В теории вероятностей , теорема Донскера в (также известной как принцип инвариантности Донскера в , или теореме функциональной центральной предельной ), названная в честь Монро Д. Донскера , является функциональным продолжением центральной предельной теоремы .
Позволять - последовательность независимых и одинаково распределенных (iid) случайных величин со средним 0 и дисперсией 1. Пусть. Стохастический процессназывается случайным блужданием . Определите случайное блуждание с диффузным изменением масштаба (процесс частичной суммы) следующим образом:
Центральная предельная теорема утверждает , что сходится по распределению к стандартной гауссовской случайной величине в виде . Принцип инвариантности Донскера [1] [2] распространяет эту сходимость на всю функцию. Точнее, в его современной форме принцип инвариантности Донскера гласит, что: как случайные величины, принимающие значения в пространстве Скорохода , случайная функция сходится по распределению к стандартному броуновскому движению в виде
История
Пусть F n - эмпирическая функция распределения последовательности iid случайных величин.с функцией распределения F. Определите центрированную и масштабированную версию F n как
индексируется Купить ∈ R . Согласно классической центральной предельной теореме при фиксированном x случайная величина G n ( x ) сходится по распределению к гауссовской (нормальной) случайной величине G ( x ) с нулевым средним и дисперсией F ( x ) (1 - F ( x ) ) с увеличением размера выборки n .
Теорема (Донскер, Скороход, Колмогоров) Последовательность G n ( x ) как случайные элементы пространства Скорохода , Сходится по распределению к процессу гауссовой G с нулевым средним и ковариаций даются
Процесс G ( x ) можно записать как B ( F ( x )), где B - стандартный броуновский мост на единичном интервале.
Колмогоров (1933) показал , что , когда F является непрерывным , супремумом и супремум абсолютного значения, сходится по распределению к законам тех же функционалов от броуновского моста B ( t ), см. тест Колмогорова – Смирнова . В 1949 г. Дуб спросил, сохраняется ли сходимость по распределению для более общих функционалов, таким образом сформулировав проблему слабой сходимости случайных функций в подходящем функциональном пространстве . [3]
В 1952 г. Донскер сформулировал и доказал (не совсем правильно) [4] общее расширение эвристического подхода Дуба – Колмогорова. В исходной статье Донскер доказал, что сходимость по закону G n к броуновскому мосту имеет место для равномерных [0,1] распределений относительно равномерной сходимости по t на интервале [0,1]. [2]
Однако формулировка Донскера была не совсем верной из-за проблемы измеримости функционалов от разрывных процессов. В 1956 году Скороход и Колмогоров определили сепарабельную метрику d , названную метрикой Скорохода , на пространстве функций càdlàg на [0,1], такую, что сходимость d к непрерывной функции эквивалентна сходимости для sup нормы, и показали, что G n сходится по закону в к броуновскому мосту.
Позже Дадли переформулировал результат Донскера, чтобы избежать проблемы измеримости и необходимости метрики Скорохода. Можно доказать [4], что существуют равномерные в [0,1] X i , iid и последовательность непрерывных по выборке броуновских мостов B n , такие что
измерим и сходится по вероятности к 0. Улучшенная версия этого результата, дающая более подробную информацию о скорости сходимости, - это приближение Комлоша – Майора – Туснади .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Донскера, MD (1951). «Принцип инвариантности некоторых вероятностных предельных теорем». Мемуары Американского математического общества (6). Руководство по ремонту 0040613 .
- ^ а б Донскер, доктор медицины (1952). «Обоснование и расширение эвристического подхода Дуба к теоремам Колмогорова – Смирнова» . Анналы математической статистики . 23 (2): 277–281. DOI : 10.1214 / АОМ / 1177729445 . Руководство по ремонту 0047288 . Zbl 0046.35103 .
- ^ Дуб, Джозеф Л. (1949). «Эвристический подход к теоремам Колмогорова – Смирнова» . Анналы математической статистики . 20 (3): 393–403. DOI : 10.1214 / АОМ / 1177729991 . Руководство по ремонту 0030732 . Zbl 0035.08901 .
- ^ а б Дадли, Р.М. (1999). Равномерные центральные предельные теоремы . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-46102-3.