано для формирования ряда всех положительные члены, начинающиеся с n = 1.
Каждый тест определяет тестовый параметр (ρ n ), который определяет поведение этого параметра, необходимого для установления сходимости или расхождения. Для каждого теста существует более слабая форма теста, которая вместо этого накладывает ограничения на lim n-> ∞ ρ n .
У всех тестов есть области, в которых они не могут описать свойства сходимости ∑a n . Фактически, никакой тест сходимости не может полностью описать свойства сходимости ряда. [4] [10] Это связано с тем, что если ∑a n сходится, можно найти второй сходящийся ряд ∑b n , который сходится медленнее: т. Е. Он обладает тем свойством, что lim n-> ∞ (b n / a n ) = ∞. Кроме того, если ∑a n расходится, может быть найден второй расходящийся ряд ∑b n , который расходится медленнее: т. Е. Он обладает тем свойством, что lim n-> ∞ (b n / a n ) = 0. В тестах сходимости по существу используются сравнительный тест на некотором конкретном семействе n и терпит неудачу для последовательностей, которые сходятся или расходятся медленнее.
Иерархия де Моргана
Огастес Де Морган предложил иерархию тестов отношения типа [4] [9]
Параметры теста соотношения () ниже все обычно включают термины формы . Этот член можно умножить на уступить . Этот термин может заменить прежний термин в определении параметров испытаний, и сделанные выводы останутся прежними. Соответственно, не будет никакого различия между ссылками, которые используют ту или иную форму параметра теста.
1. Тест отношения Даламбера.
Первый тест в иерархии Де Моргана - это тест отношения, описанный выше.
2. Тест Раабе
Это расширение связано с Джозефом Людвигом Раабе . Определять:
(и некоторые дополнительные термины, см. Али, Блэкберн, Фельд, Дурис (нет), Дурис2)
- Сходимся, когда существует c> 1 такое, чтодля всех п> N .
- Расходятся, когда для всех п> N .
- В противном случае тест будет безрезультатным.
Для предельной версии [12] серия будет:
- Сходимся, если (включая случай ρ = ∞)
- Расходиться, если .
- Если ρ = 1, проверка неубедительна.
Когда вышеуказанный предел не существует, можно использовать верхний и нижний пределы. [4] В сериале будут:
- Сходимся, если
- Расходиться, если
- В противном случае тест будет безрезультатным.
Доказательство теста Раабе
Определение , нам не нужно предполагать, что предел существует; если, тогда расходится, а если сумма сходится.
Доказательство проводится по существу сравнением с . Предположим сначала, что. Конечно, если тогда для больших , поэтому сумма расходится; тогда предположим, что. Существует такой, что для всех , то есть . Таким образом, откуда следует, что для ; поскольку это показывает, что расходится.
Доказательство второй половины полностью аналогично, с большинством неравенств просто обратным. Нам нужно предварительное неравенство, чтобы использовать вместо простого который использовался выше: Исправить а также . Обратите внимание, что. Так; следовательно.
Предположим теперь, что . Рассуждая, как в первом абзаце, используя неравенство, установленное в предыдущем абзаце, мы видим, что существует такой, что для ; поскольку это показывает, что сходится.
3. Тест Бертрана.
Это расширение связано с Джозефом Бертраном и Огастесом Де Морганом .
Определение:
Тест Бертрана [4] [10] утверждает, что серия будет:
- Сходимся, когда существует c> 1 такое, чтодля всех п> N .
- Расходятся, когда для всех п> N .
- В противном случае тест будет безрезультатным.
Для предельной версии серия будет:
- Сходимся, если (включая случай ρ = ∞)
- Расходиться, если .
- Если ρ = 1, проверка неубедительна.
Когда вышеуказанный предел не существует, можно использовать верхний и нижний пределы. [4] [9] [13] В сериале будут:
- Сходимся, если
- Расходиться, если
- В противном случае тест будет безрезультатным.
4. Расширенный тест Бертрана.
Это расширение, вероятно, впервые появилось у Маргарет Мартин в [14] . Краткое доказательство, основанное на тесте Куммера и без технических предположений (таких как, например, существование пределов), приводится в [15].
Позволять быть целым числом, и пусть обозначить й итерации из натурального логарифма , т.е. и для любого , .
Предположим, что отношение , когда большой, может быть представлен в виде
(Предполагается, что пустая сумма равна 0. С , тест сводится к тесту Бертрана.)
Значение можно явно представить в виде
Расширенный тест Бертрана утверждает, что серия
- Сходимся, когда существует такой, что для всех .
- Расходятся, когда для всех .
- В противном случае тест будет безрезультатным.
Для предельной версии серия
- Сходимся, если (это включает случай )
- Расходиться, если .
- Если , тест не дает результатов.
Когда вышеуказанный предел не существует, можно использовать верхний и нижний пределы. Сериал
- Сходимся, если
- Расходиться, если
- В противном случае тест будет безрезультатным.
Для применения расширенного теста Бертрана см. Процесс рождения и смерти .
5. Тест Гаусса
Это расширение принадлежит Карлу Фридриху Гауссу .
Предполагая, что n > 0 и r> 1 , если ограниченная последовательность C n может быть найдена так, что для всех n : [5] [7] [9] [10]
тогда серия будет:
- Сходимся, если
- Расходиться, если
6. Тест Куммера.
Это расширение связано с Эрнстом Куммером .
Пусть ζ n - вспомогательная последовательность положительных констант. Определять
Тест Куммера утверждает, что серия будет: [5] [6] [10] [11]
- Сходимся, если существует такой, что для всех n> N. (Обратите внимание, это не то же самое, что сказать)
- Расходиться, если для всех n> N и расходится.
Для предельной версии серия будет: [16] [7] [9]
- Сходимся, если (включая случай ρ = ∞)
- Расходиться, если а также расходится.
- В противном случае тест будет безрезультатным.
Когда вышеуказанный предел не существует, можно использовать верхний и нижний пределы. [4] Сериал будет
- Сходимся, если
- Расходиться, если а также расходится.
Особые случаи
Все тесты в иерархии Де Моргана, кроме теста Гаусса, можно легко рассматривать как частные случаи теста Куммера: [4]
- Для проверки отношения пусть ζ n = 1. Потом:
- Для критерия Раабе пусть ζ n = n. Потом:
- Для теста Бертрана пусть ζ n = n ln (n). Потом:
- С использованием и приближениедля больших n , что незначительно по сравнению с другими членами, можно написать:
- Для расширенного теста Бертрана пусть Из разложения в ряд Тейлора для большихмы приходим к приближению
где предполагается, что пустой продукт равен 1. Тогда
Следовательно,
Обратите внимание, что для этих четырех тестов, чем выше они находятся в иерархии Де Моргана, тем медленнее серия расходится.
Доказательство теста Куммера
Если затем зафиксируйте положительное число . Существует натуральное число такой, что для каждого
С , для каждого
В частности для всех что означает, что начиная с индекса последовательность монотонно убывает и положительно, что, в частности, означает, что снизу он ограничен нулем. Следовательно, предел
- существуют.
Это означает, что положительный ряд телескопирования
- сходится,
и поскольку для всех
при прямом сравнительном тесте для положительных серий серия сходится.
С другой стороны, если , то существует такое N , что увеличивается для . В частности, существует для которого для всех , и другие расходится по сравнению с .
Тест второго отношения Али
Более точным тестом отношения является второй тест отношения: [7] [9] Для определять:
По второму тесту на соотношение серия будет:
- Сходимся, если
- Расходиться, если
- Если тогда тест будет безрезультатным.
Если вышеуказанные пределы не существуют, возможно, можно будет использовать верхние и нижние пределы. Определять:
Тогда в сериале будут:
- Сходимся, если
- Расходиться, если
- Если тогда тест будет безрезультатным.
Али тест соотношения
Этот тест является прямым продолжением теста второго отношения. [7] [9] Для и положительный определять:
Посредством -го отношения, серия будет:
- Сходимся, если
- Расходиться, если
- Если тогда тест будет безрезультатным.
Если вышеуказанные пределы не существуют, возможно, можно будет использовать верхние и нижние пределы. Для определять:
Тогда в сериале будут:
- Сходимся, если
- Расходиться, если
- Если , то тест не дает результатов.
Али-Дойче Коэн -тест
Этот тест является продолжением ое отношение теста. [17]
Предположим, что последовательность - положительная убывающая последовательность.
Позволять быть таким, чтобы существуют. Обозначить, и предположим .
Предположим также, что
Тогда в сериале будут:
- Сходимся, если
- Расходиться, если
- Если , то тест не дает результатов.
Смотрите также
- Корневой тест
- Радиус схождения
Сноски
- Перейти ↑ Weisstein, Eric W. Ratio Test . MathWorld .
- ^ Рудин 1976 , §3.34
- ^ Apostol 1974 , §8.14
- ^ Б с д е е г ч Бромвич, TJ I'A (1908). Введение в теорию бесконечных рядов . Купеческие книги.
- ^ а б в Кнопп, Конрад (1954). Теория и применение бесконечных рядов . Лондон: Blackie & Son Ltd.
- ^ а б Тонг, Цзинчэн (май 1994 г.). «Тест Куммера дает характеристики сходимости или расхождения всех положительных рядов». Американский математический ежемесячник . 101 (5): 450–452. DOI : 10.2307 / 2974907 . JSTOR 2974907 .
- ^ а б в г д е Али, Сайел А. (2008). «Тест отношения mth: новый тест сходимости для рядов» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 115 (6): 514–524. DOI : 10.1080 / 00029890.2008.11920558 . S2CID 16336333 . Проверено 21 ноября 2018 .
- ^ Самельсон, Ганс (ноябрь 1995 г.). «Подробнее о тесте Куммера». Американский математический ежемесячник . 102 (9): 817–818. DOI : 10.2307 / 2974510 . JSTOR 2974510 .
- ^ Б с д е е г ч Блэкберн, Кайл (4 мая 2012 г.). «Тест сходимости отношения mth и другие нетрадиционные тесты сходимости» (PDF) . Колледж искусств и наук Вашингтонского университета . Проверено 27 ноября 2018 года .
- ^ а б в г д е Дюриш, Франтишек (2009). Бесконечная серия: тесты сходимости (диплом бакалавра). Katedra Informatiky, Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky, Univerzita Komenského, Братислава . Проверено 28 ноября 2018 .
- ^ а б Дюриш, Франтишек (2 февраля 2018 г.). «О тесте сходимости Куммера и его отношении к основным сравнительным тестам». arXiv : 1612.05167 [ math.HO ].
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Тест Раабе» . MathWorld .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Тест Бертрана» . MathWorld .
- ^ Мартин, Маргарет (1941). «Последовательность предельных тестов на сходимость рядов» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 47 (6): 452–457. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1941-07477-X .
- ^ Абрамов, Вячеслав М. (2020). «Расширение теста Бертрана – Де Моргана и его применение». Американский математический ежемесячник . 127 (5): 444–448. arXiv : 1901.05843 . DOI : 10.1080 / 00029890.2020.1722551 . S2CID 199552015 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Тест Куммера» . MathWorld .
- ^ Али, Сайел; Коэн, Марион Дойче (2012). "тесты phi-ratio" . Elemente der Mathematik . 67 (4): 164–168. DOI : 10,4171 / EM / 206 .
Рекомендации
- Д'Аламбер, J. (1768), Opuscules , V , стр. 171–183..
- Апостол, Том М. (1974), Математический анализ (2-е изд.), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-00288-1: §8.14.
- Кнопп, Конрад (1956), Бесконечные последовательности и серии , Нью-Йорк: Dover Publications, Bibcode : 1956iss..book ..... K , ISBN 978-0-486-60153-3: §3.3, 5.4.
- Рудин, Уолтер (1976), Принципы математического анализа (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill, Inc., ISBN 978-0-07-054235-8: §3.34.
- «Критерий Бертрана» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- «Критерий Гаусса» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- «Критерий Куммера» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Уотсон, Г. Н.; Whittaker, ET (1963), Курс современного анализа (4-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2: §2.36, 2.37.