Решатели электромагнитного поля (или иногда просто решатели поля ) - это специализированные программы, которые решают (подмножество) уравнений Максвелла напрямую. Они являются частью области автоматизации проектирования электроники , или EDA, и обычно используются при разработке интегральных схем и печатных плат . Они используются, когда требуется решение из первых принципов или требуется высочайшая точность.
Вступление
Извлечение моделей паразитных цепей имеет важное значение для различных аспектов физической проверки , таких как сроки , целостность сигнала , подложки связи , и анализ электрических сетей. По мере увеличения скорости и плотности схемы возросла потребность в точном учете паразитных эффектов для более крупных и сложных структур межсоединений. Кроме того, сложность электромагнитного поля также выросла: от сопротивления и емкости до индуктивности , а теперь и до полного распространения электромагнитных волн . Это увеличение сложности также увеличилось для анализа пассивных устройств, таких как интегрированные индукторы. Электромагнитное поведение регулируется уравнениями Максвелла , и вся паразитная экстракция требует решения некоторой формы уравнений Максвелла . Эта форма может быть простым аналитическим уравнением емкости параллельных пластин или может включать полное численное решение сложной трехмерной геометрии с распространением волн. В экстракции макета , аналитические формулы для простого или упрощенной геометрии могут быть использованы , где точность менее важно , чем скорость, но когда геометрическая конфигурация не является простой и требует точности , не позволяет упростить, численное решение соответствующей формы уравнений Максвелла должно быть использовано .
Соответствующая форма уравнений Максвелла обычно решается одним из двух классов методов. Первый использует дифференциальную форму управляющих уравнений и требует дискретизации (построения сетки) всей области, в которой находятся электромагнитные поля. Двумя наиболее распространенными подходами в этом первом классе являются метод конечных разностей (FD) и метод конечных элементов (FEM). Результирующая линейная алгебраическая система (матрица), которую необходимо решить, является большой, но разреженной (содержит очень мало ненулевых элементов). Для решения этих систем могут использоваться методы разреженного линейного решения, такие как разреженная факторизация, сопряженный градиент или многосеточные методы , лучшие из которых требуют времени процессора и памяти O (N), где N - количество элементов в дискретизация. Однако большинство проблем в автоматизации проектирования электроники (EDA) являются открытыми проблемами, также называемыми внешними проблемами, и, поскольку поля медленно уменьшаются до бесконечности, эти методы могут потребовать чрезвычайно большого N.
Второй класс методов - это методы интегральных уравнений, которые вместо этого требуют дискретизации только источников электромагнитного поля. Эти источники могут быть физическими величинами, такими как поверхностная плотность заряда для задачи емкости, или математическими абстракциями, возникающими в результате применения теоремы Грина. Когда источники существуют только на двумерных поверхностях для трехмерных задач, метод часто называют методом граничных элементов (МГЭ). Для открытых задач источники поля существуют в гораздо меньшей области, чем сами поля, и, таким образом, размер линейных систем, генерируемых методами интегральных уравнений, намного меньше, чем размер FD или FEM. Однако методы интегральных уравнений генерируют плотные (все элементы ненулевые) линейные системы, что делает такие методы предпочтительными по сравнению с FD или FEM только для небольших задач. Такие системы требуют O (n 2 ) памяти для хранения и O (n 3 ) для решения с помощью прямого исключения Гаусса или, в лучшем случае, O (n 2 ), если решение решается итеративно. Увеличение скорости и плотности схемы требует решения все более сложных межсоединений, что делает подходы с плотным интегральным уравнением непригодными из-за этих высоких темпов роста вычислительных затрат с увеличением размера проблемы.
За последние два десятилетия была проделана большая работа по совершенствованию как дифференциальных, так и интегральных уравнений, а также новых подходов, основанных на методах случайных блужданий . [1] [2] Методы усечения дискретизации, требуемые подходами FD и FEM, значительно сократили количество требуемых элементов. [3] [4] Подходы с использованием интегральных уравнений стали особенно популярными для извлечения межсоединений из-за методов разрежения, также иногда называемых матричным сжатием, ускорением или методами без использования матриц, которые привели к увеличению объема памяти и времени решения почти на O (n). методы интегральных уравнений. [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11]
В индустрии ИС для решения задач извлечения емкости и индуктивности обычно используются методы разреженного интегрального уравнения. Методы случайного блуждания стали достаточно зрелыми для извлечения емкости. Для задач, требующих решения полных уравнений Максвелла (полноволновые), используются как дифференциальные, так и интегральные уравнения.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ YL Ле Коз и RB Айверсон. Стохастический алгоритм для высокоскоростного извлечения емкости в интегральных схемах . Твердотельная электроника, 35 (7): 1005-1012, 1992.
- ^ Ю, Вэньцзянь; Чжуан, Хао; Чжан, Чао; Ху, банда; Лю, Чжи (2013). «RWCap: решающая программа на основе случайного блуждания для трехмерного извлечения емкости из очень крупномасштабных интеграционных межсоединений». IEEE Transactions по автоматизированному проектированию интегральных схем и систем . 32 (3): 353–366. CiteSeerX 10.1.1.719.3986 . DOI : 10,1109 / TCAD.2012.2224346 . S2CID 16351864 .
- ^ ОМ Рамахи; Б. Аршамбо (1995). «Адаптивные поглощающие граничные условия в приложениях с конечной разностью во временной области для моделирования электромагнитной совместимости». IEEE Trans. Электромагнит. Compat. 37 (4): 580–583. DOI : 10.1109 / 15.477343 .
- ^ JC Veihl; Р. Миттра (февраль 1996 г.). «Эффективная реализация идеально согласованного слоя Беренджера (PML) для конечно-разностного усечения сетки во временной области». IEEE Микроволновые и Волноводные Письма . 6 (2): 94. DOI : 10,1109 / 75,482000 .
- ^ Л. Грингард. Быстрая оценка потенциальных полей в системах частиц . MIT Press, Кембридж, Массачусетс, 1988.
- ^ В. Рохлин. Быстрое решение интегральных уравнений классической теории потенциала . Журнал вычислительной физики, 60 (2): 187-207, 15 сентября 1985 г.
- ^ К. Наборс; Дж. Уайт (ноябрь 1991 г.). «Fastcap: программа извлечения емкости 3-D с мультипольным ускорением». IEEE Transactions по автоматизированному проектированию интегральных схем и систем . 10 (11): 1447–1459. CiteSeerX 10.1.1.19.9745 . DOI : 10.1109 / 43.97624 .
- ^ А. Брандт. Многоуровневые вычисления интегральных преобразований и взаимодействий частиц с колебательными ядрами . Computer Physics Communications, 65: 24-38, 1991.
- ^ JR Филлипс; Дж. К. Уайт (октябрь 1997 г.). «Метод предварительно скорректированного БПФ для электростатического анализа сложных трехмерных структур». IEEE Transactions по автоматизированному проектированию интегральных схем и систем . 16 (10): 1059–1072. CiteSeerX 10.1.1.20.791 . DOI : 10.1109 / 43.662670 .
- ^ С. Капур; DE Long (октябрь – декабрь 1998 г.). «IES 3 : Эффективное электростатическое и электромагнитное моделирование». IEEE Вычислительная наука и инженерия . 5 (4): 60–67. DOI : 10.1109 / 99.735896 .
- ^ JM Song; CC Lu; WC Chew; SW Ли (июнь 1998 г.). «Быстрый код решателя штата Иллинойс (FISC)». Журнал IEEE Antennas and Propagation Magazine . 40 (3): 27–34. Bibcode : 1998IAPM ... 40 ... 27S . CiteSeerX 10.1.1.7.8263 . DOI : 10.1109 / 74.706067 .
- Справочник по автоматизации проектирования электроники для интегральных схем , Лаваньо, Мартин и Шеффер, ISBN 0-8493-3096-3 Обзор области автоматизации проектирования электроники . Это резюме было взято (с разрешения) из Тома II, главы 26 « Высокоточная экстракция паразитов» Маттана Камона и Ральфа Айверсона.