В теории вероятностей , эмпирический процесс представляет собой случайный процесс , который характеризует долю объектов в системе в заданном состоянии. Для процесса в дискретном пространстве состояний популяционная цепь Маркова с непрерывным временем [1] [2] или марковская популяционная модель [3] - это процесс, который подсчитывает количество объектов в данном состоянии (без изменения масштаба). В теории среднего поля предельные теоремы (по мере увеличения числа объектов) рассматриваются и обобщают центральную предельную теорему для эмпирических мер . Приложения теории эмпирических процессов возникают в непараметрической статистике.. [4]
Определение
Для X 1 , X 2 , ... X n независимых и одинаково распределенных случайных величин в R с общей кумулятивной функцией распределения F ( x ) эмпирическая функция распределения определяется следующим образом:
где C является индикаторной функцией множества C .
Для каждого (фиксированного) х , F п ( х ) представляет собой последовательность случайных величин , которые сходятся к F ( х ) почти наверняка сильным законом больших чисел . То есть F n сходится к F поточечно . Гливенко и Cantelli усилили этот результат, доказав , равномерную сходимость в F п к F по теореме Гливенко-Кантелл . [5]
Центрированная и масштабированная версия эмпирической меры - это мера со знаком.
Он индуцирует отображение на измеримых функциях f, заданных формулой
К центральной предельной теоремы , сходится по распределению к более нормальной случайной величины N (0, Р ( ) (1 - Р ( ))) при фиксированном измеримое множество A . Аналогично, для фиксированной функции f , сходится по распределению к нормальной случайной величине , при условии, что а также существовать.
Определение
- называется эмпирическим процессом, индексируемым , Совокупность измеримых подмножеств S .
- называется эмпирическим процессом, индексируемым , набор измеримых функций от S до .
Существенным результатом в области эмпирических процессов является теорема Донскера . Это привело к изучению классов Донскера : наборов функций с полезным свойством, заключающимся в том, что эмпирические процессы, индексируемые этими классами, слабо сходятся к определенному гауссовскому процессу . Хотя можно показать, что классы Донскера являются классами Гливенко – Кантелли , в общем случае обратное неверно.
Пример
В качестве примера рассмотрим эмпирические функции распределения . Для вещественных iid случайных величин X 1 , X 2 , ..., X n они имеют вид
В этом случае эмпирические процессы индексируются классом Было показано, что является классом Донскера, в частности,
- слабо сходится в к броуновскому мосту B ( F ( x )).
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Bortolussi, L .; Хиллстон, Дж . ; Latella, D .; Массинк, М. (2013). «Непрерывное приближение поведения коллективных систем: Учебное пособие» (PDF) . Оценка производительности . 70 (5): 317. DOI : 10.1016 / j.peva.2013.01.001 .
- ^ Стефанек, А .; Хайден, РА; Mac Gonagle, M .; Брэдли, JT (2012). "Анализ среднего поля марковских моделей с вознаграждением обратной связи". Методы и приложения аналитического и стохастического моделирования . Конспект лекций по информатике. 7314 . п. 193. DOI : 10.1007 / 978-3-642-30782-9_14 . ISBN 978-3-642-30781-2.
- ^ Даяр, TR; Hermanns, H .; Spieler, D .; Вольф, В. (2011). «Границы равновесного распределения моделей марковской популяции». Численная линейная алгебра с приложениями . 18 (6): 931. arXiv : 1007.3130 . DOI : 10.1002 / nla.795 .
- ^ Моджиршейбани, М. (2007). «Непараметрическая оценка кривой с недостающими данными: общий эмпирический процессный подход». Журнал статистического планирования и вывода . 137 (9): 2733–2758. DOI : 10.1016 / j.jspi.2006.02.016 .
- ^ Вулфовиц, Дж. (1954). «Обобщение теоремы Гливенко-Кантелли» . Летопись математической статистики . 25 : 131–138. DOI : 10.1214 / АОМ / 1177728852 .
дальнейшее чтение
- Биллингсли, П. (1995). Вероятность и мера (Третье изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 0471007102.
- Донскер, доктор медицины (1952). "Обоснование и расширение эвристического подхода Дуба к теоремам Колмогорова-Смирнова" . Летопись математической статистики . 23 (2): 277–281. DOI : 10.1214 / АОМ / 1177729445 .
- Дадли, Р.М. (1978). "Центральные предельные теоремы для эмпирических мер" . Летопись вероятности . 6 (6): 899–929. DOI : 10.1214 / AOP / 1176995384 .
- Дадли, Р.М. (1999). Равномерные центральные предельные теоремы . Кембриджские исследования в области высшей математики. 63 . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета.
- Косорок, М.Р. (2008). Введение в эмпирические процессы и полупараметрический вывод . Серии Спрингера в статистике. DOI : 10.1007 / 978-0-387-74978-5 . ISBN 978-0-387-74977-8.
- Shorack, GR; Веллнер, Дж. А. (2009). Эмпирические процессы с приложениями к статистике . DOI : 10.1137 / 1.9780898719017 . ISBN 978-0-89871-684-9.
- ван дер Ваарт, Аад В .; Веллнер, Джон А. (2000). Слабая сходимость и эмпирические процессы: с приложениями к статистике (2-е изд.). Springer. ISBN 978-0-387-94640-5.
- Джапаридзе, КО; Никулин, М.С. (1982). «Вероятностные распределения статистики Колмогорова и омега-квадрата для непрерывных распределений с параметрами сдвига и масштаба». Журнал советской математики . 20 (3): 2147. DOI : 10.1007 / BF01239992 .
Внешние ссылки
- Эмпирические процессы: теория и приложения , Дэвид Поллард, учебник, доступный в Интернете.
- Введение в эмпирические процессы и полупараметрический вывод , Майкл Косорок, еще один учебник, доступный в Интернете.