Доксастическая логика

Доксастическая логика - это тип логики, связанный с рассуждениями о убеждениях . Термин доксастический происходит от древнегреческого δόξα, докса , что означает «вера». Как правило, через doxastic логика использует для обозначения «Считается , что это имеет место», а множество обозначает собой набор убеждений . В доксастической логике вера рассматривается как модальный оператор .${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} х}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ mathbb {B}}$

${\ displaystyle \ mathbb {B}: \ left \ {b_ {1}, \ ldots, b_ {n} \ right \}}$

Существует полный параллелизм между человеком, который верит в предложения, и формальной системой , производящей предложения. Используя doxastic логику, можно выразить эпистемическую аналог теоремы о неполноте Геделя о металогики , а также теорема лёба и другие металогические результаты с точки зрения веры. ^[1]

Типы рассуждающих [ править ]

Чтобы продемонстрировать свойства наборов убеждений, Раймонд Смоллян определяет следующие типы рассуждающих:

• Точный рассуждающий : ^{[1] [2] [3] [4]} Точный рассуждающий никогда не верит никаким ложным утверждениям. (модальная аксиома T )

${\ displaystyle \ forall p: {\ mathcal {B}} p \ to p}$

• Неточный аргумент : ^{[1] [2] [3] [4]} Неточный аргументатор верит по крайней мере в одно ложное утверждение.

${\ Displaystyle \ существует p: \ neg p \ wedge {\ mathcal {B}} p}$

• Самовлюбленный рассуждающий : ^{[1] [4]} Самодовольный рассуждающий считает, что его убеждения никогда не ошибочны.

${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} [\ neg \ exists p (\ neg p \ wedge {\ mathcal {B}} p)] \ quad {\ text {или}} \ quad {\ mathcal {B}} [\ forall p ({\ mathcal {B}} p \ to p)]}$

• Последовательный рассуждающий : ^{[1] [2] [3] [4]} Последовательный рассуждающий никогда одновременно не верит в предложение и его отрицание. (модальная аксиома D )

${\displaystyle \neg \exists p:{\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B}}\neg p\quad {\text{or}}\quad \forall p:{\mathcal {B}}p\to \neg {\mathcal {B}}\neg p}$

• Нормальный рассуждающий : ^{[1] [2] [3] [4]} Нормальный рассуждающий - это тот, кто, веря, также верит, что он верит в p (модальная аксиома 4 ).${\displaystyle p,}$

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {BB}}p}$

• Своеобразный рассуждающий : ^{[1] [4]} Своеобразный рассуждающий верит в предложение p, в то же время полагая, что они не верят. Хотя необычный рассуждающий может показаться странным психологическим феноменом (см . Парадокс Мура ), особый рассуждающий обязательно неточен, но не обязательно непоследователен.${\displaystyle p.}$

${\displaystyle \exists p:{\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B\neg B}}p}$

• Обычный рассуждающий : ^{[1] [2] [3] [4]} Обычный рассуждающий - это тот, кто, веря , также верит .${\displaystyle p\to q}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q}$

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to {\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q)}$

• Рефлексивный рассуждающий : ^{[1] [4]} Рефлексивный рассуждающий - это тот, для кого в каждом предложении есть такое суждение , в которое он верит .${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q\equiv ({\mathcal {B}}q\to p)}$

${\displaystyle \forall p:\exists q{\mathcal {B}}(q\equiv ({\mathcal {B}}q\to p))}$

Если рефлексивный рассуждающий типа 4 [см. Ниже ] верит , они поверят p. Это параллелизм теоремы Лёба для размышляющих.${\displaystyle {\mathcal {B}}p\to p}$

• Неустойчивый рассуждающий : ^{[1] [4]} Неустойчивый рассуждающий - это тот, кто считает, что он верит в какое-то предположение, но на самом деле не верит в него. Это такое же странное психологическое явление, как и особенность; однако нестабильный рассуждающий не обязательно непоследователен.

${\displaystyle \exists p:{\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p\wedge \neg {\mathcal {B}}p}$

• Стабильный рассуждающий : ^{[1] [4]} Стабильный рассуждающий не нестабилен. То есть для каждого, если они верят, то они верят. Обратите внимание, что стабильность - это противоположность нормальности. Мы скажем, что рассуждающий считает, что они устойчивы, если он верит в каждое предложение (полагая: «Если я когда-нибудь поверю в то, что я верю, то я действительно поверю »).${\displaystyle p,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}p}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}p}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {BB}}p\to {\mathcal {B}}p}$

• Скромный рассуждающий : ^{[1] [4]} Скромный рассуждающий - это тот, кому верит каждое утверждение , только если они верят . Скромный мыслитель никогда не верит, если не верит . Любой рефлексивный рассуждающий типа 4 скромен. ( Теорема Лёба )${\displaystyle p}$${\displaystyle {\mathcal {B}}p\to p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\mathcal {B}}p\to p}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to p)\to {\mathcal {B}}p}$

• Странный рассуждающий : ^[4] Странный рассуждающий относится к типу G и считает, что они непоследовательны, но ошибается в этом убеждении.
• Робкий рассуждающий : ^[4] Робкий рассуждающий не верит [«боится» поверить ], если он считает, что вера в ведет к противоречивой вере.${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}\bot )\to \neg {\mathcal {B}}p}$

Повышение уровня рациональности [ править ]

• Рассуждающий типа 1 : ^{[1] [2] [3] [4] [5]} Рассуждающий типа 1 имеет полное знание логики высказываний, т.е. он рано или поздно верит в любую тавтологию (любое предложение, доказуемое с помощью таблиц истинности ). Кроме того, их набор убеждений (прошлое, настоящее и будущее) логически замкнут в рамках modus ponens . Если они когда - нибудь поверить , и тогда они (рано или поздно) считают .${\displaystyle p}$${\displaystyle p\to q}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle \vdash _{PC}p\Rightarrow \ \vdash {\mathcal {B}}p}$

${\displaystyle \forall p\forall q:({\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B}}(p\to q))\to {\mathcal {B}}q)}$

Это правило также можно рассматривать как утверждение, что убеждение распределяется по импликации, поскольку оно логически эквивалентно

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to ({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q)}$.

• Рассуждающий типа 1 * : ^{[1] [2] [3] [4]} Рассуждающий типа 1 * верит всем тавтологиям; их набор убеждений (прошлое, настоящее и будущее) логически закрыт в соответствии с modus ponens и для любых утверждений, и если они верят, то они поверят, что если они верят, то они поверят . У рассуждающего типа 1 * есть «чуть больше» самосознания, чем у рассуждающего типа 1.${\displaystyle p}$${\displaystyle q,}$${\displaystyle p\to q,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to {\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q)}$

• Рассуждающий типа 2 : ^{[1] [2] [3] [4]} Рассуждающий относится к типу 2, если они относятся к типу 1, и если для каждого и они (правильно) верят: «Если я когда-либо буду верить обоим и , тогда Я поверю ". Будучи представителями типа 1, они также верят в логически эквивалентное утверждение: рассуждающий типа 2 знает, что их убеждения закрыты согласно modus ponens.${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p\to q,}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(p\to q)\to ({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q).}$

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(({\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B}}(p\to q))\to {\mathcal {B}}q)}$

• Рассуждающий тип 3 : ^{[1] [2] [3] [4]} Рассуждающий имеет тип 3, если он является обычным рассуждающим типа 2.

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p}$

• Рассуждающий тип 4 : ^{[1] [2] [3] [4] [5]} Рассуждающий относится к типу 4, если он относится к типу 3 и также считает, что он нормальный.

${\displaystyle {\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p)]}$

• Рассуждающий типа G : ^{[1] [4]} Рассуждающий типа 4, который считает себя скромным.

${\displaystyle {\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to p)\to {\mathcal {B}}p)]}$

Самореализующиеся убеждения [ править ]

Для систем мы определяем рефлексивность как означающую, что для любого (на языке системы) существует такое, что доказуемо в системе. Теорема Лёба (в общем виде) состоит в том, что для любой рефлексивной системы типа 4 if доказуемо в системе, так же как и ^{[1] [4]}${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q\equiv {\mathcal {B}}q\to p}$${\displaystyle {\mathcal {B}}p\to p}$${\displaystyle p.}$

Непоследовательность веры в свою стабильность [ править ]

Если последовательный рефлексивный рассуждающий типа 4 считает, что они стабильны, то они станут нестабильными. Иначе говоря, если устойчивый рефлексивный рассуждающий типа 4 считает, что они стабильны, то они станут непоследовательными. Почему это? Предположим, что устойчивый рефлексивный рассуждающий типа 4 считает их стабильными. Мы покажем, что они (рано или поздно) поверят каждому утверждению (и, следовательно, будут непоследовательными). Возьмите любое предложение . Рассуждающий считает, следовательно, по теореме Лёба они будут верить (потому что они верят, где находится предложение, и поэтому они будут верить в то, что является утверждением ). Будучи стабильными, они тогда поверят ^{[1] [4]}${\displaystyle p}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}p,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}p}$${\displaystyle {\mathcal {B}}r\to r,}$${\displaystyle r}$${\displaystyle {\mathcal {B}}p,}$${\displaystyle r,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}p}$${\displaystyle p.}$

См. Также [ править ]

• Пересмотр веры
• Общие знания (логика)
• Джордж Булос
• Яакко Хинтикка
• Модальная логика
• Раймонд Смуллян

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Линдстрем, ул .; Rabinowicz, Wl. (1999). «Безлимитный DDL. Динамическая доксастическая логика для интроспективных агентов». Erkenntnis . 51 (2–3): 353–385. DOI : 10,1023 / A: 1005577906029 .
• Лински, Л. (1968). «Об интерпретации доксастической логики». Журнал философии . 65 (17): 500–502. JSTOR  2024352 .
• Сегерберг, Кр. (1999). «Логика по умолчанию как динамическая доксастическая логика». Erkenntnis . 50 (2–3): 333–352. DOI : 10,1023 / A: 1005546526502 .
• Вансинг, Х. (2000). «Сведение доксастической логики к логике действия». Erkenntnis . 53 (1–2): 267–283. DOI : 10,1023 / A: 1005666218871 .