Среднеквадратичное смещение

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Среднеквадратичное смещение»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( январь 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это шаблонное сообщение )

В статистической механики , то средний квадрат смещения ( МСД , а также средний квадрат смещения , средний квадрат смещения , или средний квадрат флуктуации ) является мерой отклонения от положения частицы относительно исходного положения в течение долгого времени. Это наиболее распространенная мера пространственной протяженности случайного движения, и ее можно рассматривать как измерение части системы, «исследованной» случайным путешественником . В области биофизики и инженерии окружающей среды среднеквадратичное смещение измеряется с течением времени, чтобы определить, распространяется ли частица исключительно из-задиффузия , или если адвективная сила также вносит свой вклад. ^[1] Другая важная концепция, диаметр, связанный с дисперсией (VRD, который является двойным корнем квадратным из MSD), также используется при изучении явлений переноса и перемешивания в области экологической инженерии . ^[2] Это заметно проявляется в факторе Дебая – Валлера (описывающем колебания в твердом состоянии) и в уравнении Ланжевена (описывающем диффузию броуновской частицы ).

MSD во времени определяется как среднее по ансамблю (статистическая механика) :${\ displaystyle t}$

${\ Displaystyle {\ rm {MSD}} \ Equiv \ langle | \ mathbf {x} (t) - \ mathbf {x_ {0}} | ^ {2} \ rangle = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {я = 1} ^ {N} | \ mathbf {x ^ {(i)}} (t) - \ mathbf {x ^ {(i)}} (0) | ^ {2}}$

где N - число частиц, которые необходимо усреднить, вектор - это исходное положение -й частицы, а вектор - это положение -й частицы в момент времени t . ^[3]${\displaystyle \mathbf {x^{(i)}} (0)=\mathbf {x_{0}^{(i)}} }$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbf {x^{(i)}} (t)}$${\displaystyle i}$

Вывод МСД для броуновской частицы в 1D [ править ]

Функция плотности вероятности (PDF) для частицы в одном измерении находится путем решения уравнения одномерной диффузии . (Это уравнение утверждает, что плотность вероятности положения со временем распространяется - это метод, используемый Эйнштейном для описания броуновской частицы. Другой метод описания движения броуновской частицы был описан Ланжевеном, теперь известным по своему тезке как ланжевеновский уравнение .)

${\displaystyle {\frac {\partial p(x,t\mid x_{0})}{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}p(x,t\mid x_{0})}{\partial x^{2}}},}$

учитывая начальное состояние ; где - положение частицы в некоторый заданный момент времени, - это начальное положение помеченной частицы, и - это постоянная диффузии в единицах СИ (косвенная мера скорости частицы). Полоса в аргументе мгновенной вероятности относится к условной вероятности. Уравнение диффузии утверждает, что скорость, с которой вероятность нахождения частицы, зависит от положения.${\displaystyle p(x_{0},t={0}\mid x_{0})=\delta (x-x_{0})}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle m^{2}s^{-1}}$${\displaystyle x(t)}$

Приведенное выше дифференциальное уравнение принимает форму одномерного уравнения теплопроводности . Одномерный PDF выше - это функция Грина уравнения теплопроводности (также известная как тепловое ядро в математике):

${\displaystyle P(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi Dt}}}\exp \left(-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{4Dt}}\right).}$

Это означает, что вероятность нахождения частицы в точке гауссова, а ширина гауссианы зависит от времени. В частности, полная ширина на половине максимума (FWHM) (технически / педантично, это фактически полная длительность на половине максимума, поскольку независимой переменной является время) масштабируется как${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle {\rm {FWHM}}\sim {\sqrt {t}}.}$

Используя PDF, можно получить среднее значение заданной функции за время :${\displaystyle L}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle \langle L(t)\rangle \equiv \int _{-\infty }^{\infty }L(x,t)P(x,t)\,dx,}$

где среднее значение берется по всему пространству (или по любой применимой переменной).

Среднеквадратичное смещение определяется как

${\displaystyle {\rm {MSD}}\equiv \langle (x(t)-x_{0})^{2}\rangle ,}$

расширение среднего ансамбля

${\displaystyle \langle (x-x_{0})^{2}\rangle =\langle x^{2}\rangle +x_{0}^{2}-2x_{0}\langle x\rangle ,}$

отказавшись от явных обозначений временной зависимости для ясности. Чтобы найти МСД, можно выбрать один из двух путей: можно явно вычислить, а затем вставить результат обратно в определение МСД; или можно было бы найти функцию создания момента , чрезвычайно полезную и общую функцию при работе с плотностями вероятностей. Производящая момент функция описывает момент PDF. Первый момент перемещения PDF , показанного выше , это просто среднее: . Второй момент представлен как .${\displaystyle \langle x^{2}\rangle }$${\displaystyle \langle x\rangle }$${\displaystyle k^{\textrm {th}}}$${\displaystyle \langle x\rangle }$${\displaystyle \langle x^{2}\rangle }$

Итак, чтобы найти функцию, производящую момент, удобно ввести характеристическую функцию:

${\displaystyle G(k)=\langle e^{ikx}\rangle \equiv \int _{I}e^{ikx}P(x,t\mid x_{0})\,dx,}$

можно разложить экспоненту в приведенном выше уравнении, чтобы получить

${\displaystyle G(k)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(ik)^{m}}{m!}}\mu _{m}.}$

Используя натуральный логарифм характеристической функции, получается новая функция - кумулянтная производящая функция ,

${\displaystyle \ln(G(k))=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(ik)^{m}}{m!}}\kappa _{m},}$

где это кумулянт из . Первые два кумулянты связаны с первыми двумя моментов, через и где второй кумулянт является так называемой дисперсией . С учетом этих определений можно исследовать моменты PDF броуновской частицы,${\displaystyle \kappa _{m}}$${\displaystyle m{\textrm {th}}}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \kappa _{1}=\mu _{1};}$${\displaystyle \kappa _{2}=\mu _{2}-\mu _{1}^{2},}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle G(k)={\frac {1}{\sqrt {4\pi Dt}}}\int _{I}\exp(ikx)\exp \left(-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{4Dt}}\right)\,dx;}$

заполнив квадрат и зная общую площадь под гауссовой, получаем

${\displaystyle G(k)=\exp(ikx_{0}-k^{2}Dt).}$

Принимая натуральный логарифм и сравнивая степени с кумулянтной производящей функцией, первый кумулянт равен${\displaystyle ik}$

${\displaystyle \kappa _{1}=x_{0},}$

что, как и ожидалось, а именно то, что среднее положение является гауссовым центром. Второй кумулянт - это

${\displaystyle \kappa _{2}=2Dt,\,}$

множитель 2 получается из факторного множителя в знаменателе кумулянтной производящей функции. Отсюда рассчитывается второй момент,

${\displaystyle \mu _{2}=\kappa _{2}+\mu _{1}^{2}=2Dt+x_{0}^{2}.}$

Подставляя результаты для первого и второго моментов назад, можно найти МСД,

${\displaystyle \langle (x(t)-x_{0})^{2}\rangle =2Dt.}$

Вывод для n-измерений [ править ]

Для броуновской частицы в высших размерности евклидова пространства , его положение представляется вектором , где декартовы координаты являются статистически независимыми .${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$

Функция распределения вероятностей с n переменными - это произведение фундаментальных решений по каждой переменной; т.е.

${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t)=P(x_{1},t)P(x_{2},t)\dots P(x_{n},t)={\frac {1}{\sqrt {(4\pi Dt)^{n}}}}\exp \left(-{\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }{4Dt}}\right).}$

Среднеквадратичное смещение определяется как

${\displaystyle {\rm {MSD}}\equiv \langle |\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} |^{2}\rangle =\langle (x_{1}(t)-x_{1}(0))^{2}+(x_{2}(t)-x_{2}(0))^{2}+\dots +(x_{n}(t)-x_{n}(0))^{2}\rangle }$

Поскольку все координаты независимы, их отклонение от исходного положения также не зависит. Следовательно,

${\displaystyle {\rm {MSD}}=\langle (x_{1}(t)-x_{1}(0))^{2}\rangle +\langle (x_{2}(t)-x_{2}(0))^{2}\rangle +\dots +\langle (x_{n}(t)-x_{n}(0))^{2}\rangle }$

Для каждой координаты, следуя тому же выводу, что и в одномерном сценарии выше, можно получить MSD в этом измерении как . Следовательно, окончательный результат среднеквадратичного смещения в n-мерном броуновском движении:${\displaystyle 2Dt}$

${\displaystyle {\text{MSD}}=2nDt}$.

МСД в экспериментах [ править ]

Экспериментальные методы определения MSD включают рассеяние нейтронов и фотонную корреляционную спектроскопию .

Линейная зависимость между MSD и времени т позволяет графические методы , чтобы определить константу диффузии D . Это особенно полезно для грубых расчетов коэффициента диффузии в системах окружающей среды. В некоторых моделях атмосферной дисперсии зависимость между MSD и временем t не является линейной. Вместо этого при изучении явления дисперсии обычно используется серия степенных законов, эмпирически представляющих изменение квадратного корня из MSD в зависимости от расстояния по ветру. ^[4]

См. Также [ править ]

• Среднеквадратичное отклонение положений атомов : среднее значение берется по группе частиц за один момент времени, где MSD берется для одной частицы за интервал времени.
• Среднеквадратичная ошибка

Ссылки [ править ]