Задача о покрытии диска требует наименьшего действительного числа такой, что диски радиусамогут быть расположены таким образом, чтобы закрывать единичный диск . Кроме того, для заданного радиуса ε нужно найти наименьшее целое число n такое, чтобы n дисков радиуса ε могли покрыть единичный диск. [1]
Лучшие решения, известные на сегодняшний день, следующие, хотя обновленные границы можно найти [здесь | https://mathworld.wolfram.com/DiskCoveringProblem.html ].
п | г (п) | Симметрия |
---|---|---|
1 | 1 | Все |
2 | 1 | Все (2 диска в стопке) |
3 | = 0,866025 ... | 120 °, 3 отражения |
4 | = 0,707107 ... | 90 °, 4 отражения |
5 | 0.609382 ... OEIS : A133077 | 1 отражение |
6 | 0,555905 ... OEIS : A299695 | 1 отражение |
7 | = 0,5 | 60 °, 6 отражений |
8 | 0,445041 ... | ~ 51,4 °, 7 отражений |
9 | 0,414213 ... | 45 °, 8 отражений |
10 | 0,394930 ... | 36 °, 9 отражений |
11 | 0,380083 ... | 1 отражение |
12 | 0,361141 ... | 120 °, 3 отражения |
Метод
На следующем рисунке показан пример пунктирного диска радиуса 1, покрытого шестью сплошными дисками радиуса ~ 0,6. Один из покрывающих дисков расположен в центре, а остальные пять симметрично вокруг него.
Хотя это не лучшая компоновка для r (6), аналогичное расположение шести, семи, восьми и девяти дисков вокруг центрального диска, имеющих одинаковый радиус, приводит к лучшим стратегиям компоновки для r (7), r (8), r (9) и r (10) соответственно. Соответствующие углы θ записаны в столбце «Симметрия» в приведенной выше таблице. Фотографии, показывающие эти устройства, можно найти в Friedman, Erich. «круги, покрывающие круги» . Проверено 4 мая 2016 .
Рекомендации
- ^ Кершнер, Ричард (1939), "Число кругов , охватывающее множество", Американский журнал математика , 61 : 665-671, DOI : 10,2307 / 2371320 , MR 0000043.
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. "Проблема покрытия диска" . MathWorld .
- Финч, С. Р. "Круговые константы покрытия". §2.2 в Математических константах. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета, стр. 484–489, 2003.
- Иллюстрации кругов, покрывающих круги