Черновик: Заочная (математика)

Было предложено объединить эту страницу в бинарную связь . ( Обсудить )

• Комментарий: «Математические приложения» мне кажутся неэнциклопедическими. Метафора еда / меню, хотя и может быть полезной, в данном контексте, скорее всего, неуместна. Ноахфгодард ( разговорное ) 16:33, 9 сентября 2020 (UTC)

Эта статья или раздел находится в процессе расширения или серьезной реструктуризации. Вы также можете помочь в его создании, отредактировав его. Этот шаблон был размещен AntonioC Seguro  ( обсуждение  · вклад ). Если эта статья или раздел не редактировались в течение нескольких дней , удалите этот шаблон. Если вы редактор, добавивший этот шаблон, и активно редактируете, не забудьте заменить этот шаблон на во время активного сеанса редактирования{{in use}} . Щелкните ссылку, чтобы использовать параметры шаблона. Эта страница была последний раз по CommonsDelinker ( ток | вклад) 40 дней назад. ( Таймер обновления  )

Учитывая два набора: X и Y, и функцию f, которая определяет некоторое бинарное отношение между некоторым элементом X и некоторым элементом Y, мы будем говорить, что эта функция: f, определяет соответствие ^[1] между X и Y, которое мы будем представлять:

${\ displaystyle f \ двоеточие X \ rightarrow Y}$

когда хотя бы один элемент в X связан хотя бы с одним элементом в Y. Функции иногда называют отображениями или преобразованиями.

Пример [ править ]

Представьте, что 4 друга собираются пообедать, а в меню 4 доступных блюда. Если мы ассоциируем каждого человека с едой, которую он заказывает, мы получим связь между обоими наборами. Давайте назовем наши наборы X и Y, где X - друзья, а Y - блюда, отношения между наборами представлены стрелками. Конечно, никого не заставляют заказывать что-либо, и более одного человека могут заказать то же самое, поэтому в обоих наборах могут быть элементы, которые не имеют отношения, например: один из них не голоден или никому не нравится одно из блюд в меню.

В этом случае Дэни и Майкл заказали картофель фри, Луи заказал тунец, а Ребекка заказала бутерброд. Все они что-то заказали, поэтому стрелки исходят от всех, но никто не заказывал мороженое, поэтому стрелка не попадает в этот элемент.

Как мы сказали ранее, по крайней мере один элемент в X должен быть связан по крайней мере с одним элементом в Y, чтобы называться соответствием, иначе нет никакой связи между обоими наборами.

Нет необходимости в том, чтобы эти соответствия были строго числовыми, и тем не менее они являются математическими соответствиями.

Определения [ править ]

В переписке бывают разные наборы и элементы:

Начальный набор

Первый набор в корреспонденции мы можем представить как bg (начало), в этом примере это будет:

X = bg (f) = {Дэни, Майкл, Луис, Ребекка}

Финальный набор

Второй набор в корреспонденции, представленный как fin (финал), пусть он будет представлен как:

Y = fin (f) = {Фри, Сэндвич, Тунец, Мороженое}

Исходный набор

Это набор, состоящий из всех элементов в начальном наборе, которые связаны с любым элементом окончательного набора, пусть он будет представлен как:

или (f) = {Дэни, Майкл, Луи, Ребекка} (Все они что-то заказали, поэтому все они связаны с Y, следовательно, все они принадлежат исходному набору)

Набор изображений

Это набор, состоящий из всех элементов в конечном наборе, которые связаны (указаны стрелками) с элементами в исходном наборе, пусть он будет представлен как Im (изображение):

Im (f) = {Fries, Sandwich, Tuna} (Мороженое не было заказано, поэтому оно не имеет отношения к какому-либо человеку, поэтому его нет в наборе изображений)

Гомологичный элемент

Два элемента, один из набора исходных данных и один из набора изображений, если они связаны соответствием f, они гомологичны.

Эти пары элементов гомологичны: (Дэни, Фрайс), (Майкл, Фрайс), (Луи, Тунец).

Элемент изображения

Учитывая элемент x из исходного набора и другой элемент y из набора изображений, y является изображением x, он представлен следующим образом:

f (x) = y

Если элемент x связан с элементом y после соответствия f, используя следующий пример:

f (Дэни) = Фри

f (Ребекка) = Сэндвич

Перевернутая переписка [ править ]

При условии соответствия между множествами A y B , представленными как:

${\ displaystyle f: A \ rightarrow B}$

он определяется как обратное соответствие f , которое называется :${\ displaystyle f ^ {- 1} \,}$

${\displaystyle f^{-1}:B\rightarrow A}$

функция, которая связывает f с его источником.

Пример:

${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

(Дэни, Фрайс), (Ребекка, Сэндвич)

Обратное соответствие связывает набор продуктов Y с людьми в X

${\displaystyle f^{-1}:Y\rightarrow X}$

(Фрис, Дэни), (Сэндвич, Ребекка)

Математическое приложение [ править ]

Учитывая математическое соответствие между всеми элементами в X с элементами в Y, это соответствие называется приложением ^{[2] [3] [4] [5]} между X и Y, когда каждый элемент X связан с одним элементом из Y . Обычно это называется функцией между X и Y. Чтобы выразить это более математически, меньше присваивайте числа людям, которые у нас были в наших предыдущих примерах, и буквы к доступным блюдам, как это происходит:

${\displaystyle Dany\rightarrow 1.\quad }$ ${\displaystyle \quad Fries\rightarrow D}$

${\displaystyle Michael\rightarrow 2.\quad }$${\displaystyle \quad Sandwitch\rightarrow B}$

${\displaystyle Louis\rightarrow 3.\quad }$${\displaystyle \quad Tuna\rightarrow C}$

${\displaystyle Rebecca\rightarrow 4.\quad }$${\displaystyle \quad Icecream\rightarrow A}$

Виды математических приложений [ править ]

Даны 2 набора X, Y и все возможные приложения A, которые могут быть сгенерированы из этих 2 наборов:

• Если каждое изображение имеет только одно соответствие в источнике, это инъективное приложение.

Менее формально: «Каждый элемент в конечном источнике, связанный с элементом в наборе исходных точек, имеет только одну входящую стрелку»

• Если приложение применяется ко всему окончательному набору, это сюръективное приложение.

В просторечии: «По крайней мере, на каждый элемент в последнем элементе указывает стрелка».

• Есть третий вид, который одновременно является инъективным и сюръективным, это биективные приложения.

Опять же, в двух словах: «Все исходные элементы указывают только на один конечный элемент, а все конечные элементы указаны только одной стрелкой, даже короче, все элементы связаны 1 к 1»

Инъективное несюръективное приложение [ править ]

Поскольку это инъективное приложение, каждый элемент изображения будет иметь только один элемент происхождения, а несюръективность подразумевает, что по крайней мере один элемент в окончательном наборе не имеет предшествующего элемента происхождения. В приложениях такого типа мощность X всегда меньше, чем мощность Y, поскольку по крайней мере один элемент в конечном наборе не имеет предшествующего элемента в источнике, а элементы изображения имеют не более одного элемента источника.

Пример

Все в группе заказывают что-то из меню, но блюд больше, чем людей в группе, и никто не будет повторять блюдо, так как они хотят поделиться, поэтому это инъективно, но не сюръективно.

Сюръективное не инъективное приложение [ править ]

Неинъективное приложение имеет по крайней мере один элемент изображения с более чем одним исходным элементом, и сюръективность означает, что все элементы в наборе имеют по крайней мере один исходный элемент. В этом типе приложения мощность X всегда больше, чем мощность Y, поскольку Y имеет по крайней мере одно начало для каждого конечного элемента и по крайней мере один имеет два, X имеет по крайней мере еще один элемент.

Пример

Все в группе заказывают, но не делятся друг с другом, поэтому может случиться так, что два человека захотят заказать одно и то же блюдо для себя.

Инъективное и сюръективное (Biyective) [ править ]

Если приложение одновременно сюръективно и биективно, оно биективно. Будучи инъективным, каждый элемент с источником имеет только один, и, будучи сюръективным, каждый элемент в конечном наборе имеет источник, поэтому оба имеют одинаковое количество элементов, одинаковую мощность и соответствие между элементами всегда 1 к 1.

Пример

Все в группах заказывают одно блюдо, а группа настолько большая, что их количество совпадает с количеством блюд в меню. Этот случай также можно рассматривать так, как если бы кто-то доставлял бесплатные подарки на улицах, и в качестве подарков присутствует такое же количество людей, если это только один подарок на человека, то это тоже будет биективным применением.

Не инъективный и не сюръективный [ править ]

Этот вид приложения имеет по крайней мере один элемент изображения с двумя или более источниками, и по крайней мере один элемент в окончательном наборе не имеет происхождения. У него нет конкретного названия. Наборы X и Y нельзя сравнивать по их мощности или количеству элементов.

Пример

Все заказывают, некоторые заказывают то же самое, но не заказывают все меню.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Уртадо, Ф. (1997). Atlas de matematicas . Книги идей, SA 1st Edition. ISBN 978-84-8236-049-2.
• Кампос, Нейла (2003). «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА» (PDF) .
• Зотес, Ф. (2009). "Кардиналидад де коньюнтос" .
• Томас Ара, Луис (1974). Алгебра линейная . ISBN 978-84-400-7995-4.

Категория: Математические отношения