Экспансивный гомеоморфизм

В математике понятие расширяемости формализует понятие точек, удаляющихся друг от друга под действием повторяющейся функции . Идея расширяемости довольно жесткая , как показывают определение положительной расширяемости ниже, а также теорема Шварца – Альфорса – Пика .

Определение

Если - метрическое пространство , гомеоморфизм называется расширяющим, если существует константа ${\ displaystyle (X, d)}$ ${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до X}$

${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}> 0,}$

называется константой расширения , такой, что для каждой пары точек в существует целое число такое, что ${\ Displaystyle х \ neq y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle d (f ^ {n} (x), f ^ {n} (y)) \ geq \ varepsilon _ {0}.}$

Обратите внимание, что в этом определении, может быть положительным или отрицательным, и поэтому может быть расширяющимся в прямом или обратном направлениях.${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f}$

Пространство часто считается компактным , поскольку в этом предположении расширяемость является топологическим свойством; т. е. если есть какая-либо другая метрика, порождающая ту же топологию , что и, и если расширяющая в , то расширяющая в (возможно, с другой константой расширения).${\ displaystyle X}$${\ displaystyle d '}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle (X, d)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle (X, d ')}$

Если

${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до X}$

является непрерывным отображением, мы говорим, что оно является положительно расширяющим (или расширяющим вперед ), если существует ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$

такой, что для любого in существует такой, что .${\ Displaystyle х \ neq y}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle д (е ^ {п} (х), е ^ {п} (у)) \ geq \ varepsilon _ {0}}$

Теорема о равномерной расширяемости

Если f - расширяющий гомеоморфизм компактного метрического пространства, теорема о равномерной расширяемости утверждает, что для каждого и существует такое, что для каждой пары точек из таких, что существует такое с , что ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle N>0}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d(x,y)>\epsilon }$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \vert n\vert \leq N}$

${\displaystyle d(f^{n}(x),f^{n}(y))>c-\delta ,}$

где - коэффициент расширения ( доказательства ).${\displaystyle c}$${\displaystyle f}$

Обсуждение

Положительная экспансивность намного сильнее экспансивности. Фактически, можно доказать, что если компактен и является положительно расширяющим гомеоморфизмом, то конечно ( доказательство ).${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$

внешние ссылки

• Экспансивные динамические системы в научном журнале

Эта статья включает в себя материалы из следующих статей PlanetMath , которые находятся под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License : обширная, единообразная экспансия.