Двулучепреломление

Кальцита кристалл положили на миллиметровой бумаге с синими линиями , показывающими двойное лучепреломление

Флуоресценция в кристалле кальцита и двойное лучепреломление, когда лазерный луч разделяется на две части при движении слева направо

Двулучепреломление - это оптическое свойство материала, имеющего показатель преломления, который зависит от поляризации и направления распространения света . ^[1] Эти оптически анизотропные материалы называют двулучепреломляющими (или двулучепреломляющими ). Двулучепреломление часто количественно определяется как максимальная разница между показателями преломления материала. Кристаллы с некубической кристаллической структурой часто обладают двойным лучепреломлением, как и пластмассы при механических нагрузках .

Двулучепреломление отвечает за явление двойного лучепреломления, при котором луч света, падая на материал с двойным лучепреломлением, разделяется поляризацией на два луча, идущих по несколько разным путям. Этот эффект был впервые описан датским ученым Расмусом Бартолином в 1669 году, который наблюдал его ^[2] в кальците , кристалле, имеющем одно из самых сильных двулучепреломлений. Однако только в 19 веке Огюстен-Жан Френель описал это явление в терминах поляризации, понимая свет как волну с компонентами поля в поперечной поляризации (перпендикулярной направлению волнового вектора).

Объяснение [ править ]

Входящий свет в параллельной ( p ) поляризации имеет другой эффективный показатель преломления, чем свет в перпендикулярной ( s ) поляризации, и поэтому преломляется под другим углом.

Математическое описание распространения волн в двулучепреломляющей среде представлено ниже . Ниже приводится качественное объяснение явления.

Одноосные материалы [ править ]

Простейший тип двулучепреломления описывается как одноосное , что означает, что существует одно направление, определяющее оптическую анизотропию, тогда как все направления, перпендикулярные ему (или под заданным углом к ​​нему), оптически эквивалентны. Таким образом, вращение материала вокруг этой оси не меняет его оптических свойств. Это особое направление известно как оптическая ось материала. Свет, распространяющийся параллельно оптической оси (поляризация которой всегда перпендикулярна оптической оси), определяется показателем преломления n _o(для «обычного») независимо от его конкретной поляризации. Для лучей с любым другим направлением распространения существует одна линейная поляризация, которая будет перпендикулярна оптической оси, и луч с такой поляризацией называется обычным лучом и определяется тем же значением показателя преломления n _o . Однако для луча, распространяющегося в том же направлении, но с поляризацией, перпендикулярной поляризации обычного луча, направление поляризации будет частично совпадать с направлением оптической оси, и этот необычный луч будет управляться другим, зависящим от направленияпоказатель преломления. Поскольку показатель преломления зависит от поляризации, когда неполяризованный свет входит в одноосный двулучепреломляющий материал, он разделяется на два луча, движущихся в разных направлениях, один из которых имеет поляризацию обычного луча, а другой - поляризацию необычного луча. Обычный луч всегда будет иметь показатель преломления n _o , тогда как показатель преломления необычного луча будет находиться между n _o и n _e , в зависимости от направления луча, описываемого эллипсоидом показателей . Величина разницы количественно определяется двулучепреломлением: ^{[ требуется проверка ]}

${\ displaystyle \ Delta n = n _ {\ mathrm {e}} -n _ {\ mathrm {o}} \ ,.}$

Распространение (а также коэффициент отражения ) обычного луча просто описывается словом n _o, как если бы здесь не было двойного лучепреломления. Однако необычный луч, как следует из его названия, распространяется в отличие от любой волны в изотропном оптическом материале. Его преломление (и отражение) от поверхности можно понять, используя эффективный показатель преломления (значение между n _o и n _e ). Однако его поток мощности (заданный вектором Пойнтинга ) не совпадает с направлением волнового вектора . Это вызывает дополнительный сдвиг в этом луче, даже когда он запускается при нормальном падении, что обычно наблюдается при использовании кристалла кальцита.как на фото выше. Вращение кристалла кальцита заставит одно из двух изображений, изображение необычного луча, слегка повернуться вокруг изображения обычного луча, которое остается неизменным. ^{[ требуется проверка ]}

Когда свет распространяется либо вдоль оптической оси, либо перпендикулярно ей, такого бокового смещения не происходит. В первом случае обе поляризации перпендикулярны оптической оси и имеют один и тот же эффективный показатель преломления, поэтому необычный луч отсутствует. Во втором случае необыкновенный луч распространяется с другой фазовой скоростью (соответствующей n _e ), но по-прежнему имеет поток мощности в направлении волнового вектора . Кристалл, оптическая ось которого находится в этой ориентации, параллельной оптической поверхности, может использоваться для создания волновой пластины , в которой нет искажения изображения, а происходит преднамеренное изменение состояния поляризации падающей волны. Например, четвертьволновая пластинкаобычно используется для создания круговой поляризации от линейно поляризованного источника.

Биаксиальные материалы [ править ]

Существенно сложнее случай так называемых двухосных кристаллов. ^[3] Они характеризуются тремя показателями преломления, соответствующими трем главным осям кристалла. Для большинства направлений лучей обе поляризации можно классифицировать как необычные лучи, но с разными эффективными показателями преломления. Однако, поскольку это необычные волны, направление потока мощности не совпадает с направлением волнового вектора в любом случае.

Два показателя преломления могут быть определены с использованием эллипсоидов показателя преломления для заданных направлений поляризации. Обратите внимание, что для двухосных кристаллов эллипсоид показателя преломления не будет эллипсоидом вращения (« сфероидом »), а описывается тремя неравными основными показателями преломления n _α , n _β и n _γ . Таким образом, не существует оси, вокруг которой вращение оставляет неизменными оптические свойства (как в случае одноосных кристаллов, эллипсоид показателей которых является сфероидом).

Хотя оси симметрии нет, есть две оптические оси или бинормали, которые определяются как направления, вдоль которых свет может распространяться без двойного лучепреломления, то есть направления, вдоль которых длина волны не зависит от поляризации. ^[3] По этой причине материалы с двойным лучепреломлением с тремя различными показателями преломления называются двухосными . Кроме того, есть две различные оси, известные как оси оптических лучей или бирадиалы, вдоль которых групповая скорость света не зависит от поляризации.

Двойное лучепреломление [ править ]

Когда произвольный луч света попадает на поверхность двулучепреломляющего материала, поляризации, соответствующие обыкновенным и необыкновенным лучам, обычно имеют несколько разные пути. Неполяризованный свет состоит из равных количеств энергии в любых двух ортогональных поляризациях, и даже поляризованный свет (за исключением особых случаев) будет иметь некоторую энергию в каждой из этих поляризаций. Согласно закону преломления Снеллиуса , угол преломления будет определяться эффективным показателем преломления, который различается между этими двумя поляризациями. Это ясно видно, например, в призме Волластона, которая предназначена для разделения падающего света на две линейные поляризации с использованием двулучепреломляющего материала, такого каккальцит .

Различные углы преломления для двух составляющих поляризации показаны на рисунке вверху страницы с оптической осью вдоль поверхности (и перпендикулярно плоскости падения ), так что угол преломления для p поляризация (в данном случае «обыкновенный луч», электрический вектор которого перпендикулярен оптической оси) и s- поляризация («необыкновенный луч» с поляризационной составляющей вдоль оптической оси). Кроме того, отчетливая форма двойного лучепреломления возникает в тех случаях, когда оптическая ось не проходит вдоль преломляющей поверхности (и не точно перпендикулярна ей); в этом случае диэлектрическая поляризация двулучепреломляющего материала не точно совпадает с направлением волныэлектрическое поле необыкновенного луча. Направление потока мощности (заданное вектором Пойнтинга ) для этой неоднородной волны находится под конечным углом к ​​направлению волнового вектора, что приводит к дополнительному разделению между этими лучами. Таким образом, даже в случае нормального падения, когда угол преломления равен нулю (согласно закону Снеллиуса, независимо от эффективного показателя преломления), энергия необыкновенного луча может распространяться под углом. Это обычно наблюдается при использовании куска кальцита, отрезанного соответствующим образом относительно его оптической оси, помещенного над бумагой с надписью, как на двух фотографиях выше.

Терминология [ править ]

Большая часть работ, связанных с поляризацией, предшествовала пониманию света как поперечной электромагнитной волны , и это повлияло на некоторую используемую терминологию. Изотропные материалы обладают симметрией во всех направлениях, а показатель преломления одинаков для любого направления поляризации. Анизотропный материал называется «двулучепреломляющим», потому что он обычно преломляет один входящий луч в двух направлениях, которые, как мы теперь понимаем, соответствуют двум различным поляризациям. Это верно как для одноосного, так и для двухосного материала.

В одноосном материале один луч ведет себя согласно нормальному закону преломления (соответствующему обычному показателю преломления), поэтому падающий луч при нормальном падении остается нормальным к преломляющей поверхности. Однако, как объяснялось выше, другая поляризация может отклоняться от нормального падения, что не может быть описано с помощью закона преломления. Таким образом, он стал известен как необыкновенный луч . Термины «обычный» и «необычный» по-прежнему применяются к компонентам поляризации, перпендикулярным и не перпендикулярным оптической оси соответственно, даже в случаях, когда отсутствует двойное лучепреломление.

Материал называется одноосным, если его оптические свойства имеют одно направление симметрии, которое мы называем оптической осью. Это также ось симметрии эллипсоида индекса (в данном случае сфероида). Эллипсоид показателей все еще может быть описан в соответствии с показателями преломления n _α , n _β и n _γ по трем координатным осям, однако в этом случае два равны. Таким образом, если n _α = n _β, соответствующее осям x и y , то необычным индексом будет n _γ, соответствующий оси zось, которую в данном случае также называют оптической осью .

Однако материалы, у которых все три показателя преломления различны, называются двухосными, и происхождение этого термина более сложно и часто неправильно понимается. В одноосном кристалле разные поляризационные компоненты луча будут двигаться с разными фазовыми скоростями, за исключением лучей в направлении, которое мы называем оптической осью. Таким образом, оптическая ось имеет особое свойство: лучи в этом направлении не падают.проявляют двойное лучепреломление, причем все поляризации в таком пучке имеют одинаковый показатель преломления. Совсем другое дело, когда все три основных показателя преломления различны; тогда входящий луч в любом из этих основных направлений по-прежнему будет иметь два разных показателя преломления. Но оказывается, что есть два особых направления (под углом ко всем 3 осям), где показатели преломления для разных поляризаций снова равны. По этой причине эти кристаллы были обозначены как двухосные , причем две «оси» в данном случае относятся к направлениям лучей, в которых при распространении отсутствует двулучепреломление.

Быстрые и медленные лучи [ править ]

В материале с двойным лучепреломлением волна состоит из двух компонентов поляризации, которые обычно определяются разными эффективными показателями преломления. Так называемый медленный луч - это компонент, для которого материал имеет более высокий эффективный показатель преломления (более низкую фазовую скорость), а быстрый луч - это тот, у которого более низкий эффективный показатель преломления. Когда луч падает на такой материал из воздуха (или любого материала с более низким показателем преломления), медленный луч, таким образом, преломляется больше к нормали, чем быстрый луч. На рисунке вверху страницы видно, что преломленный луч с s- поляризацией (с его электрическими колебаниями в направлении оптической оси, таким образом, необычный луч ^[4] ) в данном случае является медленным лучом.

Используя тонкую пластину из этого материала при нормальном падении, можно реализовать волновую пластину . В этом случае по существу нет пространственного разделения между поляризациями, однако фаза волны в параллельной поляризации (медленный луч) будет запаздывать по отношению к перпендикулярной поляризации. Таким образом, эти направления известны как медленная ось и быстрая ось волновой пластины.

Положительный или отрицательный [ править ]

Одноосное двулучепреломление классифицируется как положительное, если необыкновенный показатель преломления n _e больше обычного показателя n _o . Отрицательное двулучепреломление означает, что Δ n = n _e - n _o меньше нуля. ^[5] Другими словами, поляризация быстрой (или медленной) волны перпендикулярна оптической оси, когда двулучепреломление кристалла положительно (или отрицательно, соответственно). В случае двухосных кристаллов все три главные оси имеют разные показатели преломления, поэтому это обозначение не применяется. Но для любого заданного направления луча можно точно так же обозначить быструю и медленную поляризации луча.

Источники оптического двулучепреломления [ править ]

Хотя двулучепреломление обычно достигается с использованием анизотропного кристалла, оно может быть результатом оптически изотропного материала несколькими способами:

• Двулучепреломление под напряжением возникает, когда изотропные материалы подвергаются напряжению или деформации (т.е. растягиваются или изгибаются), вызывая потерю физической изотропии и, как следствие, потерю изотропии тензора диэлектрической проницаемости материала.
• Круговое двойное лучепреломление в жидкостях, где имеется избыток энантиомеров в растворе, содержащем молекулу, имеющую стереоизомеры .
• Формируют двойное лучепреломление, при котором элементы конструкции, такие как стержни, имеющие один показатель преломления, подвешены в среде с другим показателем преломления. Когда шаг решетки намного меньше длины волны, такая структура описывается как метаматериал .
• К эффекта Керра , в результате чего приложенного электрического поля индуцирует двойное лучепреломление на оптических частотах через эффект нелинейной оптики ;
• С помощью эффекта Фарадея , когда магнитное поле заставляет некоторые материалы становиться циркулярно двулучепреломляющими (с немного разными показателями преломления для левой и правой круговой поляризации ), делая материал оптически активным до тех пор, пока поле не исчезнет;
• Самостоятельным или принудительным выравниванием в тонкие пленки амфифильных молекул, таких как липиды , некоторые поверхностно-активные вещества или жидкие кристаллы.

Обычные двулучепреломляющие материалы [ править ]

Лучше всего двулучепреломляющие материалы - это кристаллы . Благодаря их специфическим кристаллическим структурам их показатели преломления хорошо определены. В зависимости от симметрии кристаллической структуры (определяемой одной из 32 возможных кристаллографических точечных групп ) кристаллы в этой группе могут быть изотропными (не двулучепреломляющими), иметь одноосную симметрию или не иметь ни одной из них, в этом случае двухосный кристалл. Кристаллические структуры, допускающие одноосное и двухосное двулучепреломление, указаны в двух таблицах ниже, в которых перечислены два или три основных показателя преломления (при длине волны 590 нм) некоторых более известных кристаллов. ^[6]

Многие пластмассы обладают двойным лучепреломлением, потому что их молекулы «заморожены» в растянутой форме при формовании или экструзии пластмассы. ^[7] Например, обычный целлофан обладает двойным лучепреломлением. Поляризаторы обычно используются для определения напряжения в пластмассах, таких как полистирол и поликарбонат .

Хлопковое волокно обладает двойным лучепреломлением из-за высокого уровня целлюлозного материала во вторичной клеточной стенке волокна.

Микроскопия в поляризованном свете обычно используется в биологических тканях, так как многие биологические материалы обладают двойным лучепреломлением. Коллаген, обнаруженный в хрящах, сухожилиях, костях, роговицах и некоторых других областях тела, обладает двойным лучепреломлением и обычно исследуется с помощью микроскопии в поляризованном свете. ^[8] Некоторые белки также обладают двойным лучепреломлением, проявляя двойное лучепреломление. ^[9]

Неизбежные производственные дефекты оптического волокна приводят к двулучепреломлению, которое является одной из причин уширения импульса в оптоволоконной связи . Такие дефекты могут быть геометрическими (отсутствие круговой симметрии) из-за напряжения, приложенного к оптическому волокну, и / или из-за изгиба волокна. Двулучепреломление вводится намеренно (например, путем создания эллиптического поперечного сечения) для создания оптических волокон с сохранением поляризации .

Помимо анизотропии электрической поляризуемости ( электрической восприимчивости ), анизотропия магнитной поляризуемости ( магнитная проницаемость ) также может вызывать двойное лучепреломление. Однако на оптических частотах значения магнитной проницаемости для природных материалов существенно не отличаются от µ 0 , поэтому на практике это не является источником оптического двойного лучепреломления.

Измерение [ править ]

Двулучепреломление и другие оптические эффекты, основанные на поляризации (такие как оптическое вращение и линейный или круговой дихроизм ), можно измерить путем измерения изменений поляризации света, проходящего через материал. Эти измерения известны как поляриметрия . Поляризованные световые микроскопы, которые содержат два поляризатора, расположенных под углом 90 ° друг к другу по обе стороны от образца, используются для визуализации двойного лучепреломления. Добавление четвертьволновых пластинок позволяет исследовать свет с круговой поляризацией. Измерения двойного лучепреломления были выполнены с помощью систем с фазовой модуляцией для изучения переходного режима потока текучих сред. ^{[11] [12]}

Двулучепреломление липидных бислоев можно измерить с помощью интерферометрии с двойной поляризацией . Это обеспечивает меру степени порядка внутри этих жидких слоев и того, как этот порядок нарушается, когда слой взаимодействует с другими биомолекулами.

Приложения [ править ]

Двулучепреломление используется во многих оптических устройствах. Жидкокристаллические дисплеи , наиболее распространенный вид плоских дисплеев , заставляют их пиксели становиться светлее или темнее из-за вращения поляризации (круговое двойное лучепреломление) линейно поляризованного света, если смотреть через листовой поляризатор на поверхности экрана. Точно так же модуляторы света модулируют интенсивность света посредством электрически индуцированного двойного лучепреломления поляризованного света, за которым следует поляризатор. Фильтр Лио является специализированным узкополосный спектральный фильтр с использованием зависимости от длины волны двулучепреломления. Волновые пластины представляют собой тонкие листы с двойным лучепреломлением, широко используемые в определенном оптическом оборудовании для изменения состояния поляризации проходящего через него света.

Двулучепреломление также играет важную роль в генерации второй гармоники и других нелинейных оптических компонентах , поскольку кристаллы, используемые для этой цели, почти всегда обладают двойным лучепреломлением. Регулируя угол падения, можно настроить эффективный показатель преломления необычного луча для достижения фазового согласования , необходимого для эффективной работы этих устройств.

Медицина [ править ]

Двулучепреломление используется в медицинской диагностике. Одним из мощных аксессуаров, используемых с оптическими микроскопами, является пара перекрестных поляризационных фильтров. Свет от источника поляризуется в направлении x после прохождения через первый поляризатор, но над образцом находится поляризатор (так называемый анализатор ), ориентированный в направлении y . Следовательно, анализатор не будет принимать свет от источника, и поле будет темным. Однако области образца, обладающие двойным лучепреломлением, обычно будут связывать часть x- поляризованного света с yполяризация; эти области станут яркими на темном фоне. Модификации этого основного принципа позволяют различать положительное и отрицательное двулучепреломление.

Например, аспирация жидкости из подагрического сустава иглой выявляет кристаллы мононатриевого урата с отрицательным двойным лучепреломлением . Кристаллы пирофосфата кальция , напротив, демонстрируют слабое положительное двулучепреломление. ^[13] Кристаллы уратов кажутся желтыми, а кристаллы пирофосфата кальция - синими, если их длинные оси выровнены параллельно оси красного компенсирующего фильтра ^[14] или к образцу для сравнения добавлен кристалл с известным двулучепреломлением.

Двулучепреломление может наблюдаться в амилоидных бляшках, которые обнаруживаются в головном мозге пациентов с болезнью Альцгеймера при окрашивании красителем, таким как Конго Красный. Модифицированные белки, такие как легкие цепи иммуноглобулина, аномально накапливаются между клетками, образуя фибриллы. Множественные складки этих волокон выстраиваются и принимать на бета-складчатый лист конформации . Краситель Конго красный проникает между складками и при наблюдении в поляризованном свете вызывает двойное лучепреломление.

В офтальмологии бинокулярный скрининг на двойное лучепреломление сетчатки волокон Генле (аксоны фоторецепторов, идущие радиально наружу от ямки) обеспечивает надежное обнаружение косоглазия и, возможно, также анизометропической амблиопии . ^[15] Кроме того, сканирующая лазерная поляриметрия использует двойное лучепреломление слоя оптического нервного волокна для косвенной количественной оценки его толщины, что полезно при оценке и мониторинге глаукомы .

Характеристики двойного лучепреломления в головках сперматозоидов позволяют выбрать сперматозоиды для интрацитоплазматической инъекции сперматозоидов . ^[16] Аналогичным образом, визуализация зоны использует двойное лучепреломление на ооцитах, чтобы выбрать те, которые имеют самые высокие шансы на успешную беременность. ^[17] Двойное лучепреломление частиц, взятых из легочных узелков, указывает на силикоз .

Дерматологи используют дерматоскопы для осмотра кожных повреждений. Дермоскопы используют поляризованный свет, позволяя пользователю видеть кристаллические структуры, соответствующие дермальному коллагену в коже. Эти структуры могут иметь вид блестящих белых линий или розеток и видны только при поляризованной дерматоскопии .

Двулучепреломление, вызванное стрессом [ править ]

Изотропные твердые тела не обладают двойным лучепреломлением. Однако, когда они подвергаются механической нагрузке , возникает двойное лучепреломление. Напряжение может быть приложено извне или «заморожено» после охлаждения изделия из двулучепреломляющего пластика после его изготовления с использованием литья под давлением . Когда такой образец помещается между двумя скрещенными поляризаторами, можно наблюдать цветовые узоры, поскольку поляризация светового луча поворачивается после прохождения через двулучепреломляющий материал, а величина вращения зависит от длины волны. Экспериментальный метод, называемый фотоупругостью, используемый для анализа распределения напряжений в твердых телах, основан на том же принципе. Недавно было проведено исследование использования индуцированного напряжением двойного лучепреломления в стеклянной пластине для созданияОптический вихрь и полные пучки Пуанкаре (оптические пучки, которые имеют все возможные состояния поляризации в поперечном сечении). ^[18]

Другие случаи двулучепреломления [ править ]

Двулучепреломление наблюдается в анизотропных упругих материалах. В этих материалах две поляризации разделяются в соответствии с их эффективными показателями преломления, которые также чувствительны к нагрузкам.

Изучение двойного лучепреломления в поперечных волнах, распространяющихся через твердую Землю (жидкое ядро ​​Земли не поддерживает поперечные волны), широко используется в сейсмологии . ^{[ необходима цитата ]}

Двулучепреломление широко используется в минералогии для идентификации горных пород, минералов и драгоценных камней. ^{[ необходима цитата ]}

Теория [ править ]

В изотропной среде (включая свободное пространство) так называемое электрическое смещение ( D ) прямо пропорционально электрическому полю ( E ) согласно D = ɛ E, где диэлектрическая проницаемость материала ε является просто скаляром (и равна n ² ε 0, где n - показатель преломления ). Однако в анизотропном материале с двойным лучепреломлением связь между D и E теперь должна быть описана с помощью тензорного уравнения:

${\ Displaystyle \ mathbf {D} = {\ boldsymbol {\ varepsilon}} \ mathbf {E}}$

( 1 )

где ε теперь - тензор диэлектрической проницаемости 3 × 3. Мы предполагаем линейность и отсутствие магнитной проницаемости в среде: μ = μ 0 . Электрическое поле плоской волны угловой частоты ω можно записать в общем виде:

${\ Displaystyle \ mathbf {E} = \ mathbf {E} _ {0} е ^ {я (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} - \ omega t)}}$

( 2 )

где r - вектор положения, t - время, а E ₀ - вектор, описывающий электрическое поле при r = 0 , t = 0 . Затем мы найдем возможные волновые векторы k . Комбинируя уравнения Максвелла для ∇ × E и ∇ × H , мы можем исключить H =1/μ ₀B, чтобы получить:

${\ displaystyle - \ nabla \ times \ nabla \ times \ mathbf {E} = \ mu _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \ mathbf {D} }$

( 3а )

В отсутствие свободных зарядов уравнение Максвелла для расходимости D обращается в нуль:

${\ Displaystyle \ набла \ cdot \ mathbf {D} = 0}$

( 3b )

Мы можем применить векторное тождество × (∇ × A ) = ∇ (∇ ⋅ A ) - ∇ 2 A к левой части уравнения. 3a , и используйте пространственную зависимость, в которой каждое дифференцирование по x (например) приводит к умножению на ik _x, чтобы найти:

${\ displaystyle - \ nabla \ times \ nabla \ times \ mathbf {E} = (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {E}) \ mathbf {k} - (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {k }) \ mathbf {E}}$

( 3c )

Правая часть уравнения. 3a можно выразить через E, применив тензор диэлектрической проницаемости ε и отметив, что дифференцирование по времени приводит к умножению на - iω , ур. 3а тогда становится:

${\displaystyle (-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} )\mathbf {E} +(\mathbf {k} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {k} =-\mu _{0}\omega ^{2}({\boldsymbol {\varepsilon }}\mathbf {E} )}$

( 4а )

Применяя правило дифференциации к ур. 3b находим:

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {D} =0}$

( 4b )

Уравнение 4b показывает, что D ортогонален направлению волнового вектора k , даже если это больше не верно для E, как это было бы в случае изотропной среды. Уравнение 4b не потребуется для дальнейших шагов в следующем выводе.

Найти допустимые значения k для данного ω проще всего, используя декартовы координаты с осями x , y и z, выбранными в направлениях осей симметрии кристалла (или просто выбирая z в направлении оптической оси кристалла). одноосный кристалл), что приводит к диагональной матрице для тензора диэлектрической проницаемости ε :

${\displaystyle \mathbf {\varepsilon } =\varepsilon _{0}{\begin{bmatrix}n_{x}^{2}&0&0\\0&n_{y}^{2}&0\\0&0&n_{z}^{2}\end{bmatrix}}}$

( 4c )

где диагональные значения представляют собой квадраты показателей преломления для поляризаций по трем главным осям x , y и z . С ε в этой форме и подставив скорость света c, используя c ² =1/μ ₀ ε ₀, ур. 4а становится

${\displaystyle \left(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}\right)E_{x}+k_{x}^{2}E_{x}+k_{x}k_{y}E_{y}+k_{x}k_{z}E_{z}=-{\frac {\omega ^{2}n_{x}^{2}}{c^{2}}}E_{x}}$

( 5а )

где E _x , E _y , E _z - компоненты E (в любой данной позиции в пространстве и времени), а k _x , k _y , k _z - компоненты k . Переставив, мы можем написать (и аналогично для компонентов y и z уравнения 4a )

${\displaystyle \left(-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{x}^{2}}{c^{2}}}\right)E_{x}+k_{x}k_{y}E_{y}+k_{x}k_{z}E_{z}=0}$

( 5b )

${\displaystyle k_{x}k_{y}E_{x}+\left(-k_{x}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{y}^{2}}{c^{2}}}\right)E_{y}+k_{y}k_{z}E_{z}=0}$

( 5c )

${\displaystyle k_{x}k_{z}E_{x}+k_{y}k_{z}E_{y}+\left(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{z}^{2}}{c^{2}}}\right)E_{z}=0}$

( 5д )

Это набор линейных уравнений в E _x , E _y , E _z , поэтому он может иметь нетривиальное решение (то есть одно, отличное от E = 0 ), пока следующий определитель равен нулю:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\left(-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{x}^{2}}{c^{2}}}\right)&k_{x}k_{y}&k_{x}k_{z}\\k_{x}k_{y}&\left(-k_{x}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{y}^{2}}{c^{2}}}\right)&k_{y}k_{z}\\k_{x}k_{z}&k_{y}k_{z}&\left(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{z}^{2}}{c^{2}}}\right)\end{vmatrix}}=0}$

( 6 )

Оценивая определитель ур. 6 , и переставляя члены, получаем

${\displaystyle {\frac {\omega ^{4}}{c^{4}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}{n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{x}^{2}+k_{z}^{2}}{n_{y}^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}{n_{x}^{2}}}\right)+\left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{y}^{2}n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_{x}^{2}n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{x}^{2}n_{y}^{2}}}\right)\left(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}\right)=0}$

( 7 )

В случае одноосного материала, выбирая оптическую ось в направлении z так, чтобы n _x = n _y = n _o и n _z = n _e , это выражение можно разложить на множители

${\displaystyle \left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{2}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{\mathrm {e} }^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_{\mathrm {e} }^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{2}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)=0}$

( 8 )

Установка любого из факторов в ур. 8 до нуля определит эллипсоидальную поверхность ^{[примечание 1]} в пространстве волновых векторов k , которые разрешены для данного ω . Первый множитель, равный нулю, определяет сферу; это решение для так называемых обычных лучей, в которых эффективный показатель преломления в точности п _о , независимо от направления к . Второй определяет сфероид, симметричный относительно оси z . Это решение соответствует так называемым необыкновенным лучам, в которых эффективный показатель преломления находится между n _o и n _e., в зависимости от направления k . Следовательно, для любого произвольного направления распространения (кроме направления оптической оси) разрешены два различных волновых вектора k , соответствующих поляризациям обыкновенного и необыкновенного лучей.

Для двухосного материала можно описать аналогичное, но более сложное состояние двух волн; ^[19] геометрическое место разрешенных k векторов ( поверхность волнового вектора ) представляет собой двулистную поверхность 4-й степени, так что в данном направлении обычно есть два разрешенных k вектора (и их противоположности). ^[20] При осмотре можно увидеть, что ур. 6 обычно выполняется для двух положительных значений ω . Или для заданной оптической частоты ω и направления, нормального к волновым фронтамk/| k |, оно выполняется для двух волновых чисел (или постоянных распространения) | k | (и, следовательно, эффективные показатели преломления), соответствующие распространению двух линейных поляризаций в этом направлении.

Когда эти две постоянные распространения равны, тогда эффективный показатель преломления не зависит от поляризации, и, следовательно, нет двойного лучепреломления, с которым сталкивается волна, распространяющаяся в этом конкретном направлении. Для одноосного кристалла это оптическая ось, направление ± z согласно приведенной выше конструкции. Но когда все три показателя преломления (или диэлектрическая проницаемость) n _x , n _y и n _z различны, можно показать, что существует ровно два таких направления, где два листа поверхности волнового вектора соприкасаются; ^[20] эти направления совсем не очевидны и не лежат ни на одной из трех главных осей ( x , y, z в соответствии с указанным выше соглашением). Исторически это объясняет использование термина «двухосный» для таких кристаллов, поскольку существование ровно двух таких особых направлений (считающихся «осями») было обнаружено задолго до того, как поляризация и двойное лучепреломление стали понятны физически. Однако эти два особых направления обычно не представляют особого интереса; Двухосные кристаллы скорее характеризуются тремя показателями преломления, соответствующими трем осям симметрии.

Общее состояние поляризации, запущенной в среду, всегда можно разложить на две волны, по одной в каждой из этих двух поляризаций, которые затем будут распространяться с разными волновыми числами | k | . Применение разной фазы распространения к этим двум волнам на заданном расстоянии распространения приведет в целом к другому состоянию чистой поляризации в этой точке; это, например, принцип волновой пластины . Однако с волновой пластиной между двумя лучами нет пространственного смещения, так как их k- векторы все еще находятся в одном направлении. Это верно, когда каждая из двух поляризаций либо перпендикулярна оптической оси (обычный луч), либо параллельна ей (необыкновенный луч).

В более общем случае, это различие не только в величине , но в направлении двух лучей. Например, фотография сквозь кристалл кальцита (вверху страницы) показывает смещенное изображение в двух поляризациях; это связано с тем, что оптическая ось не параллельна и не перпендикулярна поверхности кристалла. И даже тогда , когда оптическая ось находится параллельно поверхности, это будет иметь место для волн , запущенных в не-нормальном падении (как показано на рисунке пояснительную). В этом случае два k вектора могут быть найдены путем решения уравнения. 6, ограниченный граничным условием, которое требует, чтобы компоненты k векторов двух прошедших волн и kВектор падающей волны, проецируемый на поверхность раздела, должен быть одинаковым. Для одноосного кристалла будет обнаружено, что не существует пространственного сдвига для обычного луча (отсюда и его название), который будет преломляться, как если бы материал не был двулучепреломляющим, с показателем, таким же, как две оси, которые не являются оптической осью. . Для двухосного кристалла ни один луч не считается «обычным» и, как правило, не преломляется в соответствии с показателем преломления, равным одной из главных осей.

См. Также [ править ]

• Эффект Коттона – Мутона
• Кристаллическая оптика
• Дихроизм
• Исландский лонжерон
• Джон Керр
• Периодический опрос
• Плеохроизм

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• М. Борн и Э. Вольф, 2002 г., Принципы оптики , 7-е изд., Cambridge University Press, 1999 г. (переиздано с исправлениями, 2002 г.).
• A. Fresnel, 1827, "Mémoire sur la double refraction", Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France , vol.  VII (за 1824 г., напечатано 1827 г.), стр. 45–176 ; переиздано как «Второй мемуар…» у Френеля, 1868, стр. 479–596 ; переведенный А. В. Хобсоном как «Воспоминания о двойном лучепреломлении» в R. Taylor (ed.), Scientific Memoirs , vol.  V (Лондон: Тейлор и Фрэнсис, 1852 г.), стр. 238–333. (Приведенные номера страниц взяты из перевода.)
• А. Френель (под ред.  Х. де Сенармона, Э. Верде и Л. Френеля), 1868, Oeuvres completes d'Augustin Fresnel , Paris: Imprimerie Impériale (3 vols., 1866–70), vol. 2 (1868 г.) .

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме двулучепреломления .

• Прибор для анализа напряжений (на основе теории двойного лучепреломления)
• http://www.olympusmicro.com/primer/lightandcolor/birefringence.html
• Видео о двойном лучепреломлении под напряжением в полиметилметакрилате (ПММА или оргстекло).
• Художник Остин Вуд Комаров использует двулучепреломление для создания кинетических образных образов.
• Меррифилд, Майкл. «Двулучепреломление» . Шестьдесят символов . Brady Харан для Ноттингемского университета .
• Двулучепреломление тонкого льда (Том Вагнер, фотограф)