Эволюционная теория графов является областью исследований , лежащих на пересечении теории графов , теории вероятностей и математической биологии . Эволюционная теория графов является подходом к изучению , как топология влияет на эволюцию в виде населения . То, что лежащая в основе топология может существенно повлиять на результаты эволюционного процесса, наиболее ясно видно в статье Эреза Либермана , Кристофа Хауэрта и Мартина Новака . [1]
В эволюционной теории графов, люди занимают вершины взвешенного ориентированного графа и веса ш I J о качестве ребра от вершины я к вершине J обозначает вероятность я замену J . Вес соответствует биологическому понятию приспособленности, при котором более приспособленные типы размножаются быстрее. Одно свойство, изучаемое на графах с двумя типами людей, - это вероятность фиксации , которая определяется как вероятность того, что один случайно размещенный мутант типа A заменит популяцию типа B. Согласно изотермической теореме, граф имеет ту же вероятность фиксации, что и соответствующий процесс Морана, тогда и только тогда, когда он изотермичен, поэтому сумма всех весов, ведущих в вершину, одинакова для всех вершин. Так, например, полный граф с равными весами описывает процесс Морана. Вероятность фиксации равна
где r - относительная приспособленность вторгающегося типа.
Графики можно разделить на усилители отбора и подавители отбора. Если вероятность фиксации единственной полезной мутациивыше вероятности фиксации соответствующего процесса Морана тогда график - усилитель, иначе - подавитель отбора. Одним из примеров подавителя выбора является линейный процесс, в котором только вершина i-1 может заменить вершину i (но не наоборот). В этом случае вероятность фиксации равна(где N - количество вершин), поскольку это вероятность того, что мутация возникнет в первой вершине, которая в конечном итоге заменит все остальные. Сдля всех r больше 1 этот график по определению подавляет выбор.
Эволюционная теория графов также может быть изучена в двойственной формулировке, как объединяющееся случайное блуждание или как случайный процесс. Мы можем рассматривать популяцию мутантов на графике как случайное блуждание между поглощающими барьерами, представляющими вымирание мутантов и фиксацию мутантов. Для высокосимметричных графов мы можем затем использовать мартингалы, чтобы найти вероятность фиксации, как показано Монком (2018).
Также эволюционные игры можно изучать на графах, где снова ребро между i и j означает, что эти два человека будут играть в игру друг против друга.
Тесно связанные стохастические процессы включают модель избирателя , которую представили Клиффорд и Садбери (1973) и независимо Холли и Лиггетт (1975), и которая была тщательно изучена.
Библиография
- Холли, РА; Лиггетт, TM (1975). «Эргодические теоремы для слабовзаимодействующих бесконечных систем и модель избирателя» . Летопись вероятности . 3 (4): 643–663. DOI : 10.1214 / AOP / 1176996306 .
- Лиггетт, Томас М. (1999). Стохастические взаимодействующие системы: процессы контакта, голосования и исключения . Берлин: Springer. ISBN 978-3-540-65995-2.
- Clifford, P .; Садбери, А. (1973). «Модель пространственного конфликта». Биометрика . 60 (3): 581–588. DOI : 10.1093 / Biomet / 60.3.581 .
- Мартин А. Новак (2006). Эволюционная динамика: исследование уравнений жизни . Кембридж: Belknap Press издательства Гарвардского университета . ISBN 978-0-674-02338-3.
- Монк, Т. (2018). «Мартингалы и вероятность фиксации многомерных эволюционных графов». Журнал теоретической биологии . 451 : 10–18. DOI : 10.1016 / j.jtbi.2018.04.039 . PMID 29727631 .
Рекомендации
- ^ Либерман, E .; Hauert, C .; Новак, Массачусетс (2005). «Эволюционная динамика на графах». Природа . 433 (7023): 312–316. Bibcode : 2005Natur.433..312L . CiteSeerX 10.1.1.398.4515 . DOI : 10,1038 / природа03204 . PMID 15662424 .
Внешние ссылки
Виртуальная лаборатория для изучения эволюции на графах: [1]
дальнейшее чтение
- Аллен, Бенджамин; Новак, Мартин А. (2014). «Игры на графах» . Обзоры EMS по математическим наукам . 1 (1): 113–151. DOI : 10.4171 / EMSS / 3 .