В математике критерий Эйзенштейна дает достаточное условие для того, чтобы многочлен с целыми коэффициентами был неприводимым над рациональными числами , то есть для того, чтобы его нельзя было разложить на произведение непостоянных многочленов с рациональными коэффициентами.
Этот критерий не применим ко всем полиномам с целыми коэффициентами, неприводимым над рациональными числами, но он позволяет в некоторых важных случаях доказать неприводимость с очень небольшими усилиями. Он может применяться как непосредственно, так и после преобразования исходного многочлена.
Этот критерий назван в честь Готхольда Эйзенштейна . В начале 20 века она была также известна как теорема Шенемана – Эйзенштейна, потому что Теодор Шенеман был первым, кто ее опубликовал. [1] [2]
тогда Q неприводимо над рациональными числами. Он также будет неприводимым над целыми числами, если только все его коэффициенты не имеют общего нетривиального множителя (в этом случае Q как целочисленный полином будет иметь некоторое простое число, обязательно отличное от p , в качестве неприводимого множителя). Последней возможности можно избежать, сначала сделав Q примитивным , разделив его на наибольший общий делитель его коэффициентов ( содержимое Q ) . Это деление не меняет того, является ли Q приводимым или нет над рациональными числами (см. Факторизация примитивных частей и содержимого) .для деталей) и не сделает недействительными гипотезы критерия для p (наоборот, это может сделать критерий верным для некоторого простого числа, даже если это не было до деления).
Критерий Эйзенштейна может применяться либо непосредственно (т. е. с использованием исходного многочлена), либо после преобразования исходного многочлена.
Рассмотрим многочлен Q(x) = 3 x 4 + 15 x 2 + 10 . Чтобы критерий Эйзенштейна применялся к простому числу p , он должен делить оба нестарших коэффициента 15 и 10 , что означает, что только p = 5 может работать, и действительно так, поскольку 5 не делит старший коэффициент 3 , а его квадрат 25 не делит постоянный коэффициент 10 . Отсюда можно заключить, что Q неприводима над Q (и, поскольку она примитивна, над Zтакже). Обратите внимание, что, поскольку Q имеет степень 4, этот вывод нельзя было бы установить, просто проверив, что Q не имеет рациональных корней (что исключает возможные факторы степени 1), поскольку также может быть возможно разложение на два квадратичных множителя.