Декомпозиция модуля

В абстрактной алгебре декомпозиция модуля - это способ записать модуль как прямую сумму модулей . Тип разложения часто используется для определения или характеристики модулей: например, полупростой модуль - это модуль, который имеет разложение на простые модули. Для данного кольца типы разложения модулей над кольцом также могут использоваться для определения или характеристики кольца: кольцо полупросто тогда и только тогда, когда каждый модуль над ним является полупростым модулем.

Неразложимый модуль представляет собой модуль , который не является прямой суммой двух ненулевых подмодулей. Теорема Адзумая утверждает, что если модуль имеет разложение на модули с локальными кольцами эндоморфизмов, то все разложения на неразложимые модули эквивалентны друг другу; частный случай этого, особенно в теории групп, известен как теорема Крулля – Шмидта .

Частным случаем разложения модуля является разложение кольца: например, кольцо полупростое тогда и только тогда, когда оно является прямой суммой (фактически произведением) матричных колец над телами (это наблюдение известно как Артин-Wedderburn ).

Идемпотенты и разложения [ править ]

Дать разложение модуля на подмодули прямой суммой - это то же самое, что дать ортогональные идемпотенты в кольце эндоморфизмов модуля, суммирующие тождественное отображение. ^{[1] В} самом деле, если тогда для каждого из них линейный эндоморфизм, задаваемый естественной проекцией с последующим естественным включением, является идемпотентом. Они явно ортогональны друг другу ( для ) и суммируют:${\ textstyle M = \ bigoplus _ {я \ in I} M_ {я}}$${\ displaystyle i \ in I}$${\ displaystyle e_ {i}: от M \ до M_ {i} \ hookrightarrow M}$${\ displaystyle e_ {i} e_ {j} = 0}$${\ displaystyle i \ neq j}$

${\ displaystyle 1 _ {\ operatorname {M}} = \ sum _ {i \ in I} e_ {i}}$

как эндоморфизмы (здесь суммирование хорошо определено, поскольку это конечная сумма на каждом элементе модуля). И наоборот, каждый набор ортогональных идемпотентов такой, что только конечное их число отличны от нуля для каждого, и определяют разложение прямой суммы, принимая за изображения .${\ Displaystyle \ {е_ {я} \} _ {я \ в I}}$${\ Displaystyle е_ {я} (х)}$${\ displaystyle x \ in M}$$\ sum e_ {i} = 1_ {M}$${\ displaystyle M_ {i}}$${\ displaystyle e_ {i}}$

Этот факт уже накладывает некоторые ограничения на возможное разложение кольца: пусть кольцо , предположим, что есть разложение${\ displaystyle R}$

${\displaystyle {}_{R}R=\bigoplus _{a\in A}I_{a}}$

в качестве левого модуля над собой, где находятся левые подмодули; т.е. левые идеалы. Каждый эндоморфизм можно отождествить с правым умножением на элемент R ; таким образом, где находятся идемпотенты . ^[2] Суммирование идемпотентных эндоморфизмов соответствует разложению единицы R :, которое обязательно является конечной суммой; в частности, должно быть конечное множество.${\displaystyle R}$${\displaystyle I_{a}}$${\displaystyle {}_{R}R\to {}_{R}R}$${\displaystyle I_{a}=Re_{a}}$${\displaystyle e_{a}}$${\displaystyle \operatorname {End} ({}_{R}R)\simeq R}$${\textstyle 1_{R}=\sum _{a\in A}e_{a}\in \bigoplus _{a\in A}I_{a}}$${\displaystyle A}$

Например, возьмем , кольцо п матрицу с размерностью п матриц над телом D . Тогда прямая сумма n копий столбцов; каждый столбец является простым левым R -подмодулем или, другими словами, минимальным левым идеалом. ^[3]${\displaystyle R={\mathsf {M}}_{n}(D)}$${\displaystyle {}_{R}R}$${\displaystyle D^{n}}$

Пусть R - кольцо. Предположим, что существует его (обязательно конечное) разложение как левый модуль над собой

${\displaystyle {}_{R}R=R_{1}\oplus \cdots \oplus R_{n}}$

в двусторонние идеалы из R . Как и выше, для некоторых ортогональных идемпотентов, таких что . Так как это идеал, так и для . Тогда для каждого I ,${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle R_{i}=Re_{i}}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle 1=\sum _{1}^{n}e_{i}}$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle e_{i}R\subset R_{i}}$${\displaystyle e_{i}Re_{j}\subset R_{i}\cap R_{j}=0}$${\displaystyle i\neq j}$

${\displaystyle e_{i}r=\sum _{j}e_{j}re_{i}=\sum _{j}e_{i}re_{j}=re_{i}.}$

То есть находятся в центре ; т. е. они являются центральными идемпотентами. ^[4] Ясно, что аргумент можно перевернуть, и поэтому существует взаимно однозначное соответствие между разложением прямой суммы на идеалы и ортогональными центральными идемпотентами, суммирующими до единицы 1. Кроме того, каждый сам по себе является кольцом. справа, единица, заданная как , и, как кольцо, R - кольцо произведения${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle R_{1}\times \cdots \times R_{n}.}$

Например, снова возьмем . Это кольцо - простое кольцо; в частности, в нем нет нетривиального разложения на двусторонние идеалы.${\displaystyle R={\mathsf {M}}_{n}(D)}$

Типы декомпозиции [ править ]

Было изучено несколько типов разложений на прямую сумму:

• Полупростая декомпозиция : прямая сумма простых модулей.
• Неразложимая декомпозиция : прямая сумма неразложимых модулей.
• Разложение с локальными кольцами эндоморфизмов ^[5] (см. Теорему # Адзумая ): прямая сумма модулей, кольца эндоморфизмов которых являются локальными кольцами (кольцо является локальным, если для каждого элемента x либо x, либо 1 - x является единичным элементом) .
• Последовательная декомпозиция : прямая сумма цепных модулей (модуль цепной, если решетка подмодулей является конечной цепью ^[6] ).

Поскольку простой модуль неразложим, полупростая декомпозиция является неразложимой (но не наоборот). Если кольцо эндоморфизмов модуля локально, то, в частности, оно не может иметь нетривиального идемпотента: модуль неразложим. Таким образом, разложение с локальными кольцами эндоморфизмов является неразложимым разложением.

Прямое слагаемое называется максимальным, если оно допускает неразложимое дополнение. Говорят, что разложение дополняет максимальные прямые слагаемые, если для каждого максимального прямого слагаемого L в M существует такое подмножество , что ${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}$${\displaystyle J\subset I}$

${\displaystyle M=\left(\bigoplus _{j\in J}M_{j}\right)\bigoplus L.}$^[7]

Два разложения называются эквивалентными , если существует взаимно однозначное соответствие , что для каждого , . ^[7] Если модуль допускает неразложимую декомпозицию, дополняющую максимальные прямые слагаемые, то любые две неразложимые декомпозиции модуля эквивалентны. ^[8]${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}=\bigoplus _{j\in J}N_{j}}$${\displaystyle \varphi :I{\overset {\sim }{\to }}J}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle M_{i}\simeq N_{\varphi (i)}}$

Теорема Адзумая [ править ]

В простейшей форме теорема Адзумая гласит: ^[9] при таком разложении , что кольцо эндоморфизмов каждого является локальным (так что разложение неразложимо), каждое неразложимое разложение M эквивалентно данному разложению. Более точная версия теоремы гласит: ^[10] все еще дано такое разложение, если , то${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}$${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle M=N\oplus K}$

1. если ненулевой, N содержит неразложимое прямое слагаемое,
2. если неразложим, то его кольцо эндоморфизмов локально ^[11] и дополняется данным разложением:${\displaystyle N}$${\displaystyle K}$

   ${\textstyle M=M_{j}\oplus K}$и так для некоторых ,${\displaystyle M_{j}\simeq N}$${\displaystyle j\in I}$

3. для каждого существуют прямые слагаемые от и от таких, что .${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle N'}$${\displaystyle N}$${\displaystyle K'}$${\displaystyle K}$${\displaystyle M=M_{i}\oplus N'\oplus K'}$

Кольцо эндоморфизмов неразложимого модуля конечной длины является локальным (например, по лемме Фиттинга ), и, таким образом, теорема Адзумая применима к установке теоремы Крулля – Шмидта . В самом деле, если M - модуль конечной длины, то индукцией по длине он имеет конечное неразложимое разложение , которое является разложением с локальными кольцами эндоморфизмов. Теперь предположим, что нам дано неразложимое разложение . Тогда она должна быть эквивалентна первой: так и для некоторой перестановки из . Точнее, так как для некоторых неразложим . Затем, поскольку неразложим, и так далее; т.е. дополнения к каждой сумме${\textstyle M=\bigoplus _{i=1}^{n}M_{i}}$${\textstyle M=\bigoplus _{i=1}^{m}N_{i}}$${\displaystyle m=n}$${\displaystyle M_{i}\simeq N_{\sigma (i)}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$${\displaystyle N_{1}}$${\textstyle M=M_{i_{1}}\bigoplus (\bigoplus _{i=2}^{n}N_{i})}$${\displaystyle i_{1}}$${\displaystyle N_{2}}$${\textstyle M=M_{i_{1}}\bigoplus M_{i_{2}}\bigoplus (\bigoplus _{i=3}^{n}N_{i})}$${\textstyle \bigoplus _{i=l}^{n}N_{i}}$можно рассматривать как прямые суммы некоторых .${\displaystyle M_{i}}$

Другое приложение - это следующее утверждение (которое является ключевым шагом в доказательстве теоремы Капланского о проективных модулях ):

• Принимая во внимание элемент , существует прямое слагаемое из и подмножество такое , что и .${\displaystyle x\in N}$${\displaystyle H}$${\displaystyle N}$${\displaystyle J\subset I}$${\displaystyle x\in H}$${\textstyle H\simeq \bigoplus _{j\in J}M_{j}}$

Чтобы убедиться в этом, выберите конечное множество таких, что . Тогда, написав , по теореме Адзумая, в некоторых прямых слагаемых из , а затем, по модульному закону , с . Тогда, поскольку является прямым слагаемым в , мы можем написать и затем , что означает, поскольку F конечно, это для некоторого J путем повторного применения теоремы Адзумая.${\displaystyle F\subset I}$${\textstyle x\in \bigoplus _{j\in F}M_{j}}$${\displaystyle M=N\oplus L}$${\displaystyle M=(\oplus _{j\in F}M_{j})\oplus N_{1}\oplus L_{1}}$${\displaystyle N_{1},L_{1}}$${\displaystyle N,L}$${\displaystyle N=H\oplus N_{1}}$${\displaystyle H=(\oplus _{j\in F}M_{j}\oplus L_{1})\cap N}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L=L_{1}\oplus L_{1}'}$${\displaystyle \oplus _{j\in F}M_{j}\simeq H\oplus L_{1}'}$${\displaystyle H\simeq \oplus _{j\in J}M_{j}}$

В установке теоремы Адзумайи, если, кроме того, каждая из них генерируется счетно , то имеется следующее уточнение (первоначально Кроули-Йонссон, а затем Варфилд): изоморфен для некоторого подмножества . ^[12] (В некотором смысле, это расширение теоремы Капланского и доказывается двумя леммами, использованными в доказательстве теоремы.) Согласно ( Facchini 1998 ) , неизвестно, может ли предположение « счетно порожденное» быть отброшенным; т.е. эта доработанная версия верна в целом.${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \bigoplus _{j\in J}M_{j}}$${\displaystyle J\subset I}$ harv error: no target: CITEREFFacchini1998 (help)${\displaystyle M_{i}}$

Разложение кольца [ править ]

Что касается разложения кольца, самое основное, но все же важное наблюдение, известное как теорема Артина – Веддерберна, заключается в следующем: для кольца R следующие условия эквивалентны:

1. R - полупростое кольцо ; т.е. является полупростым левым модулем.${\displaystyle {}_{R}R}$
2. ${\displaystyle R\simeq \prod _{i=1}^{r}{\mathsf {M}}_{m_{i}}(D_{i})}$где обозначает кольцо п матрицу с размерностью п матриц и положительных целых чисел определяются R (но «ы не определяются R ).${\displaystyle {\mathsf {M}}_{n}(D)}$${\displaystyle r,m_{1},\dots ,m_{r}}$${\displaystyle D_{i}}$
3. Каждый левый модуль над R полупрост.

Чтобы убедиться в эквивалентности первых двух, обратите внимание: если где - взаимно неизоморфные левые минимальные идеалы, то, с учетом того, что эндоморфизмы действуют справа,${\textstyle {}_{R}R\simeq \bigoplus _{i=1}^{r}I_{i}^{\oplus m_{i}}}$${\displaystyle I_{i}}$

${\displaystyle R\simeq \operatorname {End} ({}_{R}R)\simeq \bigoplus _{i=1}^{r}\operatorname {End} (I_{i}^{\oplus m_{i}})}$

где каждый можно рассматривать как матричное кольцо над телом . (Обратное, потому что разложение 2. эквивалентно разложению на минимальные левые идеалы = простые левые подмодули.) Эквивалентность 1. 3. состоит в том, что каждый модуль является частным свободного модуля, а частное полупростого модуля равно явно полупростой.${\displaystyle \operatorname {End} (I_{i}^{\oplus m_{i}})}$${\displaystyle D_{i}=\operatorname {End} (I_{i})}$${\displaystyle \Leftrightarrow }$

См. Также [ править ]

• чисто инъективный модуль

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Андерсон, Фрэнк У .; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Тексты для выпускников по математике , 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. X + 376, doi : 10.1007 / 978-1-4612- 4418-9 , ISBN 0-387-97845-3, Руководство по ремонту  1245487
• Фрэнк В. Андерсон, Лекции о некоммутативных кольцах , Орегонский университет, осень, 2002.
• Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , 2 (2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-47187-7
• Ю. Лам, работы Басса по теории колец и проективных модулях [MR 1732042]
• Клаудио Прочези (2007) Группы Ли: подход через инварианты и представление , Springer, ISBN 9780387260402 . 
• Р. Варфилд: Обмен кольцами и разложения модулей, Math. Annalen 199 (1972), 31-36.