Конверт (теория категорий)

Тема этой статьи может не соответствовать общему руководству Википедии о известности . Пожалуйста, помогите продемонстрировать значимость темы, цитируя надежные вторичные источники , не зависящие от темы и обеспечивающие значительное ее освещение, помимо банального упоминания. Если не удается показать известность, вероятно, статья будет объединена , перенаправлена или удалена . Найти источники:  теория категорий "конверт"  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( апрель 2020 г. )( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В теории категорий и смежных областях математики оболочка - это конструкция, которая обобщает операции «внешнего пополнения», такие как пополнение локально выпуклого пространства или компактификация Стоуна – Чеха топологического пространства. Двойственная конструкция называется уточнением .

Определение

Предположим , что есть категория, объект в и и два класса морфизмов . Определение ^[1] оболочки в классе по отношению к классу состоит из двух шагов.${\ displaystyle K}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Phi}$

Расширение.

• Морфизм в называется расширением объекта в классе морфизмов относительно класса морфизмов , если и для любого морфизма из класса существует единственный морфизм в такой, что .${\ displaystyle \ sigma: X \ to X '}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ sigma \ in \ Omega}$${\ displaystyle \ varphi: X \ to B}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ varphi ': X' \ to B}$${\ displaystyle K}$${\displaystyle \varphi =\varphi '\circ \sigma }$

Конверт.

• Расширение объекта в классе морфизмов относительно класса морфизмов называется оболочкой in относительно , если для любого другого расширения ( in относительно ) существует единственный морфизм in такой, что . Объект также называется огибающей в отношении .${\displaystyle \rho :X\to E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \sigma :X\to X'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \upsilon :X'\to E}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \rho =\upsilon \circ \sigma }$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Phi }$

Обозначения:

${\displaystyle \rho ={\text{env}}_{\Phi }^{\Omega }X,\qquad E={\text{Env}}_{\Phi }^{\Omega }X.}$

В частном случае , когда класс всех морфизмов , чьи диапазоны относятся к данному классу объектов в его удобно заменить с в обозначениях (и в терминах):${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle L}$

${\displaystyle \rho ={\text{env}}_{\Phi }^{L}X,\qquad E={\text{Env}}_{\Phi }^{L}X.}$

Аналогичным образом , если это класс всех морфизмов , чьи диапазоны относятся к данному классу объектов в удобно заменить с в обозначениях (и в терминах):${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \rho ={\text{env}}_{M}^{\Omega }X,\qquad E={\text{Env}}_{M}^{\Omega }X.}$

Например, можно говорить об оболочке в классе объектов по отношению к классу объектов${\displaystyle X}$${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$ :

${\displaystyle \rho ={\text{env}}_{M}^{L}X,\qquad E={\text{Env}}_{M}^{L}X.}$

Сети эпиморфизмов и функториальность

Предположим, что каждому объекту в категории присвоено подмножество в классе всех эпиморфизмов категории , исходящей из , и выполняются следующие три требования:${\displaystyle X\in \operatorname {Ob} ({K})}$${\displaystyle {K}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}^{X}}$${\displaystyle \operatorname {Epi} ^{X}}$${\displaystyle {K}}$${\displaystyle X}$

• для каждого объекта набор непустой и направлен влево относительно предзаказа, унаследованного от${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {N}}^{X}}$${\displaystyle \operatorname {Epi} ^{X}}$

${\displaystyle \forall \sigma ,\sigma '\in {\mathcal {N}}^{X}\quad \exists \rho \in {\mathcal {N}}^{X}\quad \rho \to \sigma \ \&\ \rho \to \sigma ',}$

• для каждого объекта ковариантная система морфизмов, порожденная${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {N}}^{X}}$

${\displaystyle \{\iota _{\rho }^{\sigma };\ \rho ,\sigma \in {\mathcal {N}}^{X},\ \rho \to \sigma \}}$

имеет копредел в , называемый локальным пределом в ;${\displaystyle \varprojlim {\mathcal {N}}^{X}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle X}$

• для каждого морфизма и для каждого элемента существуют элемент и морфизм ^[2] такие, что${\displaystyle \alpha :X\to Y}$${\displaystyle \tau \in {\mathcal {N}}^{Y}}$${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {N}}^{X}}$${\displaystyle \alpha _{\sigma }^{\tau }:\operatorname {Cod} \sigma \to \operatorname {Cod} \tau }$

${\displaystyle \tau \circ \alpha =\alpha _{\sigma }^{\tau }\circ \sigma .}$

Тогда семейство множеств называется сетью эпиморфизмов в категории .${\displaystyle {\mathcal {N}}=\{{\mathcal {N}}^{X};\ X\in \operatorname {Ob} ({K})\}}$${\displaystyle {K}}$

Примеры.

1. Для каждого локально выпуклого топологического векторного пространства и для каждой замкнутой выпуклой сбалансированной окрестности нуля рассмотрим его ядро и фактор-пространство, наделенное нормированной топологией с единичным шаром , и пусть - пополнение (очевидно, является банаховым пространством и это называется фактор - банахово пространство из по ). Система естественных отображений представляет собой сеть эпиморфизмов в категории локально выпуклых топологических векторных пространств.${\displaystyle X}$${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle \operatorname {Ker} U=\bigcap _{\varepsilon >0}\varepsilon \cdot U}$${\displaystyle X/\operatorname {Ker} U}$${\displaystyle U+\operatorname {Ker} U}$${\displaystyle X/U=(X/\operatorname {Ker} U)^{\blacktriangledown }}$${\displaystyle X/\operatorname {Ker} U}$${\displaystyle X/U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X\to X/U}$${\displaystyle {\text{LCS}}}$
2. Для каждых ЛВПА алгебры и для каждых полумультипликативных замкнутых выпуклых уравновешенных окрестностей нуля ,${\displaystyle A}$${\displaystyle U\subseteq X}$

${\displaystyle U\cdot U\subseteq U}$,

давайте снова рассмотрим его ядро и фактор - алгебру , наделенную топологией нормированной с единичным шаром , и пусть пополнение (очевидно, является банаховой алгеброй , и это называется фактор - Банах алгебра из по ). Система естественных отображений представляет собой сеть эпиморфизмов в категории локально выпуклых топологических алгебр.${\displaystyle \operatorname {Ker} U=\bigcap _{\varepsilon >0}\varepsilon \cdot U}$${\displaystyle A/\operatorname {Ker} U}$${\displaystyle U+\operatorname {Ker} U}$${\displaystyle A/U=(A/\operatorname {Ker} U)^{\blacktriangledown }}$${\displaystyle A/\operatorname {Ker} U}$${\displaystyle A/U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle A\to A/U}$${\displaystyle {\text{LCS}}}$

Теорема. ^[3] Позвольте быть сеть эпиморфизмов в категории, которая порождает класс морфизмов внутри:${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle {K}}$${\displaystyle \varPhi }$

${\displaystyle {\mathcal {N}}\subseteq \varPhi \subseteq \operatorname {Mor} ({K})\circ {\mathcal {N}}.}$

Тогда для любого класса эпиморфизмов в , содержащего все локальные пределы${\displaystyle \varOmega }$${\displaystyle K}$ ,${\displaystyle \varprojlim {\mathcal {N}}^{X}}$

${\displaystyle \{\varprojlim {\mathcal {N}}^{X};\ X\in \operatorname {Ob} (K)\}\subseteq \varOmega \subseteq \operatorname {Epi} (K),}$

имеет место следующее:

(i) для каждого объекта в локальном пределе есть конверт${\displaystyle X}$${\displaystyle {K}}$${\displaystyle \varprojlim {\mathcal {N}}^{X}}$ в отношении :${\displaystyle \operatorname {env} _{\varPhi }^{\varOmega }X}$${\displaystyle \varOmega }$${\displaystyle \varPhi }$

${\displaystyle \varprojlim {\mathcal {N}}^{X}=\operatorname {env} _{\varPhi }^{\varOmega }X,}$

(ii) оболочку можно определить как функтор.${\displaystyle \operatorname {Env} _{\varPhi }^{\varOmega }}$

Теорема. ^[4] Позвольте быть сеть эпиморфизмов в категории, которая порождает класс морфизмов внутри:${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle {K}}$${\displaystyle \varPhi }$

${\displaystyle {\mathcal {N}}\subseteq \varPhi \subseteq \operatorname {Mor} ({K})\circ {\mathcal {N}}.}$

Тогда для любого мономорфно дополняемого класса эпиморфизмов в такой, что он имеет совместную мощность ^[5] в оболочке, можно определить как функтор.${\displaystyle \varOmega }$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \varOmega }$${\displaystyle \operatorname {Env} _{\varPhi }^{\varOmega }}$

Теорема. ^[6] Предположим, что категория и класс объектов обладают следующими свойствами:${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$

(я) является cocomplete ,${\displaystyle K}$

(ii) имеет узловое разложение ,${\displaystyle K}$

(iii) имеет одинаковую мощность в классе , ^[7]${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {Epi} }$

(iv) происходит от :${\displaystyle \operatorname {Mor} (K,L)}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \forall X\in \operatorname {Ob} (K)\quad \exists \varphi \in \operatorname {Mor} (K)\quad \operatorname {Dom} \varphi =X\quad \&\quad \operatorname {Cod} \varphi \in L}$,

(v) отличается морфизмами снаружи: для любых двух различных параллельных морфизмов существует такой морфизм , что ,${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \alpha \neq \beta :X\to Y}$${\displaystyle \varphi :Y\to Z\in L}$${\displaystyle \varphi \circ \alpha \neq \varphi \circ \beta }$

(vi) закрыто относительно перехода к копределам,${\displaystyle L}$

(vii) замкнут относительно перехода от области морфизма к его узловому образу : если , то .${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \operatorname {Cod} \alpha \in L}$${\displaystyle \operatorname {Im} _{\infty }\alpha \in L}$

Тогда оболочку можно определить как функтор.${\displaystyle \operatorname {Env} _{L}^{L}}$

Примеры

В следующем списке все оболочки можно определить как функторы.

1. Завершение из локально выпуклых топологических векторного пространства является огибающим в категории всех локально выпуклых пространств по отношению к классу из банаховых пространств : ^[8] . Очевидно, это обратный предел фактор-банаховых пространств (определенных выше):${\displaystyle X^{\blacktriangledown }}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{LCS}}}$${\displaystyle {\text{Ban}}}$ ${\displaystyle X^{\blacktriangledown }={\text{Env}}_{\text{Ban}}^{\text{LCS}}X}$${\displaystyle X^{\blacktriangledown }}$${\displaystyle X/U}$

${\displaystyle X^{\blacktriangledown }=\lim _{0\gets U}X/U.}$

2. Камень-чеховское тихоновского топологического пространства является огибающей в категории всех тихоновских пространств в классе из компактных пространств по отношению к тому же классу : ^[8]${\displaystyle \beta :X\to \beta X}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{Tikh}}}$${\displaystyle {\text{Com}}}$${\displaystyle {\text{Com}}}$ ${\displaystyle \beta X={\text{Env}}_{\text{Com}}^{\text{Com}}X.}$

3. Оболочка Аренса-Майкла ^{[9] [10] [11] [12]} локально выпуклой топологической алгебры с отдельно непрерывным умножением является оболочкой в категории всех (локально выпуклых) топологических алгебр (с отдельно непрерывными умножениями ) в классе по отношению к классу банаховых алгебр: . Алгебра является обратным пределом для фактор-банаховых алгебр (определенных выше):${\displaystyle A^{\text{AM}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\text{TopAlg}}}$${\displaystyle {\text{TopAlg}}}$${\displaystyle {\text{Ban}}}$${\displaystyle A^{\text{AM}}={\text{Env}}_{\text{Ban}}^{\text{TopAlg}}A}$${\displaystyle A^{\text{AM}}}$${\displaystyle A/U}$

${\displaystyle A^{\text{AM}}=\lim _{0\gets U}A/U.}$

4. голоморфная оболочка ^[13] из стереотипа алгебры является огибающая в категории всех стереотипных алгебр в классе всех плотных эпиморфизмах ^[14] в отношении к классу всех банаховых алгебр:${\displaystyle {\text{Env}}_{\cal {O}}A}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\text{SteAlg}}}$${\displaystyle {\text{DEpi}}}$${\displaystyle {\text{SteAlg}}}$${\displaystyle {\text{Ban}}}$${\displaystyle {\text{Env}}_{\cal {O}}A={\text{Env}}_{\text{Ban}}^{\text{DEpi}}A.}$

5. гладкие огибающее ^[15] из стереотипа алгебры является огибающей в категории всех инволютивных стереотипных алгебр в классе всех плотных эпиморфизмов ^[14] в отношении к классу всех дифференциальных гомоморфизмов в различный C * -алгебры с присоединенными самосопряженными нильпотентными элементами:${\displaystyle {\text{Env}}_{\cal {E}}A}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\text{InvSteAlg}}}$${\displaystyle {\text{DEpi}}}$${\displaystyle {\text{InvSteAlg}}}$${\displaystyle {\text{DiffMor}}}$${\displaystyle {\text{Env}}_{\cal {E}}A={\text{Env}}_{\text{DiffMor}}^{\text{DEpi}}A.}$

6. непрерывной огибающей ^{[16] [17]} из стереотипа алгебры является огибающей в категории всех инволютивными стереотипных алгебр в классе всех плотных эпиморфизмов ^[14] в отношении к классу всех C * -алгебр:${\displaystyle {\text{Env}}_{\cal {C}}A}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\text{InvSteAlg}}}$${\displaystyle {\text{DEpi}}}$${\displaystyle {\text{InvSteAlg}}}$${\displaystyle {\text{C}}^{*}}$${\displaystyle {\text{Env}}_{\cal {C}}A={\text{Env}}_{{\text{C}}^{*}}^{\text{DEpi}}A.}$

Приложения

Оболочки появляются как стандартные функторы в различных областях математики. Помимо примеров, приведенных выше,

• Гельфанд преобразования коммутативной инволютивного стереотипа алгебры является непрерывной оболочкой ; ^{[18] [19]}${\displaystyle G_{A}:A\to C({\text{Spec}}A)}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

• для каждой локально компактной абелевой группы преобразование Фурье является непрерывным огибающая стереотипа групповой алгебры мер с компактным носителем на . ^[18]${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F_{A}:C^{\star }(G)\to C({\widehat {G}})}$ ${\displaystyle C^{\star }(G)}$${\displaystyle G}$

В абстрактном гармоническом анализе понятие оболочки играет ключевую роль в обобщениях теории двойственности Понтрягина ^[20] на классы некоммутативных групп: голоморфные, гладкие и непрерывные оболочки стереотипных алгебр (в приведенных выше примерах ) приводят соответственно к построению голоморфной, гладкой и непрерывной дуальностей в больших геометрических дисциплинах - комплексной геометрии , дифференциальной геометрии и топологии - для определенных классов (не обязательно коммутативных) топологических групп, рассматриваемых в этих дисциплинах ( аффинные алгебраические группы, а также некоторые классы групп Ли и групп Мура). ^{[21] [18] [20] [22]}

Смотрите также

• Уточнение

Примечания

использованная литература

• Хелемский, А.Я. (1993). Банаховы и локально выпуклые алгебры . Оксфордские научные публикации. Кларендон Пресс .
• Пирковский, А.Ю. (2008). «Оболочки Аренса-Майкла, гомологические эпиморфизмы и относительно квазисвободные алгебры» (PDF) . Пер. Московская математика. Soc . 69 : 27–104. DOI : 10.1090 / S0077-1554-08-00169-6 .
• Акбаров, С.С. (2009). «Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственности для групп Штейна с алгебраической связной компонентой единицы». Журнал математических наук . 162 (4): 459–586. arXiv : 0806.3205 . DOI : 10.1007 / s10958-009-9646-1 . S2CID  115153766 .
• Акбаров, С.С. (2010). Стереотипные алгебры и двойственность для групп Штейна (Диссертация). Московский Государственный Университет.
• Акбаров, С.С. (2016). «Конверты и уточнения по категориям, с приложениями к функциональному анализу» . Математические диссертации . 513 : 1–188. arXiv : 1110.2013 . DOI : 10,4064 / dm702-12-2015 . S2CID  118895911 .
• Акбаров, С.С. (2017а). «Непрерывные и гладкие оболочки топологических алгебр. Часть 1». Журнал математических наук . 227 (5): 531–668. arXiv : 1303,2424 . DOI : 10.1007 / s10958-017-3599-6 . S2CID  126018582 .
• Акбаров, С.С. (2017б). «Непрерывные и гладкие оболочки топологических алгебр. Часть 2». Журнал математических наук . 227 (6): 669–789. arXiv : 1303,2424 . DOI : 10.1007 / s10958-017-3600-4 . S2CID  128246373 .
• Акбаров, С.С. (2013). «Преобразование Гельфанда как C * -оболочка». Математические заметки . 94 (5–6): 814–815. DOI : 10.1134 / S000143461311014X . S2CID  121354607 .
• Кузнецова Ю. (2013). «Двойственность для групп Мура». Журнал теории операторов . 69 (2): 101–130. arXiv : 0907.1409 . Bibcode : 2009arXiv0907.1409K . DOI : 10,7900 / jot.2011mar17.1920 . S2CID  115177410 .