В теории чисел , гипотеза полиньяка была сделана Альфонс де Полиньяк в 1849 году и гласит: [1]
- Для любого положительного четного числа n существует бесконечно много простых пробелов размера n . Другими словами: существует бесконечно много случаев двух последовательных простых чисел с разностью n . [2]
Хотя гипотеза еще не была доказана или опровергнута ни для одного данного значения n , в 2013 году важный прорыв был сделан Чжан Итаном, который доказал, что существует бесконечно много пробелов между простыми числами размера n для некоторого значения n <70 000 000. [3] [4] Позже в том же году Джеймс Мейнард объявил о соответствующем прорыве, который доказал, что существует бесконечно много промежутков между простыми числами, размер которых меньше или равен 600. [5] По состоянию на 14 апреля 2014 года, через год после объявления Чжана. Согласно вики проекта Polymath , n было сокращено до 246. [6]Далее, принимая гипотезу Эллиотта – Халберштама и ее обобщенную форму, вики проекта Polymath утверждает, что n было уменьшено до 12 и 6 соответственно. [7]
При n = 2 это гипотеза простого близнеца . Для n = 4 он говорит, что существует бесконечно много двоюродных простых чисел ( p , p + 4). Для n = 6 он говорит, что существует бесконечно много сексуальных простых чисел ( p , p + 6) без простого числа между p и p + 6.
Гипотеза Диксона обобщает гипотезу Полиньяка на все простые созвездия.
Предполагаемая плотность
Позволять для четного n - количество простых пробелов размера n ниже x .
Первая гипотеза Харди – Литтлвуда гласит, что асимптотическая плотность имеет вид
где C n - функция от n , аозначает, что частное двух выражений стремится к 1, когда x стремится к бесконечности. [8]
C 2 - двойная простая константа
где произведение распространяется на все простые числа p ≥ 3.
C n - это C 2, умноженное на число, которое зависит от нечетных простых множителей q числа n :
Например, C 4 = C 2 и C 6 = 2 C 2 . Простые числа-близнецы имеют ту же предполагаемую плотность, что и простые числа кузенов, и вдвое меньшую, чем у сексуальных простых чисел.
Обратите внимание, что каждый нечетный простой множитель q из n увеличивает предполагаемую плотность по сравнению с простыми числами-близнецами в раз. Эвристический аргумент следующим образом . Он основан на некоторых недоказанных предположениях, поэтому вывод остается лишь предположением. Вероятность случайного нечетного простого д деления либо или + 2 в случайном «потенциального» двойной прайм пары, поскольку q делит 1 из q чисел от a до a + q - 1. Теперь предположим, что q делит n, и рассмотрим потенциальную простую пару ( a , a + n ). q делит a + n тогда и только тогда, когда q делит a , и вероятность этого равна. Вероятность того, что ( a , a + n ) не зависит от фактора q , деленная на вероятность того, что ( a , a + 2 ) свободна от q , тогда становится деленное на . Это равночто переходит в предполагаемую простую плотность. В случае n = 6 аргумент упрощается: если a - случайное число, то 3 имеет шанс 2/3 деления a или a + 2, но только шанс 1/3 деления a и a + 6, поэтому Предполагается, что вероятность того, что последняя пара будет простой, вдвое выше.
Заметки
- ^ де Полиньяк, А. (1849). "Recherches nouvelles sur les nombres premiers" [Новое исследование простых чисел]. Comptes rendus (на французском). 29 : 397–401.С п. 400: «1 er Théorème. Всякая пара существует как разность deux nombres premiers consécutifs d'une infinité de manières…» (1- я теорема. Каждое четное число равно разности двух последовательных простых чисел в бесконечном числе. способов…)
- ^ Таттерсолл, Дж. Дж. (2005), Элементарная теория чисел в девяти главах , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-85014-8, п. 112
- ^ Чжан, Итанг (2014). «Ограниченные промежутки между простыми числами». Анналы математики . 179 (3): 1121–1174. DOI : 10.4007 / annals.2014.179.3.7 . Руководство по ремонту 3171761 . Zbl 1290.11128 . (требуется подписка)
- ^ Кларрайх, Эрика (19 мая 2013 г.). «Неизвестный математик преодолевает главный разрыв» . Саймонс Сайенс Новости . Проверено 21 мая 2013 года .
- ^ Ожеро, Бенджамин (15 января 2014 г.). "Старая математическая загадка, которую предстоит разгадать?" . Phys.org . Проверено 10 февраля 2014 .
- ^ «Ограниченные промежутки между простыми числами» . Polymath . Проверено 27 марта 2014 .
- ^ «Ограниченные промежутки между простыми числами» . Polymath . Проверено 21 февраля 2014 .
- ^ Бейтман, Пол Т .; Даймонд, Гарольд Г. (2004), Аналитическая теория чисел , World Scientific, стр. 313, ISBN 981-256-080-7, Zbl 1074,11001.
Рекомендации
- Альфонс де Полиньяк, Новые поиски премьер-министров . Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences (1849)
- Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза де Полиньяка» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза k-кортежей» . MathWorld .