Обозначение ДеВитта

Физика часто имеет дело с классическими моделями, в которых динамические переменные представляют собой набор функций { φ ^α } _α над d-мерным пространством / пространством-временем M многообразием, где α - индекс « аромата ». Это включает функционалы от φ , функциональные производные , функциональные интегралы и т. Д. С функциональной точки зрения это эквивалентно работе с бесконечномерным гладким многообразием, где его точки являются назначением функции для каждого α , а процедура аналогична дифференциальной геометрии где координаты точки x многообразия M равны φ ^α ( x ).

В нотации ДеВитта (названной в честь физика-теоретика Брайса ДеВитта ) φ ^α ( x ) записывается как φ ^i, где i теперь понимается как индекс, охватывающий как α, так и x .

Итак, для гладкого функционала A , A _{, i} обозначает функциональную производную

{\ Displaystyle A _ {, я} [\ varphi] \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {\ delta} {\ delta \ varphi ^ {\ alpha} (x)}} А [\ varphi]}

как функционал от φ . Другими словами, поле « 1-формы » над бесконечномерным «функциональным многообразием».

В интегралах используется соглашение Эйнштейна о суммировании . В качестве альтернативы,

{\ displaystyle A ^ {i} B_ {i} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {M} \ sum _ {\ alpha} A ^ {\ alpha} (x) B _ {\ alpha} (x) d ^ {d} x}

Ссылки [ править ]

Кифер, Клаус (апрель 2007 г.). Квантовая гравитация (твердый переплет) (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. п. 361. ISBN. 978-0-19-921252-1.

Эта статья о физике незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .