Теория динамо

Иллюстрация динамо-механизма, который создает магнитное поле Земли: конвекционные токи жидкого металла во внешнем ядре Земли, вызванные тепловым потоком из внутреннего ядра, организованные в рулоны силой Кориолиса , создают циркулирующие электрические токи, которые генерируют магнитное поле. . ^[1]

В физике , то теория динамо предлагает механизм , посредством которого небесное тело , таких как Земля или звезда генерирует магнитное поле . Теория динамо описывает процесс, посредством которого вращающаяся, конвекционная и электропроводящая жидкость может поддерживать магнитное поле в астрономических временных масштабах. Считается, что динамо-машина является источником магнитного поля Земли и магнитных полей Меркурия и планет Юпитера .

История теории [ править ]

Когда Уильям Гилберт опубликовал de Magnete в 1600 году, он пришел к выводу, что Земля является магнитной, и предложил первую гипотезу происхождения этого магнетизма: постоянный магнетизм, подобный магнетизму магнитного камня . В 1919 году Джозеф Лармор предположил, что поле может генерировать динамо-машина . ^{[2] [3]} Однако даже после того, как он выдвинул свою гипотезу, некоторые выдающиеся ученые выдвинули альтернативные объяснения. Эйнштейн считал, что между зарядами электрона и протона может быть асимметрия, так что магнитное поле Землибудет производить вся Земля. Нобелевская премия победитель Патрик Блэкетт сделал серию экспериментов в поисках фундаментальной связи между угловым моментом и магнитным моментом , но не нашел. ^{[4] [5]}

Уолтер М. Эльзассер , которого считают «отцом» принятой в настоящее время теории динамо как объяснения магнетизма Земли, предположил, что это магнитное поле является результатом электрических токов, индуцированных в жидком внешнем ядре Земли. Он раскрыл историю магнитного поля Земли, первыми изучив магнитную ориентацию минералов в горных породах.

Чтобы поддерживать магнитное поле против омического распада (которое произошло бы для дипольного поля через 20 000 лет), внешнее ядро ​​должно быть конвектирующим. Конвекции , вероятно , некоторое сочетание тепловой и композиционной конвекции. Мантия контролирует скорость отвода тепла от ядра. Источники тепла включают в себя гравитационную энергию, выделяемую при сжатии ядра, гравитационную энергию, выделяемую при отклонении легких элементов (возможно, серы , кислорода или кремния ) на внутренней границе ядра по мере его роста, скрытую теплоту кристаллизации на внутренней границе ядра, и радиоактивность калия , урана и тория. ^[6]

На заре 21 века численное моделирование магнитного поля Земли не было успешно продемонстрировано, но, похоже, стало возможным. Первоначальные модели сосредоточены на генерации поля конвекцией во внешнем жидком ядре планеты. Можно было продемонстрировать генерацию сильного поля, подобного Земле, когда модель предполагала однородную температуру поверхности ядра и исключительно высокую вязкость жидкости ядра. Расчеты, которые включали более реалистичные значения параметров, дали магнитные поля, которые были менее похожи на земные, но также указали путь для уточнения модели, которая в конечном итоге может привести к точной аналитической модели. Незначительные изменения температуры поверхности ядра в диапазоне нескольких милликельвинов приводят к значительному увеличению конвективного потока и создают более реалистичные магнитные поля. ^[7][8]

Формальное определение [ править ]

Теория динамо описывает процесс, посредством которого вращающаяся, конвекционная и электропроводящая жидкость поддерживает магнитное поле. Эта теория используется для объяснения наличия аномально долгоживущих магнитных полей в астрофизических телах. Проводящая жидкость в геодинамо - это жидкое железо во внешнем ядре, а в солнечном динамо - ионизированный газ на тахоклине . Теория динамо астрофизических тел использует уравнения магнитогидродинамики для исследования того, как жидкость может непрерывно регенерировать магнитное поле. ^[9]

Когда-то считалось, что диполь , который составляет большую часть магнитного поля Земли и смещен по оси вращения на 11,3 градуса, был вызван постоянной намагниченностью материалов на Земле. Это означает, что теория динамо изначально использовалась для объяснения магнитного поля Солнца во взаимосвязи с магнитным полем Земли. Однако эта гипотеза, которая была первоначально предложена Джозефом Лармором в 1919 году, была изменена благодаря обширным исследованиям вековых магнитных вариаций , палеомагнетизма (включая изменение полярности ), сейсмологии и обилия элементов в Солнечной системе. Также применение теорий Карла Фридриха Гаусса Магнитные наблюдения показали, что магнитное поле Земли имело внутреннее, а не внешнее происхождение.

Для работы динамо-машины необходимы три условия:

• Электропроводящая текучая среда
• Кинетическая энергия, обеспечиваемая вращением планеты
• Внутренний источник энергии, приводящий в движение конвективные движения в жидкости. ^[10]

В случае Земли магнитное поле создается и постоянно поддерживается конвекцией жидкого железа во внешнем ядре. Необходимым условием для индукции поля является вращающаяся жидкость. Вращение внешнего ядра обеспечивается эффектом Кориолиса, вызванным вращением Земли. Сила Кориолиса имеет тенденцию организовывать движения жидкости и электрические токи в столбцы (см. Также столбцы Тейлора ), выровненные с осью вращения. Индукция или создание магнитного поля описывается уравнением индукции :

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} +\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )}$

где u - скорость, B - магнитное поле, t - время, и - коэффициент магнитной диффузии с электропроводностью и проницаемостью . Отношение второго члена в правой части к первому дает магнитное число Рейнольдса , безразмерное отношение адвекции магнитного поля к диффузии.${\displaystyle \eta =1/(\sigma \mu )}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mu }$

Приливное отопление, поддерживающее динамо [ править ]

Приливные силы между небесными телами вызывают трение, которое нагревает их внутренности. Это называется приливным нагревом и помогает поддерживать внутреннее состояние в жидком состоянии. Для производства динамо-машины требуется внутренняя жидкость, которая может проводить электричество. Энцелад Сатурна и Ио Юпитера обладают достаточным приливным нагревом, чтобы сжижать свои внутренние ядра, но они не могут создать динамо, потому что не могут проводить электричество. ^{[11] [12] У} Меркурия, несмотря на его небольшой размер, есть магнитное поле, потому что у него есть проводящее жидкое ядро, созданное его составом из железа и трением, возникающим из-за его высокоэллиптической орбиты. ^[13]Предполагается, что у Луны когда-то было магнитное поле, основываясь на данных, полученных от намагниченных лунных горных пород, из-за кратковременного близкого расстояния к Земле, вызывающего приливный нагрев. ^[14] Орбита и вращение планеты помогают создать жидкое ядро ​​и дополняют кинетическую энергию, которая поддерживает действие динамо.

Кинематическая теория динамо [ править ]

В кинематической теории динамо поле скорости предписано, а не является динамической переменной. Этот метод не может обеспечить изменение во времени поведения полностью нелинейного хаотического динамо, но полезен при изучении того, как напряженность магнитного поля изменяется в зависимости от структуры и скорости потока.

Используя уравнения Максвелла одновременно с ротором закона Ома , можно вывести то, что по сути является линейным уравнением собственных значений для магнитных полей ( B ), что можно сделать, если предположить, что магнитное поле не зависит от поля скорости. Приходят к критическому магнитному числу Рейнольдса, выше которого сила потока достаточна для усиления наложенного магнитного поля, а ниже которого оно затухает.

Наиболее функциональная особенность кинематической теории динамо состоит в том, что ее можно использовать для проверки того, способно ли поле скорости к действию динамо. Применяя определенное поле скорости к небольшому магнитному полю, можно определить путем наблюдения, имеет ли магнитное поле тенденцию к увеличению или нет в ответ на приложенный поток. Если магнитное поле действительно растет, то система либо способна к действию динамо, либо является динамо-машиной, но если магнитное поле не растет, то ее просто называют нединамо.

Мембранная парадигма представляет собой способ смотреть на черных дырах , что позволяет материалу вблизи их поверхности должны быть выражены на языке теории динамо.

Как спонтанное нарушение топологической суперсимметрии [ править ]

Кинематическое динамо можно также рассматривать как явление спонтанного нарушения топологической суперсимметрии соответствующего стохастического дифференциального уравнения, связанного с потоком фоновой материи. ^[15] В суперсимметричной теории стохастики эта суперсимметрия является внутренним свойством всех стохастических дифференциальных уравнений, ее смысл заключается в сохранении непрерывности фазового пространства модели непрерывными потоками времени, а ее спонтанное нарушение является стохастическим обобщением концепция детерминированного хаоса . ^[16] Другими словами, кинематическое динамо - это проявление хаотичности основного потока фоновой материи.

Теория нелинейного динамо [ править ]

Кинематическое приближение становится недействительным, когда магнитное поле становится достаточно сильным, чтобы влиять на движения жидкости. В этом случае на поле скорости действует сила Лоренца , и поэтому уравнение индукции больше не является линейным по магнитному полю. В большинстве случаев это приводит к гашению амплитуды динамо. Такие динамо иногда также называют гидромагнитными динамо . ^[17] Практически все динамо в астрофизике и геофизике - это гидромагнитные динамо.

Основная идея теории состоит в том, что любое небольшое магнитное поле, существующее во внешнем ядре, создает токи в движущейся жидкости из-за силы Лоренца. Эти токи создают дополнительное магнитное поле из-за закона Ампера . При движении жидкости токи переносятся таким образом, что магнитное поле становится сильнее (пока оно отрицательное ^[18] ). Таким образом, «затравочное» магнитное поле может становиться все сильнее и сильнее, пока не достигнет некоторого значения, связанного с существующими немагнитными силами.${\displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}$

Численные модели используются для моделирования полностью нелинейных динамо. Используются следующие уравнения:

• Уравнение индукции, представленное выше.
• Уравнения Максвелла для пренебрежимо малого электрического поля:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }$

• Уравнение неразрывности для сохранения массы , для которого часто используется приближение Буссинеска :

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0,}$

• Уравнение Навье-Стокса для сохранения импульса , опять же в том же приближении, с магнитной силой и силой гравитации в качестве внешних сил:

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=-{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\rho '\mathbf {g} +2\mathbf {\Omega } \times \mathbf {u} +\mathbf {\Omega } \times \mathbf {\Omega } \times \mathbf {R} +{\frac {1}{\rho _{0}}}\mathbf {J} \times \mathbf {B} ,}$

где - кинематическая вязкость , - средняя плотность, - возмущение относительной плотности, обеспечивающее плавучесть (для тепловой конвекции, где - коэффициент теплового расширения ), - скорость вращения Земли и - плотность электрического тока.${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \rho _{0}}$${\displaystyle \rho '}$${\displaystyle \rho '=\alpha \Delta T}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbf {J} }$

• Уравнение переноса, обычно тепла (иногда концентрации легких элементов):

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\kappa \nabla ^{2}T+\epsilon }$

где T - температура, - коэффициент температуропроводности с k теплопроводностью, теплоемкостью и плотностью, а также является дополнительным источником тепла. Часто давление - это динамическое давление с удаленными гидростатическим давлением и центростремительным потенциалом.${\displaystyle \kappa =k/\rho c_{p}}$${\displaystyle c_{p}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \epsilon }$

Затем эти уравнения безразмерны, вводятся безразмерные параметры,

${\displaystyle Ra={\frac {g\alpha TD^{3}}{\nu \kappa }},E={\frac {\nu }{\Omega D^{2}}},Pr={\frac {\nu }{\kappa }},Pm={\frac {\nu }{\eta }}}$

где Ra - число Рэлея , E - число Экмана , Pr и Pm - число Прандтля и магнитное число Прандтля . Масштабирование магнитного поля часто в число Elsässer единиц .${\displaystyle B=(\rho \Omega /\sigma )^{1/2}}$

Преобразование энергии между магнитной и кинематической энергией [ править ]

Скалярное произведение приведенной выше формы уравнения Навье-Стокса с дает скорость увеличения плотности кинетической энергии,, в левой части. Таким образом, последний член в правой части представляет собой локальный вклад в кинетическую энергию, обусловленный силой Лоренца .${\displaystyle \rho _{0}\mathbf {u} }$${\displaystyle (1/2)\rho _{0}u^{2}}$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}$

Скалярное произведение уравнения индукции на дает скорость увеличения плотности магнитной энергии,, в левой части. Последний член в правой части - тогда . Поскольку уравнение интегрировано по объему, этот член эквивалентен с точностью до граничного члена (и с двойным использованием тождества скалярного тройного произведения ) (где использовалось одно из уравнений Максвелла). Это локальный вклад в магнитную энергию из-за движения жидкости.${\displaystyle (1/\mu _{0})\mathbf {B} }$${\displaystyle (1/2\mu _{0})B^{2}}$${\displaystyle (1/\mu _{0})\mathbf {B} \cdot \left(\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )\right)}$${\displaystyle -\mathbf {u} \cdot \left((1/\mu _{0})(\nabla \times \mathbf {B} )\times \mathbf {B} )\right)=-\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}$

Таким образом, термин - это скорость преобразования кинетической энергии в магнитную. Оно должно быть неотрицательным, по крайней мере, в части объема, чтобы динамо-машина создавала магнитное поле. ^[18]${\displaystyle -\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}$

Из приведенной выше диаграммы неясно, почему этот член должен быть положительным. Простой аргумент может быть основан на рассмотрении чистых эффектов. Чтобы создать магнитное поле, чистый электрический ток должен обернуться вокруг оси вращения планеты. В этом случае, чтобы член был положительным, чистый поток проводящего вещества должен быть направлен к оси вращения. На диаграмме показан только чистый поток от полюсов к экватору. Однако сохранение массы требует дополнительного потока от экватора к полюсам. Если бы этот поток был вдоль оси вращения, это означает, что циркуляция будет завершена потоком от показанных к оси вращения, производя желаемый эффект.

Порядок величины магнитного поля, создаваемого динамо-машиной Земли [ править ]

Вышеупомянутая формула для скорости преобразования кинетической энергии в магнитную эквивалентна скорости работы, совершаемой силой на внешнее ядро ​​вещества, скорость которой равна . Эта работа является результатом немагнитных сил, действующих на жидкость.${\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$

Из них гравитационная сила и центробежная сила являются консервативными и, следовательно, не имеют общего вклада в движение жидкости в замкнутых контурах. Число Экмана (определенное выше), которое представляет собой соотношение между двумя оставшимися силами, а именно вязкостью и силой Кориолиса, очень мало внутри внешнего ядра Земли, потому что его вязкость мала (1,2–1,5 × ^10–2 паскаль-секунды ^[19]. ) за счет своей ликвидности.

Таким образом, основной усредненный по времени вклад в работу вносит сила Кориолиса, величина которой равна , хотя эта величина и связаны только косвенно и в целом не равны локально (таким образом, они влияют друг на друга, но не в одном месте и во времени).${\displaystyle -2\rho \,\mathbf {\Omega } \times \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} }$

Плотность тока J сама по себе является результатом магнитного поля согласно закону Ома . Опять же, из-за движения материи и потока тока, это не обязательно поле в одном и том же месте и в одно и то же время. Однако эти соотношения все еще можно использовать для определения порядков величин, о которых идет речь.

По порядку величины и , давая , или:${\displaystyle J\,B\sim \rho \,\Omega \,u}$${\displaystyle J\sim \sigma uB}$${\displaystyle \sigma \,u\,B^{2}\sim \rho \,\Omega \,u}$

${\displaystyle B\sim {\sqrt {\frac {\rho \,\Omega }{\sigma }}}}$

Точное соотношение между обеими сторонами - это квадратный корень из числа Эльзассера .

Обратите внимание, что направление магнитного поля не может быть выведено из этого приближения (по крайней мере, не его знак), поскольку оно выглядит в квадрате и, действительно, иногда меняет направление , хотя в целом оно лежит на той же оси, что и .${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$

Для внешнего ядра Земли ρ составляет приблизительно 10 ⁴ кг / м ³ , ^[19] Ω = 2π / день = 7,3x10 ⁻⁵ секунд и σ составляет приблизительно 10 ⁷ Ω ⁻¹ м ⁻¹ . ^[20] Это дает 2.7x10 ⁻⁴ тесла .

Магнитное поле магнитного диполя имеет обратную кубическую зависимость от расстояния, поэтому его порядок величины на поверхности земли можно приблизительно определить, умножив полученный выше результат на ( R _{внешнее ядро} / R _Земля ) ³ = (2890/6370) ³ = 0,093, что дает 2,5x10 ^-5 тесла, недалеко от измеренного значения 3x10 ^-5 тесла на экваторе .

Численные модели [ править ]

В общих чертах, модели геодинамо пытаются создать магнитные поля, согласующиеся с данными наблюдений, при определенных условиях и уравнениях, упомянутых в разделах выше. Успешная реализация уравнений магнитной гидродинамики имела особое значение, потому что они подтолкнули модели динамо к самосогласованности. Хотя модели геодинамо особенно распространены, модели динамо не обязательно ограничиваются геодинамо; Представляют интерес также модели солнечного и общего динамо. Изучение моделей динамо полезно в области геофизики, так как с его помощью можно определить, как различные механизмы формируют магнитные поля, подобные тем, которые создаются астрофизическими телами, такими как Земля, и как они заставляют магнитные поля проявлять определенные особенности, такие как инверсия полюсов.

Уравнения, используемые в численных моделях динамо, очень сложны. В течение десятилетий теоретики были ограничены описанными выше двумерными кинематическими моделями динамо , в которых движение жидкости выбиралось заранее и рассчитывалось влияние на магнитное поле. Прогресс от линейных к нелинейным трехмерным моделям динамо в значительной степени сдерживался поиском решений уравнений магнитогидродинамики, которые устраняют необходимость во многих допущениях, сделанных в кинематических моделях, и допускают самосогласованность.

Первые самосогласованные модели динамо, определяющие как движение жидкости, так и магнитное поле, были разработаны двумя группами в 1995 году: одной в Японии ^[21] и одной в Соединенных Штатах. ^{[22] [23]} Последний был сделан в качестве модели в отношении геодинамо и получил значительное внимание, потому что он успешно воспроизводил некоторые характеристики поля Земли. ^[18] После этого прорыва произошел большой скачок в разработке разумных трехмерных моделей динамо. ^[18]

Хотя сейчас существует множество самосогласованных моделей, между ними есть существенные различия как в результатах, которые они дают, так и в способах их разработки. ^[18] Учитывая сложность разработки модели геодинамо, существует много мест, где могут возникнуть расхождения, например, при принятии предположений, касающихся механизмов, обеспечивающих энергию для динамо, при выборе значений для параметров, используемых в уравнениях, или при нормализации уравнений. Несмотря на множество различий, которые могут возникнуть, у большинства моделей есть общие черты, такие как четкие осевые диполи. Во многих из этих моделей также успешно воссозданы такие явления, как вековая вариация и изменение полярности геомагнитного поля . ^[18]

Наблюдения [ править ]

Многие наблюдения можно сделать с помощью моделей динамо. Модели можно использовать для оценки того, как магнитные поля меняются со временем, и их можно сравнить с наблюдаемыми палеомагнитными данными, чтобы найти сходство между моделью и Землей. Однако из-за неопределенности палеомагнитных наблюдений сравнения могут быть не совсем достоверными или полезными. ^[18] Упрощенные модели геодинамо показали взаимосвязь между динамо-числом (определяемым дисперсией скорости вращения во внешнем ядре и зеркально-асимметричной конвекцией (например, когда конвекция благоприятствует одному направлению на севере, а другому - на юге)) и магнитному полюсу. инверсии, а также обнаружил сходство между геодинамо и динамо Солнца. ^[18]Во многих моделях кажется, что магнитные поля имеют несколько случайные величины, которые следуют нормальной тенденции, которая в среднем равна нулю. ^[18] В дополнение к этим наблюдениям, общие наблюдения о механизмах, приводящих в действие геодинамо, могут быть сделаны на основе того, насколько точно модель отражает фактические данные, собранные с Земли.

Современное моделирование [ править ]

Сложность моделирования динамо настолько велика, что модели геодинамо ограничены нынешней мощностью суперкомпьютеров , особенно потому, что вычисление числа Экмана и Рэлея внешнего ядра чрезвычайно сложно и требует огромного количества вычислений.

Многие улучшения были предложены в моделировании динамо после прорыва в самосогласованном виде в 1995 году. Одним из предложений при изучении сложных изменений магнитного поля является применение спектральных методов для упрощения вычислений. ^[24] В конечном итоге, до тех пор, пока не будут сделаны значительные улучшения в мощности компьютеров, методы расчета реалистичных моделей динамо должны быть сделаны более эффективными, поэтому улучшение методов расчета модели имеет большое значение для развития численного моделирования динамо.  

См. Также [ править ]

• Теорема антидинамо
• Вращающееся магнитное поле
• Светская вариация

Ссылки [ править ]

Примечания

• Деморест, Пол (21 мая 2001 г.). «Теория динамо и магнитное поле Земли (курсовая работа)» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 21 февраля 2007 года . Проверено 14 октября 2011 года .
• Фитцпатрик, Ричард (18 мая 2002 г.). «Теория МГД Динамо» . Физика плазмы . Техасский университет в Остине . Проверено 14 октября 2011 года .
• Меррилл, Рональд Т .; Макэлхинни, Майкл В .; Макфадден, Филип Л. (1996). Магнитное поле Земли: палеомагнетизм, ядро ​​и глубокая мантия . Академическая пресса . ISBN 978-0-12-491246-5.
• Стерн, Дэвид П. "Глава 12: Динамо-процесс" . Великий Магнит, Земля . Проверено 14 октября 2011 года .
• Стерн, Дэвид П. "Глава 13: Динамо в ядре Земли" . Великий Магнит, Земля . Проверено 14 октября 2011 года .