Динамика файла

Термин « динамика файла» - это движение множества частиц в узком канале.

В науке: в химии , физике , математике и смежных областях динамика файлов (иногда называемая динамикой одного файла ) представляет собой диффузию N ( N → ∞) идентичных броуновских твердых сфер в квазиодномерном канале длиной L ( L → ∞), так что сферы не прыгают одна на другую, а средняя плотность частиц приблизительно фиксирована. Наиболее известные статистические свойства этого процесса заключаются в том, что среднеквадратичное смещение (MSD) частицы в файле следует,, а его функция плотности вероятности${\ Displaystyle \ mathrm {MSD} \ приблизительно т ^ {\ гидроразрыва {1} {2}}}$( PDF ) является гауссовым по положению с дисперсией MSD. ^{[1] [2] [3]}

Результаты в файлах, которые обобщают основной файл, включают:

• В файлах с законом плотности, который не фиксирован, но затухает по степенному закону с показателем a с расстоянием от начала координат, частица в начале координат имеет MSD, который масштабируется, как,, с гауссовой PDF . ^[4]${\ displaystyle MSD \ приблизительно t ^ {\ frac {1 + a} {2}}}$
• Когда, кроме того, коэффициенты диффузии частиц распределяются по степенному закону с показателем γ (вокруг начала координат), MSD следует ,, с гауссовой PDF . ^[5]${\ displaystyle MSD \ приблизительно t ^ {\ frac {1- \ gamma} {2 / (1 + a) - \ gamma}}}$
• В аномальных файлах, которые обновляются, а именно, когда все частицы пытаются совершить прыжок вместе, тем не менее, со временем перехода, взятым из распределения, которое затухает по степенному закону с показателем -1 -  α , MSD масштабируется как MSD соответствующего обычный файл, в степени α. ^[6]
• В аномальных файлах независимых частиц, то MSD очень медленно и чешуйки нравится, . Что еще более интересно, частицы образуют кластеры в таких файлах, определяя динамический фазовый переход. Это зависит от мощности аномалии a: процент частиц в кластерах ξ вытекает, . ^[7]${\ Displaystyle MSD \ приблизительно журнал ^ {2} (t)}$${\ displaystyle \ xi \ приблизительно {\ sqrt {1- \ alpha ^ {3}}}}$
• Другие обобщения включают: когда частицы могут обходить друг друга с постоянной вероятностью при встрече, наблюдается усиленная диффузия. ^[8] Когда частицы взаимодействуют с каналом, наблюдается более медленная диффузия. ^[9] Файлы, встроенные в двухмерное изображение, показывают аналогичные характеристики файлов в одном измерении. ^[7]

Обобщения базового файла важны, поскольку эти модели представляют реальность гораздо точнее, чем базовый файл. Действительно, файловая динамика используется при моделировании многочисленных микроскопических процессов: ^{[10] [11] [12] [13] [14] [15] [16]} диффузия в биологических и синтетических порах и пористом материале, диффузия вдоль одномерных объектов, например, в биологических дорогах, динамика мономера в полимере и т. д.

Математическая формулировка [ править ]

Простые файлы [ править ]

В простых броуновских файлах совместная функция плотности вероятности (PDF) для всех частиц в файле подчиняется нормальному уравнению диффузии:${\ Displaystyle P (\ mathbf {x}, т \ mid \ mathbf {x_ {0}})}$

${\displaystyle \partial _{t}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} )=D\Sigma _{j=-M}^{M}\partial _{x_{j}}^{2}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ).}$

( 1 )

In , - это набор положений частиц в момент времени и - набор начальных положений частиц в начальный момент времени (установлен в ноль). Уравнение (1) решается с соответствующими граничными условиями, которые отражают твердосферную природу файла:${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} )}$${\displaystyle \mathbf {x} =\{x_{-M},x_{-M+1},\ldots ,x_{M}\}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$${\displaystyle t_{0}}$

${\displaystyle {\big (}D\partial _{x_{j}}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ){\big )}_{x_{j}=x_{j+1}}={\big (}D\partial _{x_{j+1}}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ){\big )}_{x_{j+1}=x_{j}};\qquad j=-M,\ldots ,M-1,}$

( 2 )

и с соответствующим начальным условием:

${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t\rightarrow \infty \mid x_{0})=\Pi _{j=-M}^{M}\delta (x_{j}-x_{0,j}).}$

( 3 )

В простом файле начальная плотность фиксирована, а именно , где - параметр, представляющий микроскопическую длину. Координаты ПРВ должны выполнить приказ: .${\displaystyle x_{0,j}=j\Delta }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle x_{-M}\leq x_{-M+1}\leq \cdots \leq x_{M}}$

Гетерогенные файлы [ править ]

В таких файлах уравнение движения выглядит следующим образом:

${\displaystyle \partial _{t}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} )=\Sigma _{j=-M}^{M}D_{j}\partial _{x_{j}}^{2}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ).}$

( 4 )

с граничными условиями:

${\displaystyle {\big (}D_{j}\partial _{x_{j}}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ){\big )}_{x_{j}=x_{j+1}}={\big (}D_{j+1}\partial _{x_{j+1}}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ){\big )}_{x_{j+1}=x_{j}};\qquad j=-M,\ldots ,M-1,}$

( 5 )

и с начальным условием, уравнение. ( 3 ), где начальные положения частиц подчиняются:

${\displaystyle x0,j=sign(j)\Delta \mid j\mid ^{1/(1-a)};\qquad 0\leq {\mathit {a}}\leq 1.}$

( 6 )

Коэффициенты распространения файла берутся независимо от PDF,

${\displaystyle W(D)={\frac {1-\gamma }{\Lambda }}(D/\Lambda )^{-\gamma },\qquad 0\leq \gamma \leq 1,}$

( 7 )

где Λ имеет конечное значение, которое представляет собой самый быстрый коэффициент диффузии в файле.

Обновленные, аномальные, разнородные файлы [ править ]

В файлах с аномальным обновлением случайный период берется независимо от функции плотности вероятности времени ожидания (WT-PDF; дополнительную информацию см. В разделе Марковский процесс с непрерывным временем ) вида:, где k - параметр. Затем все частицы в файле остаются неподвижными в течение этого случайного периода, после чего все частицы пытаются прыгнуть в соответствии с правилами файла. Эта процедура повторяется снова и снова. Уравнение движения для PDF частиц в восстановительно-аномальном файле получается при свертке уравнения движения для броуновского файла с ядром :${\displaystyle \psi _{\alpha }(t)\sim k(kt)^{-1-\alpha },0<\alpha \leq 1}$${\displaystyle k_{\alpha }(t)}$

${\displaystyle \partial _{t}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} )=\Sigma _{j=-M}^{M}D_{j}\partial _{x_{j}}^{2}\int _{0}^{t}k_{\alpha }(t-u)P(\mathbf {x} ,u\mid \mathbf {x_{0}} )\,du.}$

( 8 )

Здесь ядро и WT-PDF связаны в пространстве Лапласа . (Преобразование Лапласа функции читается как,. ) Отражающие граничные условия сопровождают уравнение. ( 8 ) получаются при свертке граничных условий броуновского файла с ядром , где здесь и в броуновском файле начальные условия идентичны.${\displaystyle k_{\alpha }(t)}$${\displaystyle \psi _{\alpha }(t)}$${\displaystyle {\bar {k}}_{\alpha }(s)={\frac {s{\bar {\psi }}_{\alpha }(s)}{1-{\bar {\psi }}_{\alpha }(s)}}}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle {\bar {f}}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$${\displaystyle k_{\alpha }(t)}$

Аномальные файлы с независимыми частицами [ править ]

Когда каждой частице в аномальном файле назначается собственная форма прорисовки времени перехода ( одинаковая для всех частиц), аномальный файл не является файлом обновления. Базовый динамический цикл в таком файле состоит из следующих шагов: частица с самым быстрым временем перехода в файле, скажем, для частицы i , пытается совершить прыжок. Затем время ожидания для всех остальных частиц корректируется: мы вычитаем из каждой из них. Наконец, для частицы i нарисовано новое время ожидания.${\displaystyle \psi _{\alpha }(t)}$${\displaystyle \psi _{\alpha }(t)}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle t_{i}}$. Наиболее существенное различие между аномальными файлами обновления и аномальными файлами, которые не являются обновлением, заключается в том, что, когда каждая частица имеет свои собственные часы, частицы фактически связаны также во временной области, и результатом является дальнейшее замедление работы системы (доказано в основной текст). Уравнение движения PDF в аномальных файлах независимых частиц гласит:

${\displaystyle \partial _{t_{i}}P(\mathbf {x} ,\mathbf {t} \mid \mathbf {x_{0}} )=D_{i}\partial _{x_{i}}^{2}\int _{0}^{t_{i}}k_{\alpha }(t_{i}-u_{i})P(\mathbf {x} ,\mathbf {t} ^{'(i)},u_{i}\mid \mathbf {x_{0}} )\,du_{i};\qquad -M\leq i\leq M.}$

( 9 )

Обратите внимание, что аргумент времени в PDF - это вектор раз:, и . Сложение всех координат и выполнение интегрирования сначала в порядке меньшего времени (порядок определяется случайным образом из равномерного распределения в пространстве конфигураций) дает полное уравнение движения в аномальных файлах независимых частиц (усреднение уравнения по всем поэтому требуется дополнительная конфигурация). В самом деле, даже уравнение. ( 9 ) очень сложно, и усреднение еще больше усложняет ситуацию.${\displaystyle P(\mathbf {x} ,\mathbf {t} \mid \mathbf {x_{0}} )}$${\displaystyle \mathbf {t} =\{t_{i}\}_{i=-M}^{M}}$${\displaystyle \mathbf {t} ^{'(i)}=\{t_{c}\}_{c=-M,c\neq i}^{M}}$

Математический анализ [ править ]

Простые файлы [ править ]

Решение уравнений ( 1 ) - ( 2 ) - это полный набор перестановок всех начальных координат, входящих в гауссианы, ^[4]

${\displaystyle P(\mathbf {x} ,\mid \mathbf {x_{0}} )={\frac {1}{c_{N}}}\Sigma _{\{p\}}e^{-1/4Dt\Sigma _{j=-M}^{M}(x_{j}-x_{0,j}(p))^{2}}.}$

( 10 )

Здесь индекс идет по всем перестановкам начальных координат и содержит перестановки. Из уравнения. ( 10 ) вычисляется PDF помеченной частицы в файле ,, ^[4]${\displaystyle p}$${\displaystyle N!}$${\displaystyle P(r,t\mid r_{0})}$

${\displaystyle P(r,t\mid r_{0})\sim {\frac {1}{c_{N}}}e^{-R_{d}^{2}/{\sqrt {2\tau }}},}$

( 11 )

В уравнении. ( 11 ), , ( начальное условие меченых частиц), и . MSD для меченой частицы получается непосредственно из уравнения. ( 11 ):${\displaystyle R_{d}=r_{d}\Delta }$${\displaystyle r_{d}=r-r_{0}}$${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle \tau =\Delta ^{-2}Dt}$

${\displaystyle \langle R_{d}^{2}\rangle \sim {\sqrt {\tau }}.}$

( 12 )

Гетерогенные файлы [ править ]

Решение уравнений ( 4 ) - ( 7 ) аппроксимируется выражением ^[5]

${\displaystyle P(x,t\mid x_{0})\approx {\frac {1}{c_{N}}}\Sigma _{\{p\}}e^{-\Sigma _{j=-M}^{M}(x_{j}-x_{0,j}(p))^{2}/4tD_{j}}.}$

( 13 )

Начиная с уравнения. ( 13 ), PDF помеченной частицы в гетерогенном файле следует, ^[5]

${\displaystyle P(r,t\mid r_{0})\sim {\frac {1}{c_{N}}}e^{-R_{d}^{2}/4\tau \tau ^{(1-a))/(2-\gamma (1+a))}};\qquad \tau =\Delta ^{-2}\Lambda t.}$

( 14 )

MSD меченой частицы в гетерогенном файле берется из уравнения. ( 14 ):

${\displaystyle \langle R_{d}^{2}\rangle =2\tau ^{(1-\gamma )/(2c-\gamma )},\qquad c=1/((1+a)).}$

( 15 )

Продлить аномальные разнородные файлы [ править ]

Результаты аномальных файлов обновления просто выводятся из результатов броуновских файлов. Во-первых, PDF в уравнении. ( 8 ) записывается в терминах PDF, который решает несверточное уравнение, то есть уравнение броуновского файла; это соотношение осуществляется в пространстве Лапласа:

${\displaystyle {\bar {P}}(x,s\mid x_{0})={\frac {1}{{\bar {k}}_{\alpha }(s)}}{\bar {P}}_{\text{nrml}}(x,s/{\bar {k}}_{\alpha }(s)\mid x_{0}).}$

( 16 )

(Индекс nrml обозначает нормальную динамику.) Из уравнения. ( 16 ) легко связать MSD броуновских разнородных файлов и неоднородных файлов с аномальным обновлением, ^[6]

${\displaystyle \langle {\bar {r}}^{2}(s)\rangle ={\frac {1}{{\bar {k}}_{\alpha }(s)}}\langle {\bar {r}}^{2}(s/{\bar {k}}_{\alpha }(s))\rangle _{\text{nrml}}.}$

( 17 )

Из уравнения. ( 18 ), можно найти, что MSD файла с нормальной динамикой в ​​мощности является MSD соответствующего файла с аномальным обновлением, ^[6]${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \langle r^{2}(t)\rangle \sim \langle r^{2}(t)\rangle _{\text{nrml}}^{\alpha }.}$

( 19 )

Аномальные файлы с независимыми частицами [ править ]

Уравнение движения аномальных файлов с независимыми частицами ( 9 ) очень сложно. Решения для таких файлов достигаются при выводе законов масштабирования и с помощью численного моделирования.

Законы масштабирования для аномальных файлов независимых частиц [ править ]

Во-первых, мы записываем закон масштабирования для среднего абсолютного смещения ( MAD ) в файл обновления с постоянной плотностью: ^{[4] [5] [7]}

${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle \sim \langle \mid r\mid \rangle _{\text{free}}/n.}$

( 20 )

Здесь есть число частиц в покрытой длине , и является MAD свободной аномальной частицы, . В уравнении. ( 20 ), входит в вычисления, так как все частицы на расстоянии от помеченной частицы должны двигаться в одном направлении, чтобы помеченная частица достигла расстояния от своего начального положения. На основании уравнения. ( 20 ) запишем обобщенный закон масштабирования для аномальных файлов независимых частиц:${\displaystyle n}$${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle }$${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle _{\text{free}}}$${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle _{\text{free}}\sim t^{\alpha /2})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle }$${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle }$

${\displaystyle \langle |r|\rangle \sim {\frac {\langle \mid r\mid \rangle _{\text{free}}}{n}}f(n);\qquad 0<f(n)<1.}$

( 21 )

Первый член в правой части уравнения. ( 21 ) также появляется в файлах продления; тем не менее, член f (n) единственен. f (n) - это вероятность, которая объясняет тот факт, что для перемещения n аномальных независимых частиц в одном направлении, когда эти частицы действительно пытаются прыгнуть в одном направлении (выражается с помощью члена ( ), частицы на периферии должны двигаться во-первых, чтобы у частиц в середине файла было свободное пространство для перемещения, что потребовало более быстрого времени перехода для тех, кто находится на периферии. f (n) появляется, поскольку нет типичной шкалы времени для перехода в аномальных файлах, и частицы независимы, и поэтому конкретная частица может стоять на месте в течение очень долгого времени, существенно ограничивая возможности прогресса для частиц вокруг нее в это время. Ясно, что${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle _{\text{free}}/n)}$${\displaystyle 0<f(n)<1}$, где f ( n ) = 1 для файлов обновления, поскольку частицы прыгают вместе, но также и в файлах независимых частиц с , поскольку в таких файлах есть типичная шкала времени для скачка, считающаяся временем для синхронизированного скачка. Мы вычисляем f (n) из числа конфигураций, в которых порядок времени прыжка частиц допускает движение; то есть порядок, при котором более быстрые частицы всегда располагаются ближе к периферии. Для n частиц их n! разные конфигурации, где одна конфигурация является оптимальной; Итак ,. Тем не менее, хотя и не оптимально, распространение также возможно во многих других конфигурациях; когда m - количество движущихся частиц, тогда,${\displaystyle \alpha >1}$${\displaystyle (1/n!)\leq f(n)}$

${\displaystyle f(n)\sim {\dbinom {n}{m}}(n-m)!1/n!,}$

( 22 )

где подсчитывает количество конфигураций, в которых те m частиц вокруг помеченной частицы имеют оптимальный порядок перехода. Теперь, даже когда m ~ n / 2 ,. Использование в формуле. ( 21 ), ( небольшое число больше 1), мы видим,${\displaystyle {\dbinom {n}{m}}(n-m)!}$${\displaystyle f(n)\sim e^{-n/2}}$${\displaystyle f(n)\sim e^{-n/n_{0}}}$${\displaystyle n_{0}}$

${\displaystyle \mathrm {MSD} \sim \left({\frac {\alpha }{n_{0}}}\right)^{2}\ln ^{2}(t).}$

( 23 )

(В уравнении ( 23 ) мы используем ,.) Уравнение ( 23 ) показывает, что асимптотически частицы очень медленные в аномальных массивах независимых частиц.${\displaystyle MSD\sim \mid MAD\mid ^{2}}$

Численные исследования аномальных массивов независимых частиц [ править ]

Рис. 1 Траектории моделирования 501 аномальной независимой частицы с (рекомендуется: открыть файл в новом окне)${\displaystyle \alpha =0.9,0.1}$

При численных исследованиях видно, что аномальные массивы независимых частиц образуют кластеры. Это явление определяет динамический фазовый переход. В установившемся режиме процент частиц в кластере,, следует,${\displaystyle \xi (\alpha )}$

${\displaystyle \xi (\alpha )\approx {\sqrt {1-\alpha ^{3}}}}$

( 24 )

На рисунке 1 мы показываем траектории от 9 частиц в файле из 501 частицы. (Рекомендуется открывать файл в новом окне). На верхних панелях показаны траектории для, а на нижних панелях показаны траектории для . Для каждого значения показаны траектории на ранних этапах моделирования (слева) и на всех этапах моделирования (справа). Панели демонстрируют феномен кластеризации, когда траектории притягиваются друг к другу, а затем перемещаются в значительной степени вместе.${\displaystyle \alpha =0.9}$${\displaystyle \alpha =0.1}$${\displaystyle \alpha }$

См. Также [ править ]

• Броуновское движение
• Динамика Ланжевена
• Системная динамика

Ссылки [ править ]