Двойной код

В теории кодирования , то двойной код в виде линейного кода

{\ Displaystyle C \ подмножество \ mathbb {F} _ {q} ^ {n}}

линейный код, определяемый формулой

{\ displaystyle C ^ {\ perp} = \ {x \ in \ mathbb {F} _ {q} ^ {n} \ mid \ langle x, c \ rangle = 0 \; \ forall c \ in C \}}

где

{\ displaystyle \ langle x, c \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} c_ {i}}

является скалярным произведением. В линейной алгебре терминов, двойной код является аннуляторный из C относительно билинейной формы . Размер от C и его сопряженное всегда добавить до длины п : ${\ Displaystyle \ langle \ cdot \ rangle}$

{\ displaystyle \ dim C + \ dim C ^ {\ perp} = n.}

Порождающая матрица для дуального кода является проверочной матрицей для исходного кода , и наоборот. Двойник двойного кода всегда является исходным кодом.

Самодвойственные коды [ править ]

Самодвойственна код является один , который является его собственным двойным. Отсюда следует, что n четно и dim C = n / 2. Если самодуальный код таков, что вес каждого кодового слова кратен некоторой константе , то он относится к одному из следующих четырех типов: ^[1] ${\ displaystyle c> 1}$

Коды типа I - это двоичные самодвойственные коды, которые не являются двояко четными . Коды типа I всегда четные (каждое кодовое слово имеет четный вес Хэмминга ).
Коды типа II - это двоичные самодуальные коды, которые являются дважды четными.
Коды типа III являются троичными самодуальными кодами. Каждое кодовое слово в коде типа III имеет вес Хэмминга, кратный 3.
Коды типа IV являются самодуальными кодами над F ₄ . Это снова ровно.

Коды типов I, II, III или IV существуют, только если длина n кратна 2, 8, 4 или 2 соответственно.

Если самодуальный код имеет порождающую матрицу вида , то дуальный код имеет порождающую матрицу , где - единичная матрица и . ${\ displaystyle G = [I_ {k} | A]}$ ${\ displaystyle C ^ {\ perp}}$ ${\ displaystyle [- {\ bar {A}} ^ {T} | I_ {k}]}$ ${\ displaystyle I_ {k}}$ ${\ Displaystyle (п / 2) \ раз (п / 2)}$ ${\ displaystyle {\ bar {a}} = a ^ {q} \ in \ mathbb {F} _ {q}}$

Ссылки [ править ]

^ Конвей, JH ; Слоан, штат Нью-Джерси (1988). Сферические упаковки, решетки и группы . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 290 . Springer-Verlag . п. 77 . ISBN 0-387-96617-X.

Хилл, Раймонд (1986). Первый курс теории кодирования . Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series. Издательство Оксфордского университета . п. 67 . ISBN 0-19-853803-0.
Плесс, Вера (1982). Введение в теорию кодов с исправлением ошибок . Серия Wiley-Interscience по дискретной математике. Джон Вили и сыновья . п. 8. ISBN 0-471-08684-3.
Дж. Х. ван Линт (1992). Введение в теорию кодирования . GTM . 86 (2-е изд.). Springer-Verlag. п. 34 . ISBN 3-540-54894-7.

Внешние ссылки [ править ]

MATH32031: Теория кодирования - Двойной код - pdf с некоторыми примерами и пояснениями

[1] Конвей, JH ; Слоан, штат Нью-Джерси (1988). Сферические упаковки, решетки и группы . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 290 . Springer-Verlag . п. 77 . ISBN 0-387-96617-X.

[1]